《直线与角》单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中（ ）可以折成正方体．
A． B． C． D．
2．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间
3．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
4．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
5．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A．1，﹣3，0 B．0，﹣3，1 C．﹣3，0，1 D．﹣3，1，0
6．如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（ ）
A． B． C． D．
7．下面图形不能围成一个长方体的是（ ）
A． B． C． D．
8．长方体的截面中，边数最多的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
9．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
10．下面各正多面体的每个面是同一种图形的是（ ）
①正四面体；②正六面体；③正八面体；④正十二面体；⑤正二十面体．
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
11．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A． B． C． D．
12．如图中，三角形的个数为（ ）
A．26个 B．30个 C．28个 D．16个
二．填空题（共4小题）
13．如图是正方体的一个表面展开图，在这个正方体中，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是 ．
14．若一个角为60°30′，则它的补角为 ．
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= ．
16．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 个小正方体．
三．解答题（共7小题）
17．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
18．如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN=2：3：4，点P是MN的中点，PC=2cm，求MN的长．
19．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD=∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）
2．请你写出作图的依据．
20．如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，MN分别是AC，BD的中点，且AB=36cm，求线段MN的长．
21．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
22．如图①，已知线段AB=20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点
（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）
（2）若BC=14cm，求DE的长
（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？
23．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中（ ）可以折成正方体．
A． B． C． D．
【解答】解：A，C，D围成几何体时，有两个面重合，故不能围成正方体；只有B能围成正方体．
故选：B．
2．如图所示，某工厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点在同一直线上），已知AB=300米，BC=600米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在此路段只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（ ）
A．点A B．点B C．AB之间 D．BC之间
【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15×300+10×900=13500（米），
②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30×300+10×600=15000（米），
③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30×900+15×600=36000（米），
④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（300﹣m）+10（900﹣m）=13500+5m＞13500，
⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（300+n）+15n+10（600﹣n）=15000+35n＞13500．
∴该停靠点的位置应设在点A；
故选：A．
3．学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
【解答】解：从图中发现平面图上的∠CAB=∠1+∠2=115°．
故选A．
4．已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为（ ）
A．20° B．40° C．20°或40° D．30°或10°
【解答】
解：∠BOC在∠AOB内部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB﹣∠BON=30°﹣10°=20°；
∠BOC在∠AOB外部
∵∠AOB=60°，其角平分线为OM
∴∠MOB=30°
∵∠BOC=20°，其角平分线为ON
∴∠BON=10°
∴∠MON=∠MOB+∠BON=30°+10°=40°．
故选：C．
5．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中三个正方形A，B，C中分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上两个数互为相反数，则填入正方形A，B，C中的三个数依次是（ ）
A．1，﹣3，0 B．0，﹣3，1 C．﹣3，0，1 D．﹣3，1，0
【解答】解：根据以上分析：填入正方形A，B，C中的三个数依次是1，﹣3，0．
故选：A．
6．如图，有一个无盖的正方体纸盒，下底面标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开展成平面图形，想一想，这个平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、D经过折叠后，标有字母“M”的面不是下底面，而选项C折叠后，不是沿沿图中粗线将其剪开的，故只有B正确．
故选：B．
7．下面图形不能围成一个长方体的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A，B，C折叠后，都可以围成一个长方体，而D折叠后，最下面一行的两个面重合，缺少一个底面，所以不能围成一个长方体．
故选：D．
8．长方体的截面中，边数最多的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【解答】解：长方体的截面中，边数最多的多边形是六边形．
如：在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，取BC、CD、BB′、DD′、A′B′、A′D′的中点，可以证明它们都在同一平面，那么，这个截面就是六边形．
故选：C．
9．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【解答】解：正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形．
故选：B．
10．下面各正多面体的每个面是同一种图形的是（ ）
①正四面体；②正六面体；③正八面体；④正十二面体；⑤正二十面体．
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
【解答】解：根据以上分析，正四面体，正八面体正二十面体的每个面是同一种图形．
故选：C．
11．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、C、D折叠后都符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形不交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点不符．
故选：B．
12．如图中，三角形的个数为（ ）
A．26个 B．30个 C．28个 D．16个
【解答】解：最里面的正方形内的三角形有10个，第三层的正方形内三角形的个数有10+4=14个，第二层的正方形内三角形个数有14+2+5+5=26个，最外层的正方形内的三角形的个数为26+4=30个．
最小的三角形共有16个，其余的三角形共有14个，所以共有三角形30个．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
13．如图是正方体的一个表面展开图，在这个正方体中，与“晋”字所在面相对的面上的汉字是 祠 ．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“晋”与“祠”是相对面，
“汾”与“酒”是相对面，
“恒”与“山”是相对面．
故答案为：祠．
14．若一个角为60°30′，则它的补角为 119°30′ ．
【解答】解：180°﹣60°30′=119°30′．
故答案为：119°30′．
15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= 180° ．
【解答】解：设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°﹣a，
所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°﹣a=180°．
故答案为：180°．
16．墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体（不考虑操作技术的限制），但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 27 个小正方体．
【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体；
第2列最多可以搬走8个小正方体；
第3列最多可以搬走3个小正方体；
第4列最多可以搬走5个小正方体；
第5列最多可以搬走2个小正方体．
9+8+3+5+2=27个．
故最多可以搬走27个小正方体．
故答案为：27．
三．解答题（共7小题）
17．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，若D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．
【解答】解：∵AC=15 cm，CB=AC．
∴CB=10 cm，AB=15+10=25 cm．
又∵E是AB的中点，D是AC的中点．
∴AE=AB=12.5 cm．
AD=AC=7.5 cm
∴DE=AE﹣AD=12.5﹣7.5=5 cm
18．如图，B、C两点把线段MN分成三部分，其比为MB：BC：CN=2：3：4，点P是MN的中点，PC=2cm，求MN的长．
【解答】解：∵MB：BC：CN=2：3：4，
∴设MB=2xcm，BC=3xcm，CN=4xcm，
∴MN=MB+BC+CN=2x+3x+4x=9xcm，
∵点P是MN的中点，
∴PN=MN=xcm，
∴PC=PN﹣CN，
即x﹣4x=2，
解得x=4，
所以，MN=9×4=36cm．
19．已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠OCD，使得∠OCD=∠AOB．
要求：1．尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；（说明：作出一个即可）
2．请你写出作图的依据．
【解答】解：（1）如图所示，∠OCD即为所求；
（2）作图的依据为SSS．
20．如图，C，D是线段AB上的两点，已知AC：CD：DB=1：2：3，MN分别是AC，BD的中点，且AB=36cm，求线段MN的长．
【解答】解：∵AC：CD：DB=1：2：3，
∴设AC=xcm，则CD=2xcm，DB=3xcm，
∵AB=36cm，
∴x+2x+3x=36，
解得x=6，
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴CM=AC=x，DN=BD=x，
∴MN=CM+CD+DN=x+2x+x=4x=4×6=24（cm）．
21．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=90°+60°=150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=45°．
（2）如图2，∠MON=α，
理由是：∵∠AOB=α，∠BOC=60°，
∴∠AOC=α+60°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC=（α+30°）﹣30°=α．
（3）如图3，∠MON=α，与β的大小无关．
理由：∵∠AOB=α，∠BOC=β，
∴∠AOC=α+β．
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC=∠AOC=（α+β），
∠NOC=∠BOC=β，
∴∠AON=∠AOC﹣∠NOC=α+β﹣β=α+β．
∴∠MON=∠MOC﹣∠NOC
=（α+β）﹣β=α
即∠MON=α．
22．如图①，已知线段AB=20cm，点C为AB上的一个动点，点D，E分别是AC和BC的中点
（1）若点C恰好是AB中点，则DE的长是多少？（直接写出结果）
（2）若BC=14cm，求DE的长
（3）试说明不论BC取何值（不超过20cm），DE的长不变
（4）知识迁移：如图②，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，试求出∠DOE的大小，并说明∠DOE的大小与射线OC的位置是否有关？
【解答】解：（1））∵点C恰为AB的中点，
∴AC=BC=AB=10cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC=AC=5cm，CE=BC=5cm，
∴DE=10cm．
（2）∵AB=20cm，BC=14cm，
∴AC=6cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD=3cm，CE=7cm，
∴DE=CD+CE=10cm；
（3）∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD=AC，CE=BC，
∴DE=CD+CE=（AC+BC）=AB=10cm，
∴不论AC取何值（不超过20cm），DE的长不变．
（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC=∠AOC，COE=∠COB，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（∠AOC+∠COB）=∠AOB，
∵∠AOB=130°，
∴∠DOE=65°．
∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
23．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．
【解答】解：（1）因为∠AOD=160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD
所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD
即∠MON=∠MOB+∠BON=∠AOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOD）
=∠AOD=80°；
（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD
即∠MON=∠MOC+∠BON﹣∠BOC=∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
=（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
=（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
=×180°﹣20°=70°；
（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB=20°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠AOC=t°+15°．
∵∠BOD=∠AOD﹣∠BOA，∠AOD=160°，
∴∠BOD=150°﹣2t．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON=∠BOD=75°﹣t°．
又∵∠AOM：∠DON=2：3，
∴（t+15）：（75﹣t）=2：3，
解得t=21．
答：t为21秒．
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