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课后练习21 矩形、菱形与正方形
A组
1．(2016·河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形
2．(2017·温州模拟)如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点，连结AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，四边形EMFN是( )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
第2题图
3．设A，B表示两个集合，我们规定“A∩B”表示A与B的公共部分，并称之为A与B的交集．例如：若A＝{正数}，B＝{整数}，则A∩B＝{正整数}．如果A＝{矩形}，B＝{菱形}，则A∩B＝( )
A．{平行四边形} B．{矩形} C．{菱形} D．{正方形}
4．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )
第4题图
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
5．已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.
以下是甲、乙两同学的作业：
甲：1.以点C为圆心，AB长为半径画弧；
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2．以点A为圆心，BC长为半径画弧；
3．两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图1)
乙：1.连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；
2．连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求(如图2)
对于两人的作业，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
6．(2015·青岛)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝，BD＝4，则菱形ABCD的周长为( )
A．4 B．4
C．4 D．28
第6题图
7．(2017·河北模拟)如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：
①点D到直线l的距离为；
②A、C两点到直线l的距离相等．
则符合题意的直线l的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
第7题图
8．(2017·绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线
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BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为____________________m.
第8题图
9．(2016·贺州)如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连结AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝，∠DCF＝30°，求四边形AECF的面积．(结果保留根号)
第9题图
10．如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE＝AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连结DE，DF.
(1)请你判断所画四边形的形状，并说明理由；
(2)连结EF，若AE＝8厘米，∠A＝60°，求线段EF的长．
第10题图
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B组
11．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：(1)AE＝BF；(2)AE⊥BF；(3)AO＝OE；(4)S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第11题图
12．已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝ .
第12题图
13．如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…则四边形A2B2C2D2的周长是 ；四边形A2017B2017C2017D2017的周长是 .
第13题图
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连结DO并延长到点E，使OE＝OD，连结AE，BE.
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第14题图
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
C组
15．(2016·台湾)如图，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革；皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD＝2DQ，PC＝RC，且P、Q、R三点分别在CD、AD、BC上，如图所示．
第15题图
(1)当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积；
(2)承(1)，当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案．
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参考答案
课后练习21 矩形、菱形与正方形
A组
1．C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.4600
9．(1)∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE(AAS)，∴AF＝CE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AECF是菱形； (2)∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝，在Rt△CDF中，cos∠DCF＝，∠DCF＝30°，∴CF＝＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2，∴四边形AECF的面积为：EC·AB＝2.10．(1)菱形．理由：∵根据题意得：AE＝AF＝ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形； (2)连结EF，∵AE＝AF，∠A＝60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF＝AE＝8厘米．
第10题图
B组
11．B 12.5 13.20
14．(1)略； (2)当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，∵由(1)得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
C组
15．(1)∵DQ＝x公分，∴PD＝2DQ＝2x公分，∴S△PDQ＝x×2x＝x2(平方公分)； (2)∵PD＝2x公分，CD＝12公分，∴PC＝CR＝(12－2x)公分，∴S五边形PQABR＝S正方形ABCD－S△PDQ－S△PCR＝122－x2－(12－2x)2＝144－x2－(144－48x＋4x2)＝144－x2－72＋24x－2x2＝－3x2＋24x＋72＝－3(x2－8x＋42)＋72＋3×16＝－3(x－4)2＋120，故当x＝4时，五边形PQABR有最大面积为120平方公分．
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