第十七讲 矩形、菱形与正方形
宜宾中考考情与预测
宜宾考题感知与试做
1.（2013·宜宾中考）矩形具有而菱形不具有的性质是（ B ）
A.两组对边分别平行
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.两组对角分别相等
2.（2016·宜宾中考）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（ A ）
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
（第2题图） （第4题图）
3.（2014·宜宾中考）菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是 5 cm.
4.（2015·宜宾中考）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE＝3，则点P到AD的距离为 3 .
5.（2013·宜宾中考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连结BG、DF.若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 20 Ｗ.
（第5题图） （第6题图）
6.（2015·宜宾中考）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H.给出下列结论：
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①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH·PB；④＝.
其中正确的是 ①③④ Ｗ.（写出所有正确结论的序号）
宜宾中考考点梳理
矩形及其性质与判定
定义
有一个角是 直角 的平行四边形是矩形
性质
（1）矩形的四个角都是 直角 ；
（2）矩形的对角线互相平分且 相等 ；
（3）矩形既是 中心 对称图形又是轴对称图形，有 2 条对称轴
判定
（1）有一个角是 直角 的平行四边形是矩形；
（2）有 三个角 是直角的四边形是矩形；
（3）对角线 相等 的平行四边形是矩形
面积
S＝ ab （a，b表示矩形的长和宽）
菱形及其性质与判定
定义
菱形是有一组邻边 相等 的平行四边形
性质
（1）菱形的四条边都 相等 ；
（2）菱形的对角线 互相垂直平分 且每一条对角线都平分一组对角；
（3）菱形既是中心对称图形，又是 轴 对称图形，有 2 条对称轴
判定
（1）有一组邻边 相等 的平行四边形是菱形；
（2）四条边都 相等 的四边形是菱形；
（3）对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形
面积
S＝底×高＝ （l1，l2表示菱形两条对角线的长）
正方形及其性质与判定
定义
四个角是直角，四条边相等的四边形是正方形
性质
（1）正方形的对边平行，四条边都 相等 ；
（2）正方形的四个角都是 直角 ；
（3）对角线相等且互相 垂直平分 ，每条对角线平分一组对角
判定
（1）有一组 邻边 相等，并且有一个角是 直角 的平行四边形是正方形；
（2）有一组邻边相等的 矩形 是正方形；
（3）有一个角是直角的 菱形 是正方形；
（4） 对角线 相等且互相垂直的平行四边形是正方形
面积
S＝ a2 （a表示正方形的边长）；
S＝ （l表示正方形对角线的长）
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1.下列说法中正确的是（ D ）
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A.有一个角是直角的四边形是矩形
B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C.两条对角线互相垂直平分的四边形是正方形
D.两条对角线相等的菱形是正方形
2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝6 cm，则四边形CODE的周长为（ D ）
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
（第2题图） （第3题图）
3.如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为 6 Ｗ.
4.如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF的最小值为 2.4 Ｗ.
5.（2018·遵义中考）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连结MN.
（1）求证：OM＝ON；
（2）若正方形ABCD的边长为4，点E为OM的中点，求MN的长.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠OAD＝∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°.
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（A.S.A.）.
∴OM＝ON；
（2）解：过点O作OH⊥AD于点H.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OH＝HA＝2.
∵点E为OM的中点，EA∥OH，
∴HM＝2HA＝4，
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∴OM＝＝2，
∴MN＝OM＝2.
中考典题精讲精练
矩形的性质和判定
【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积.
【解析】（1）根据矩形的性质得出CD＝2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2＋BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理可得结论；（2）根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出四边形DEBP和AECP是平行四边形，推出EH∥FP，EF∥HP，推出四边形EFPH是平行四边形，再由矩形的判定可得结论；（3）根据三角形的面积公式求出CF，再求出EF，根据勾股定理求出PF，根据矩形面积公式可得答案.
【解答】解：（1）△BEC是直角三角形.
理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2.
由勾股定理，得CE＝＝＝.
同理，BE＝2.
∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，
∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，
∴△BEC是直角三角形；
（2）四边形EFPH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，
∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形.
∵∠BEC＝90°，∴四边形EFPH是矩形.
（3）解：在Rt△PCD中，FC⊥PD.
由三角形的面积公式，得PD·CF＝PC·CD，
∴CF＝＝.
∴EF＝CE－CF＝－＝.
∵PF＝＝，
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∴S矩形EFPH＝EF·PF＝，
即四边形EFPH的面积是.
菱形的性质和判定
【典例2】下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ C ）
A.对边平行且相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角互补
【解析】根据平行四边形的性质和菱形的性质对各选项进行判断.
【典例3】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是AD、CD边上的中点，连结EF.若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为 2 Ｗ.
【解析】由题意知EF是△ACD的中位线，根据三角形中位线定理求出AC的长，然后根据菱形的面积公式求解.
正方形的性质和判定
【典例4】某同学把两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起（如图1），固定△ABC不动，将△DEF沿线段AB向右平移.
图1 图2
（1）若∠A＝60°，斜边AB＝4，设AD＝x（0≤x≤4），两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式；
1. 如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ C ）
A.3 B.2
C. D.4
2.如图，四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF.且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.
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（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长.
（1）证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100，
∴AD2＋DE2＝AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
（2）解：设BF＝x cm，则EF＝BF＝x cm，EC＝CD－DE＝10－6＝4 cm，FC＝BC－BF＝8－x cm.
在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，
即42＋（8－x）2＝x2，
解得x＝5，故BF＝5 cm；
（3）解：在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，
∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，
∴AF＝＝5 cm.
3.下列性质中菱形不一定具有的是（ C ）
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.既是轴对称图形，又是中心对称图形
4.下列命题中，真命题是（ A ）
A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
5.已知一个菱形的周长为24 cm，有一个内角为60°，则这个菱形较短的一条对角线的长为 6 cm Ｗ.
6.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连结OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长.
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（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD.
∵AC平分∠BAD，∴∠CAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.
又∵AD＝AB，∴AB＝CD.
又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1.
∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝＝2.
∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°.
在Rt△AEC中，∵点O为AC中点，
∴OE＝AC＝OA＝2.
7.如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB＝2 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2 Ｗ.8.我们给出如下定义：顺次连结任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
（1）如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，连结CD、CF、BF，得到四边形CDBF.在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形？若能，请指出此时点D的位置，并说明理由；若不能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？
【解析】（1）设CB与DF交于点G.根据平移的性质得到DF∥AC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD＝，BG＝＝，最后由三角形的面积公式列出函数关系式；（2）不能为正方形，添加条件：AC＝BC时，点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形.当点D移至AB的中点时，四边形CDBF是菱形.再由AC＝BC，D为AB的中点，可得∠CDB＝90°，从而可知四边形CDBF为正方形.
【解答】解：（1）如图，设CB与DF交于点G.
∵DF∥AC，
∴∠DGB＝∠C＝90°，
∠GDB＝∠A＝60°，
∠GBD＝30°.
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∵BD＝4－x，∴GD＝，BG＝，
y＝S△BDG＝××
＝（0≤x≤4）；
（2）不能为正方形.添加条件：AC＝BC.
∵∠ACB＝∠DFE＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB，BF＝DE，
∴CD＝BD＝BF＝BE.
∵CF＝BD，∴CD＝BD＝BF＝CF，
∴四边形CDBF是菱形.
∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB即∠CDB＝90°，
∴四边形CDBF是正方形.
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.
图1 图2
解：（1）连结BD.
∵点E、H分别为边AB、AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
∵点F、G分别为BC、DC的中点，
∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH＝FG，EH∥FG，
∴中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）中点四边形EFGH是菱形.
证明：连结AC、BD.∵∠APB＝∠CPD，
∴∠APB＋∠APD＝∠CPD＋∠APD，
即∠APC＝∠BPD.
在△APC和△BPD中，
AP＝BP，∠APC＝∠BPDPC＝PD，
∴△APC≌△BPD（S.A.S.），∴AC＝BD.
∵点E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，
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∴EF＝AC，FG＝BD，∴EF＝FG，
由（1）知中点四边形EFGH是平行四边形，
∴中点四边形EFGH是菱形；
（3）四边形EFGH是正方形.
证明：设AC、BD交点为O，AC与PD交于点M，AC与EH交于点N.
∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP.
∵∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°.
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°.
又由（2）知四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形.
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