湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2019届高三2月月考数学（理）试卷Word版含答案.doc

www.ks5u.com ‎“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” ‎ ‎2019届高三2月联考 ‎ 数 学（理）试 题 ‎ 命题学校：襄阳四中 命题人：梁中强 程孟良 审题人：龙泉中学数学组 ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.欧拉公式(是自然对数的底,是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它将三 角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位 当时,就有.根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于（ ） ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 若数列是公比不为1的等比数列,且,则 ‎ ‎（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设,定义符号函数,则下列等式正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6.运行如图所示的程序框图,设输出的数据构成集合A,从集合A中任取一个元 素a,则函数y＝xa在（0,+∞）上是增函数的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 已知函数的导函数为,‎ 的解集为,若的极小值等于,则的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知的展开式中常数项为,则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知函数在区间上是增函数,且在区间上存在唯一的使得,则的取值不可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.直线与双曲线C：的渐近线交于A、B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若(a、bÎR,O为坐标原点),则下列不等式恒成立的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图，在正方体ABCD－A¢B¢C¢D¢中,平面a垂直于对角线AC¢,且平 面a截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S,周长为l,则（ ）‎ A.S为定值,l不为定值 B.S不为定值,l为定值 C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值 ‎12.设函数,. 若当时,不等式 ‎ 恒成立,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题：本大题共4小题,每小题5分。‎ ‎13.实数满足,则的最大值是_____________.‎ ‎14.现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水平放置）,俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号是______________. ‎ ‎15.已知抛物线：的焦点为,准线与轴的交点为,是抛物线上的点,且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为,则实数的值为__________.‎ ‎16.设数列的前项和为满足：，则______________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分. ‎ ‎17.(本题满分12分)如图, 四点共圆,为钝角且, ‎ ‎,,‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）设,,求的值.‎ ‎18.(本题满分12分)已知分别为椭圆的左、右焦点.‎ ‎（1）当时,若是椭圆上一点,且位于第一象限,,求点的坐标;‎ ‎（2）当椭圆的焦距为2时,若直线与椭圆相交于两点,且,试求的面积.‎ ‎19. (本题满分12分)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,‎ 平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=. ‎ ‎（1）求证：PB=PD;‎ ‎（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,‎ 则在线段BC上是否存在一点 H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,‎ 若不存在,请说明理由.‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 有甲、乙两家公司都需要招聘求职者,这两家公司的聘用信息如下：‎ ‎ ‎ 甲公司 乙公司 职位 A B C D 职位 A B C D 月薪/元 ‎6000‎ ‎7000‎ ‎8000‎ ‎9000‎ 月薪/元 ‎5000‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ 获得相应职位概率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎（1根据以上信息,如果你是该求职者,你会选择哪一家公司？说明理由;‎ ‎（2）某课外实习作业小组调查了1000名职场人士,就选择这两家公司的意愿做了统计,得到以下数据分布：‎ 选择意愿 人员结构 ‎40岁以上（含40岁）男性 ‎40岁以上（含40岁）女性 ‎40岁以下男性 ‎40岁以下女性 选择甲公司 ‎110‎ ‎120‎ ‎140‎ ‎80‎ 选择乙公司 ‎150‎ ‎90‎ ‎200‎ ‎110‎ 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量,计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513,测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析,选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：‎ ‎21.(本题满分12分)已知,设,且,记;‎ ‎（1）设,其中,试求的单调区间;‎ ‎（2）试判断弦的斜率与的大小关系,并证明;‎ ‎（3）证明：当时,.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. (本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,其中为参数,在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;‎ ‎（2）若是曲线上的动点,为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎23. (本题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数=,=.‎ ‎（1）当=2时,求不等式＜的解集;‎ ‎（2）设,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.‎ ‎2019届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ 高三2月联考数学（理）参考答案 ‎ ‎ 一、选择题 BCDCD CCCAB BD ‎ ‎12、，令，‎ 则 而是R上的单调递增函数，又是奇函数，于是.故 此题是考察三次函数的对称中心.‎ 二、填空题：‎ ‎13.21 14.①、② 15. 16. ‎ ‎16、，，时，‎ 故 三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17．解：（1），且角为钝角，.‎ 在中，由余弦定理得，，‎ ‎，解得或（舍），‎ ‎. …………6分 ‎（2）连接AC，则与互补，于是 在中由正弦定理…………12分 其它方法酌情给分.‎ ‎18.解：（1）设，有于是…………6分 ‎（2），椭圆方程为（7分）联立直线得（8分）‎ 得满足（9分） （10分）‎ 于是 …………12分 方法二：坐标计算 将两点坐标代入椭圆方程中有 此方法可以推广到斜率任意时均成立.‎ ‎19.解：(1)证明：记AC∩BD=O，连结PO，‎ ‎∵底面ABCD为正方形，∴OA=OC=OB=OD=2.‎ ‎∵PA=PC，∴PO⊥AC，‎ ‎∵平面PAC∩底面ABCD=AC，POÌ平面PAC，‎ ‎∴PO⊥底面ABCD.‎ ‎∵BDÌ底面ABCD，∴PO⊥BD. ‎ ‎∴PB=PD. …………6分 ‎(2)以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP=2.‎ 可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),‎ 可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.‎ 设平面的法向量n=，‎ ‎∵，，∴‎ 令，可得n=.‎ 记，可得，‎ ‎，=0，可得，，解得.‎ 可得，.‎ 记，可得，‎ ‎，若DQ⊥PH，则，‎ ‎，解得.故.…………12分 另：取的中点，说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.‎ ‎20.解：（1）设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y，‎ 则E（X）＝6000×0.4+7000×0.3+8000×0.2+9000×0.1＝7000，‎ E（Y）＝5000×0.4+7000×0.3+9000×0.2+11000×0. 1＝7000，‎ D（X）＝（6000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（8000﹣7000）2×0.2+（9000﹣7000）2×0.1‎ ‎＝10002，‎ D（Y）＝（5000﹣7000）2×0.4+（7000﹣7000）2×0.3+（9000﹣7000）2×0.2+（11000﹣7000）2×0.1‎ ‎＝20002，‎ 则E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），…………4分 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司；‎ 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司；（只要言之有理即给2分）…………6分 ‎（2）因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值，‎ 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025，…………7分 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下：‎ 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 ‎250‎ ‎350‎ ‎600‎ 女 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 总计 ‎450‎ ‎550‎ ‎1000‎ 计算K2＝＝≈6.734，‎ 且K2＝6.734＞6.635，‎ 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，‎ 由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大．…………12分 ‎21. 解：（1）（），‎ 若，则，它为上的增函数，‎ 若，则增区间为，减区间为…………3分 ‎（2）‎ 令，，，而.故在单调递增，故…………7分 ‎（3）当时，原不等式等价于，由（2）知，即证 ‎，转化为.‎ 令，，，故也成立.………12分 ‎22. 解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为.‎ 将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为 ‎.……………5分 ‎（2）设，.‎ 点的极坐标化为直角坐标为.‎ 则.‎ ‎∴点到直线的距离.‎ 当，即时，等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为.……………10分 ‎23.解：（1）当=时，不等式＜化为，‎ 设函数=，=，令得 ‎∴原不等式解集是. ……………5分 ‎（2）当∈[，)时，=，不等式≤化为，‎ ‎∴对∈[，)都成立，故，即≤，‎ ‎∴的取值范围为（-1，]. ……………10分