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江苏省扬州中学2018-2019学年高二4月检测
数学试题(文科) 2019.4.7
一、 填空题（每题5分，共70分）
1.已知集合，，则.
2.已知复数满足(其中i为虚数单位),则.
3.用反证法证明命题“若,能被2整除，则中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．
4.若“”是“”的充分不必要条件,则实数m的最大值为.
5.已知是上的单调递增函数，则实数的取值范围是__________．
6.已知函数，则的值.
7.已知，，，…，，则_______.
8.若对于任意的都有则实数a的取值范围是．
9.已知函数,则满足不等式的的取值范围为.
10.已知函数，若，则的取值范围为.
11.设为实数，若函数存在零点，则实数的取值范围是．
12.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为.
13.定义在R上的奇函数满足，且在区间上，则函数的零点的个数为．
14． 若存在，使得（且）成立，则实数的取值范围是．
一、 解答题
15．（本题14分）函数的定义域为,定义域为.
（1）求；
（2） 若, 求实数的取值范围.
16.（本题14分）定义在实数集上的函数是奇函数，是偶函数，且.
（1）求、的解析式；
（2）命题命题，若为真，求的范围．
17. （本题14分）已知关于的方程：有实数根．
（1）求实数的值．
（2）若复数满足，求为何值时，有最小值，并求出的值．
18. （本题16分）已知偶函数的定义域为，值域为．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若,求的值．
19. (本题16分)某仓库为了保持库内温度，四周墙上装有如图所示的通风设施，该设施的下部是等边三角形ABC，其中AB=2米，上部是半圆，点E为AB的中点．△EMN是通风窗，（其余部分不通风）MN是可以沿设施的边框上下滑动且保持与AB平行的伸缩杆（MN和AB不重合）．
（1）设MN与C之间的距离为x米，试将△EMN的面积S表示成的函数；
（2）当MN与C之间的距离为多少时，△EMN面积最大？并求出最大值．
A
B
E
M
N
C
A
B
E
M
N
C
第19题图
（图1）
（图2）
20. (本题16分) 已知函数.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.
（参考数据：，）.
参考答案：
1.2.13.a、b都不能被2整除4. 5.6.7.2019 8.9.
10.11.12．(－2，3)13.514.
14． 解：（1）；......................7'
（2）.....................14'
16.解：(1)由f（x）+g（x）=x2+ax+a．①，
得f（﹣x）+g（﹣x）=x2﹣ax+a．
因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），
所以﹣f（x）+g（x）=x2﹣ax+a②，
①②联立得f（x）=ax，g（x）=x2+a．......................7'
(2)若p真，则fmin（x）≥1，得a≥1，
若q真，则gmin（x）≤﹣1，得a≤﹣1，
因为p∨q为真，所以a≥1或a≤﹣1．.....................14'
17.
解：（1）∵b是方程x2﹣（6+i）x+9+ai=0（a∈R）的实根，
∴（b2﹣6b+9）+（a﹣b）i=0，
∴解之得a=b=3．.....................6'
（2）设z=x+yi（x，y∈R），由|﹣3﹣3i|=2|z|，
得（x﹣3）2+（y+3）2=4（x2+y2），
即（x+1）2+（y﹣1）2=8，
∴z点的轨迹是以O1（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，
如图所示，
如图，当z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|=， 半径r=2，
∴当z=1﹣i时． |z|有最小值且|z|min=．................14'
18.
.
解：（1）.................4'
(2)令f（a）=0，即，a=±1，取a=﹣1；
令f（a）=，即，a=±2，取a=﹣2，
故a=﹣1或﹣2．..................8'
（3）∵是偶函数，且f’（x）=＞0，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∵x≠0，∴由题意可知：或0＜．
若，则有，即，
整理得，此时方程组无负解；.................12'
若0＜，则有，即，
∴m，n为方程x2﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜，∴m＞n＞0，
∴m=，n=．......................16'
解：（1）令f（a）=0，即，a=±1，取a=﹣1；
令f（a）=，即，a=±2，取a=﹣2，
故a=﹣1或﹣2．.....................6'
（2）∵是偶函数，且f'（x）=＞0，
则函数f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∵x≠0，∴由题意可知：或0＜．
若，则有，即，
整理得m2+3m+10=0，此时方程组无解；
若0＜，则有，即，
∴m，n为方程x2﹣3x+1=0，的两个根．∵0＜，∴m＞n＞0，
∴m=，n=．.....................16'
19．解（1）①当MN在三角形区域内滑动时
即是等腰三角形，
连接EC交MN于P点，则PC=x，PN=，
的面积
.....................................4'
②当MN在半圆形区域滑动即时
......................................................................................6'
所以.......................8'
（2）时，的对称轴为
所以...............................................................11'
时，
当且仅当取等号，..................................................15'
又所以三角形EMN的面积最大值为......................................16'
20.解：（1）因为，所以，则所求切线的斜率为， ……………2分
又，故所求切线的方程为. ................4分
（2）因为，则由题意知方程在上有两个不同的根.，由，得， ……………6分
令，则，由，解得.
y
x
O
1
1
1
1
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值为. ……………8分
又，（图象如右图所示），
所以，解得. ……………10分
（3）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.
即对恒成立.
令，则， ……12分
令，则，
因为在上单调递增，，，且图象在上不间断，所以存在，使得，即，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增，
则取到最小值，…14分
所以，即在区间内单调递增.
所以，
所以存在实数满足题意，且最大整数的值为. ……………16分
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