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2018-2019 学年（下）高二级模块考试
文科数学参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1.B．2. B ．3.C．4.A．5. C 6.D．7. D ．8.A. 9.C 10. A 11.B. 12C ．
二．填空题（共 4 小题）
13. 4sin= ．14. 3 ．15.
2450
1- ．16.
625
527- ．
三．解答题（共 11 小题）
17.解：（1）设数列{}na 的公比为 q ，因为 2 4a = ，所以 3 4aq= ， 3
4 4aq= ，
因为 3 2a + 是 2a 和 4a 的等差中项，所以 3 2 42( 2)a a a+ = + ．
即 22(4 2) 4 4qq+ = + ，化简得 2 20qq−=，
因为公比 0q ，所以 2q = ，所以 22
2 4 2 2n n n
na a q −−= = = ， ( *)nN ；
（2） nnnb nnn
n −+=−+= )1(2)1(2log2 2
当 n 为偶数时，前 n 项和
2
3)1()3(2)1(2
)1(2 2 nnnnnT n
n +=−++−++−++= ；
当 n 为奇数时，前 n 项和
2
1
2
112
)1(2 2 −+=−−−+= nnnnnTn ．
则
为偶数，
为奇数，
n 2
3
n 2
1
2
2
{
nn
nnnT +
−+
= ．
18.证明：（Ⅰ）连结 EF ，由题意得 EF 是 BDS 的中位线，
//EF DS ，
SD 平面 AEC ， EF 平面 AEC ，
//SD 平面 AEC ．
解：（Ⅱ） 平面 SBC ⊥ 底面 ABCD ，交线为 BC ， AB BC⊥ ，
AB⊥平面 BCS ，
在 BSD 中， 22BD DS== ， 2BS = ，
7BSDS = ，
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3
3
2
1
2
1 === −−− ASDSASDBASDE VVV ，
设 E 到面 ASD 的距离为 d ，
则
7
21
3
1 == −
ASD
ASDE
S
Vd ．
点 E 到平面 ASD 的距离为
7
21 ．
19.解：（1）根据频率分布直方图，
年收入在[10,11）万元的频率为 1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15，
所以年收入在[10,11）万元的人数为 10000×0.15=1500（人 ) ；
（2）抽样调查中收入在[9 ，10) 万元员工有 2 人，记为 A 、 B ，
则收入在[10 ，11) 万元的员工有 3 人，记为 c 、 d 、 e ，
从这 5 人中任取 3 人，基本事件是 ABc 、ABd 、ABe 、Acd 、Ace 、Ade 、Bcd 、Bce 、Bde 、
cde 共 10 种，
其中恰有 2 位员工收入在[10 ，11) 万元的基本事件为 Acd 、 Ace 、 Ade 、Bcd 、Bce 、Bde
共 6 种，
故所求的概率为 63
10 5P ==；
（3）样本容量是 400，在这 400 人中年收入在[9 ，10) 万元的员工有 400 0.1 40=（人 ) ，
其中具有大学及大学以上学历的有 40 40% 16=（人 ) ，
年收入在[13 ，14) 万元的员工有 400 0.1 40=（人 ) ，
其中不具有大学及大学以上学历的有 40 30% 12=（人 ) ，填写列联表如下；
具有大学及大学以
上学历
不具有大学及
大学以上学历
合计
[9 ，10) 万元员工 16 24 40
[13 ，14) 万元员工 28 12 40
合计 44 36 80
由表中数据，计算
22
2 ( ) 80 (16 12 28 24) 7.273 6.635( )( )( )( ) 40 40 44 36
n ad bcK a b b c a c b d
− − = = + + + +
，
所以有 99% 的把握认为具有大学及大学以上学历和不具有大学及大学以上学历的员工收入
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有差异．
20.解：（1）曲线 2 2 2
1 : ( 0)C x y r r+ = 和
22
2 22: 1( 0)xyC a bab+ = 都过点 (0, 2)P − ，
2r= ， 2b = ，
曲线 1C 的方程为 224xy+= 曲线 2C 的离心率为 3
2
，
22
2
22
31 4
cbe aa = = − = ，
4a=，曲线 2C 的方程
22
116 4
xy+=，
（2）设 1(Ax， 1)y ， 2(Bx， 2 )y ，直线 PA 的方程为 1 2y k x=−，代入到 224xy+=，消去 y ，
可得 22
11(1 ) 4 0k x k x+ − = ，解得 0x = 或 1
1 2
1
4
1
kx k= +
，
2
1
1 2
1
22
1
ky k
−=+
，
直线 PB 的方程为 2 2y k x=−，代入到程
22
116 4
xy+=，消去 y ，可得 22
22(1 4 ) 16 0k x k x+ − = ，
解得 0x = 或 2
2 2
2
16
14
kx k= +
，
2
2
2 2
2
82
14
ky k
−=+
， 124kk= ，
直线 AB 的斜率 21
2 1 1
1yyk x x k
−= = −−
，
故直线 AB 的方程为
2
11
22
1 1 1
2 2 41 ()11
kkyxk k k
−− = − −++
，即
1
1 2yxk= − + ，
所以直线 AB 恒过定点(0,2)
21.解：（1） 21( ) 3 22f x x x lnx= − + ， 0x ，
2 ( 1)( 2)( ) 3 xxf x x xx
−− = − + = ，
令 ( ) 0fx=，解得 1x = ，或 2x = ，
当 ( ) 0fx时，解得 01x或 2x ，
当 ( ) 0fx时，解得12x，
单调递增区间为 (0,1) ， (2, )+ ，单调递减区间为(1,2) ．
（2）当 0a = 时，由 ( ) 2 4xf x e x − − ，
只需证明 2xe lnx+，
令 ( ) 2( 0)xh x e lnx x= − − ， 1() xh x e x = − ，
2
1( ) 0xh x e x = + ，故 ()hx 递增，
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h（1） 10e= − ， 1( ) 2 02he = − ，
故存在 0
1(2x ，1) ，使得 0( ) 0hx=，
即 0
0
1 0xe x−=，
当 0(0, )xx 时， ( ) 0hx， ()hx递减，
当 0(xx ， )+ 时， ( ) 0hx， ()hx递增，
故 0xx= 时， ()hx取得唯一的极小值，也是最小值，
()hx的最小值是 0
00
0
1( ) 2 2 0xh x e lnx xx= − − = + − ，
0(0 1x， 0
0
1 )xe x ．
另解：构造不等式， 1 1( 0)xe x lnx x− + ，即可证明．
222
2 声明：试题解析 著 222222.解：（1）曲线 1C 的参数方程为{ cos
sin3
=
=
x
y （α 为参数），
移项后两边平方可得， 1sincos3
22
2
2 =+=+ yx
即有椭圆 13
2
2
1 =+ yxC： ；
曲线 2C 的极坐标方程为 sin( ) 2 24
+= ，
即有 22( sin cos ) 2 222 +=，
由 cosx = ， siny = ，可得 40xy+ − = ，
即有 2C 的直角坐标方程为直线 40xy+ − = ；
（2）由题意可得当直线 40xy+ − = 的平行线与椭圆相切时，||PQ 取得最值．
设与直线 40xy+ − = 平行的直线方程为 0x y t+ + = ，
联立{ 33
0
22 =+
=++
yx
tyx 可得 0324 22 =−++ ttxx ，
由直线与椭圆相切，可得△ 0)3(164 22 =−− tt ，解得 2t = ，
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显然 2t =− 时，||PQ 取得最小值，
即有 | 4 ( 2) || | 2
11
PQ − − −==
+
，此时 0144 2 =+− xx ，解得
2
1=x ，
即为 ），（
2
3
2
1P
另解：设 )sin3,cos （P ，
由 P 到直线的距离为
2
4sin3cos −+
=
d
2
4)6sin(2 −+ x
，
当 1)6sin( =+ x 时，||PQ 的最小值为 2 ，
此时可取
3
= ，即有 ．
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日期：2019/4/17 16:11:23； 用户：账号 18 2；邮箱：gssch182@xyh.com；学 号：25204605
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