知识点030 线段垂直平分线、角平分线、中位线2016.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （2016广东省广州市，7，3分）如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD＝（ ）‎ A．3 B．‎4 C．4.8 D．5‎ C ‎ A ‎ B ‎ D ‎ E ‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】根据已知数据可先判断得出△ABC的形状，再进一步探索DE与BC的位置关系，及AD与BD的数量关系，进而得CD即为△ABC的中位线，故有CD长为AB长的一半．‎ ‎【详细解答】解：∵62+82=102，即BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．∵DE是AC的垂直平分线，∴DE⊥AC，AE=CE，∴DE∥BC，∴AD：BD=AE：CE=1，∴AD=BD，∴CD是Rt△ABC斜边的中线，则CD=AB=×10=5，故选择D． ‎ ‎【解后反思】勾股定理的逆定理，三角形的中位线定理与“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的性质，是判断两条直线位置关系与求解线段长度的重要知识依据，倘若忽视它们，将会出现解决问题时束手无策的局面．‎ ‎【关键词】勾股定理的逆定理；线段垂直平分线；平行线分线段成比例定理；直角三角形的性质 ‎2. （2016贵州省毕节市，6，3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ 　 ）‎ ‎ A.三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 ‎ C.三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 ‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题考查线段垂直平分线的定义及性质，解题的关键是牢固掌握线段垂直平分线的性质，并能与其他概念及性质相区别．根据各自的定义及性质，逐项分析是否满足“到三角形三个顶点的距离都相等”． 【详细解答】解：依题意，知这个点到三角形每边的两个端点的距离相等，所以，它是三条边的垂直平分线的交点，故选择D. 【解后反思】本题的易错点是记错性质，与角平分线的性质相混淆，而误选B． 【关键词】 三角形的高；角平分线的性质；三角形的中线；线段垂直平分线的性质；‎ ‎3. （ 2016河北省，9，3分）图示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（ ）‎ A．△ACD的外心 B．△ABC的外心 C．△ACD的内心 D．△ABC的内心 ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查了三角形的外心和内心，根据“外心是三角形三边垂直平分线的交点”和“内心是三角形三条角平分线的交点”进行判断即可.‎ ‎【详细解答】解：如图，点O是△ABC的边AC的垂直平分线和边BC的垂直平分线的交点，即点O是△ABC的外心，故答案为选项B.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解后反思】三角形的外心的位置随三角形的形状不同而不同，锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部；而三角形的内心一定三角形的内部.‎ ‎【关键词】 三角形的外心；三角形的内心 ‎4. （ 2016河南省，6，3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE垂直平分AC 交AB于点E，则DE的长为【 】‎ ‎（A）6 （B）5 （C）4 （D）3‎ ‎【答案】D ‎【逐步提示】本题是一道考查垂直平分线、三角形的相似（或者三角形的中位线的判定和性质）和勾股定理的综合题型，解题的关键是利用垂直平分线和三角形相似的相关知识在综合问题中的灵活运用.思路：在Rt△ＡＢＣ中利用勾股定理求出ＢＣ长，再由垂直平分线可知三角形相似（或者得ＤＥ是三角形的中位线），由相似三角形（或三角形的中位线）的性质求出ＤＥ长.‎ ‎【详细解答】解:方法一：在Rt△AＢＣ中，AO=. ‎ ‎∵ＤＥ垂直平分ＡＣ，∠ＡＣＢ＝９０°‎ ‎∴ＤＥ∥ＢＣ，点Ｄ是ＡＣ的中点 ‎∴ＤＥ是△ＡＢＣ的中位线 ‎∴ＤＥ=ＢＣ＝3 ，‎ 方法二：在Rt△AＢＣ中，AO=. ‎ ‎∵ＤＥ垂直平分ＡＣ，∠ＡＣＢ＝９０°‎ ‎∴ＤＥ∥ＢＣ，点Ｄ是ＡＣ的中点 ‎∴△ＡＢＣ∽△ＡED ‎∴‎ ‎∴DE=BC=3‎ 故选择 D.‎ ‎【解后反思】本题的重点 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 是垂直平分线和三角形中位线的性质综合运用，难点是不能发现基本的图形结构以及条件与结论之间的关系，解决问题的一般思维模式综合运用垂直平分线和三角形中位线的相关知识，在直角三角形中利用勾股定理或相似等求解线段长度.‎ ‎【关键词】垂直平分线；勾股定理；三角形的中位线；相似.‎ ‎5. （ 2016湖北省黄石市，4，3分）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝ （　　）‎ A．50° B．100° C．120° D．130°‎ ‎【答案】B．‎ ‎【逐步提示】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出∠ACD的度数，而∠BDC是△ACD的外角，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出∠BDC．‎ ‎【详细解答】解：因为点D在线段AB的垂直平分线上，所以AD＝CD，所以∠ACD＝∠A＝50°．因为∠BDC是△ACD的外角，所以∠BDC＝∠A＋∠ACD＝50°×2＝100°，故选择B．‎ ‎【解后反思】（1）线段垂直平分线是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，它具有性质：①垂直平分线垂直且平分线段； ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫三角形的外心，这一点到三个顶点的距离相等．（2）等腰三角形是有两条边相等的三角形，它具有性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）．‎ ‎【关键词】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．‎ ‎6.（ 2016湖北省荆州市，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝3，则DE的长为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎ C．3 D．5‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】先应用角的平分线的性质和垂直平分线的性质可得到AD=BD，∠BAD=∠CAD=∠B=30°，再应用含30°角的直角三角形性质即可。 【详细解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠B=∠CAD，∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，ED=CD，又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠BAD=∠CAD=∠B=30°，又∵∠C=90°，BC＝3，∴CD=AD=BD=（BC—CD），CD=1 ，故选择A. 【解后反思】解答这类题目的方法是含30度的直角三角形的性质及垂直平分线、角平分线的性质的综合运用．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【关键词】角的平分线的性质；垂直平分线的性质；含30度的直角三角形的性质 ‎7. （2016湖北宜昌，12，3分）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH、NF、GF、GE，则下列结论中，不一定正确的是（ ）‎ A．△EGH为等腰三角形 B．△EGF为等边三角形 ‎ C．四边形EGFH 为菱形 D．△EFH为等腰三角形 ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题主要考查线段的垂直平分线的画法和性质，掌握其画法所表示的意义是解决此类问题的关键．由线段的垂直平分线的性质可知EG=FG，EH=FH．‎ ‎【详细解答】解：由题意可知过这两点的直线GH是EF边的垂直平分线，所以EG=FG，EH=FH所以△EGH为等腰三角形, △EFH为等腰三角形，故答案为B ‎ ‎【解后反思】1.线段的垂直平分线的画法是：‎ ‎①已知线段AB，分别以A、B为端点，以大于长为半径，在线段两侧分别作弧；设所画弧交于两点C、D；‎ ‎②过C、D两点作一条直线，则为线段AB的垂直平分线．‎ ‎2. 线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等；其逆定理是：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 【关键词】线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的画法 ‎8. （ 2016湖南省怀化市，5，4分）如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（ ）‎ A. PC＝PD B.∠CPO＝∠DOP C.∠CPO＝∠DPO D. OC＝OD ‎【答案】B.‎ ‎【逐步提示】此題主要考查角的平分线的性质.由题意知，P为角平分线上的点，PC，PD为点P到角的两边的距离，根据角的平分线的性质可对选项A作出判断；根据角的平分线的定义及三角形中角之间的关系，可对选项B作出判断；根据“AAS”可证△COP≌△DOP，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可对选项C、D作出行判断.‎ ‎【详细解答】解：A.由角平分线上的点，到角的两边的距离相等，故选项A正确； ‎ B. ∵OP为∠AOB的角平分线，∴∠COP＝∠DOP，∵∠COP≠∠CPO，∴ ∠CPO≠∠DOP . 故选项B錯誤；‎ C.∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∵∠COP＝∠DOP， OP＝OP，∴△COP≌△DOP（AAS），∴∠CPO＝∠DPO. 故选项C正确； ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 D.∵△COP≌△DOP，∴ OC＝OD. 故选项D正确； ‎ 故选择B. 【解后反思】此題考查角的平分线的性质，三角形全等的识别，全等三角形的性质，解题的关键是正确理解角的平分线的性质，运用角的平分线的性质时，注意确定两点：①点是否在角的平分线上，②两线段是否是点到两边的距离，学生运用角的平分线的性质时易忽略②中的“距离”二字，‎ ‎【关键词】角的平分线的性质；三角形全等的识别；全等三角形的性质 ‎9.（2016山东省德州市，6，3分）如图，三角形ABC中，，. 分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD则的度数为 A．65° B. 60° C . 55° D. 45°‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【逐步提示】根据题目作图过程可知：MN为线段AC的垂直平分线；进而可求出∠1和∠2的度数，再根据三角形的内角和即可求出∠BAD的度数. 【详细解答】解：如图6-1， 由题意可知 ：MN为线段AC的垂直平分线，‎ ‎∴AD=CD ∴∠1=∠C ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∵∠2为△ACD的外角，‎ ‎∴‎ 又∵ ‎ ‎∴ ，故选择 A. 【解后反思】（1）初中阶段的几个基本的尺规作图要牢牢记住，在遇到此类问题时不至于不知道画的是什么；（2）理解线段的垂直平分线的性质和三角形外角的性质，是能够迅速解题的关键；（3）在解决求角的度数的问题时，在不会推理解决时，准确测量也不失为一种应急策略.‎ ‎【关键词】画线段的垂直平分线；尺规作图；三角形的内角和 二、填空题 ‎1. （2016湖南常德，11，3分）如图4，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为 ．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】3‎ ‎【逐步提示】本题考查了角平分线的性质．过P作PD⊥OA于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD=PC，从而得解．故答案为3．‎ ‎【详细解答】解：如图，过P作PD⊥OA于D，‎ ‎∵OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，∴PD=PC，∵PC=3，∴PD=3．‎ ‎【解后反思】：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎【关键词】角平分线的性质．‎ 三、解答题 ‎1. （2016甘肃兰州，25，10分））阅读下面材料：‎ ‎ 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到四边形的EFGH是平行四边形吗?‎ 小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．‎ 点E、F分别是AB、AC的中点 三角形 中位线定理 EF∥AC EF=AC 点G、H分别是CD、AD的中点 三角形 中位线定理 GH∥AC GH=AC EF∥GH EF=GH 四边形EFGH平行四边形 结合小敏的思路作答：‎ ‎(1)若只改变国l中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；‎ 参考小敏思考问题的方法，解决—下问题：‎ ‎(2) 如图2，在(1)的条件下，若连接AC，BD．‎ ‎①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形．写出结论并证明；‎ ‎②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．直接写出结论．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图1 图2‎ ‎【逐步提示】(1)第一步：由三角形中位线定理得出EF与AC的数量关系与位置关系；第二步：再由三角形中位线定理得出GH与AC的数量关系与位置关系；第三步：利用等量代换与平行线的传递性得出EF与GH的数量关系与位置关系，从而得到结论．‎ ‎(2) ①由(1)已经证得四边形EFGH是平行四边形，所以只需证明邻边FG=EF，由三角形中位线定理可得它们都等于BD或AC的一半，故易得“当AC=BD时，四边形EFGH是菱形”这一结论；②当AC⊥BD时，由三角形中位线定理可知EF∥AC，FG∥BD，故可得EF⊥FG，即∠EFG=90°，故四边形EFGH是矩形．‎ ‎【详细解答】解：(1)四边形EFGH还是平行四边形理由如下：连接AC ‎ ∵EF分别是AB，BC的中点 ‎ ∴EF∥AC，EF=AC，‎ ‎ ∵G，H分别是AC，BD的中点 ‎∴GH∥AC， GH=AC，∴EF∥GH，EF=GH，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎(2)①当AC=BD时，四边形EFGH是菱形理由如下：‎ ‎ 由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，‎ ‎ 当AC=BD时，FG=BD，EF=AC，‎ ‎ ∴ FG=EF，‎ ‎ ∴四边形EFGH是菱形．‎ ‎ ②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．理由如下：‎ 由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，∵EF分别是AB，BC的中点，‎ ‎ ∴EF∥AC，∵AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵G，F分别是CD，BC的中点 ‎∴FG∥AC，∵EF⊥BD，∴EF⊥FG，即∠EFG=90°，∴□EFGH是矩形．‎ ‎【解后反思】本题的实质是判定中点四边形的形状，而中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的．当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原四边形的对角线既相等又互相垂直时，中点四边形是正方形．注意中点四边形与原四边形的对角线是否平分无关． 【关键词】 菱形的判定；矩形的判定；三角形中位线定理 ‎2. （2016山东省德州市，23，10分）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.‎ ‎⑴如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点. ‎ 求证：中点四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎⑵如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，. 点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点. 猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想.‎ ‎⑶若改变⑵中的条件，使，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（不必证明）‎ ‎ ‎ ‎【逐步提示】⑴利用三角形的中位线分别求得、EH∥BD,、FG∥BD，从而得出中点四边形EFGH为平行四边形； ⑵ 由⑴知EFGH为平行四边形，再根据题目条件易证△APC≌△BPD，从而得出AC=BD，进而得到EF=FG，所以中点四边形EFGH为菱形；⑶当时，根据△APC≌△BPD易证AC⊥BD，再利用三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，得到，可得中点四边形EFGH为正方形. 【详细解答】解：（1）证明：连接BD． ∵E、H分别是AB、AD的中点， ∴，EH∥BD． ∵F、G分别是BC、CD的中点，‎ ‎∴，FG∥BD． ∴EH=FG，EH∥FG． ∴中点四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）四边形EFGH是菱形. 理由如下：‎ 如图23-2，连接AC、BD. ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 即：‎ 又∵PA=PB，PC=PD ‎∴△APC≌△BPD ∴AC=BD ‎∵点E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点. ∴， ∴EF=FG 又∵四边形EFGH是平行四边形 ∴中点四边形EFGH是菱形．‎ ‎ （3）当=90°时，中点四边形EFGH是正方形．理由如下：‎ 由⑵知：△APC≌△BPD ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ 又∵EF∥AC ‎∴‎ 又∵EH∥BD ‎∴‎ ‎∵四边形EFGH是菱形 ‎∴中点四边形EFGH是正方形．‎ ‎【解后反思】(1)中点四边形是一个新的定义，对于新定义问题，充分理解定义是解决题目的关键. ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 本题中主要根据题目中给出的线段中点的条件，充分利用三角形中位线的性质，得以证明；（2）在几何证明题中，通过图形变化来改变结论的题目很常见，这类问题一般遵循图形变化、结论变化或不变、解题方法不变的规律，所以对于此类题目，提醒学生不必因为图形变复杂而惊慌，而是通过前面一问的铺垫，用同样的方法便能得出结论；（3）对于几何证明题，特殊图形的性质及判断要熟练掌握，这是解决问题的基础，同时，此类题目还常常会出现由三角形全等变换到三角形相似的情况. ‎ ‎【关键词】 平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的判定；三角形中位线定理；全等三角形的判定和性质；新定义题型；定义法；数形结合思想；特殊与一般思想；归纳概括型阅读理解问题；结论开放型问题 ‎3. （2016山东滨州23，10分）‎ 如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG ‎（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；‎ ‎（2）若∠ABC =30°，∠C =45°，，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．‎ ‎【逐步提示】（1）根据EG是BD的垂直平分线可得BE=ED，BG=DG，再根据∠EBF=∠GBF，EG⊥BF，可以得到BE=BG，从而四边形EBGD的四条边都相等，因此是菱形；（2）当E、H、C三点共线时，HG+HC的值最小，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，四边形EBGD是菱形，即在△DCG中，DG=ED，∠DGC=∠ABC=30°，∠C=45°，求出DM的长度，则CN=NG+GM+CM=NG+BN+CM=BG+CM，在Rt△CEN中，应用勾股定理可求得CE的长．‎ ‎【详细解答】解：（1）四边形EBGD是菱形，理由如下：‎ ‎∵EG是BD的垂直平分线，∴BE=ED，BG=DG，EG⊥BD，在△BEF与△BGF中，∠EBF=∠GBF，BF=BF，∠BFE=∠BFG=90°，∴△BEF≌△BGF，∴BE=BG，∴BE=ED=DG=BG，∴四边形EBGD是菱形；‎ ‎（2）∵由（1）知四边形EBGD是菱形，点H为对角线BD上的点，∴△BEH≌△BGH，即EH=HG，∴HG+HC=EH+HC，当E、H、C三点共线时，EH+HC最小，即HG+HC最小，∴HG+HC最小值为CE的长度；分别过点E、D向BC作垂线，垂足分别为N、M，在Rt△BEN与Rt△GDM中，BE=DG，EN=DM，∴Rt△BEN≌Rt△GDM，∴BN=GM，∵CN=NG+GM+CM，∴CN= NG+BN+CM，即CN= BG+CM，在△DCG中，DG=，∠DGC=∠ABC=30°，∠C=45°，∴，CM=DM=，∴CN= BG+CM=+=，在Rt△CEN中，EN=DM=，CN=，，∴HG+HC的最小值是10．‎ 方法二：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵由（1）知四边形EBGD是菱形，点H为对角线BD上的点，∴△BEH≌△BGH，即EH=HG，∴HG+HC=EH+HC，当E、H、C三点共线时，EH+HC最小，即HG+HC最小，∴HG+HC最小值为CE的长度；分别过点E、D向BC作垂线，垂足分别为N、M，在△DCG中，DG=，∠DGC=∠ABC=30°，∠C=45°，∴，CM=DM=，∴CN=MN+CM=DE+CM =+=，在Rt△CEN中，EN=DM=，CN=，，∴HG+HC的最小值是10．‎ ‎【解后反思】本题先通过已知条件让考生判断出结论，然后对结论进行证明，此类问题难度大，考生往往在判断结论时就出错，导致题目全部出错，本题的关系复杂，问题（2）求两条线段和的最小值问题转化为“将军饮马”问题，求CE的长度难度较大，注重考查了考生的推理能力.‎ ‎【关键词】全等三角形的判定综合 解直角三角形 菱形的判定 勾股定理 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费