知识点034 与圆的有关计算2016.doc

由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 1. 2016甘肃兰州，12，4分）如图，用—个半径为 5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P旋转了 108°， 假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A． cm B．2 cm C．3 cm D．5 cm 【答案】C 【逐步提示】先明确重物上升的距离就是 P旋转的圆弧长，再求出该弧长即可. 【 详 细 解 答 】 解 ： 当 滑 轮 上 一 点 P 旋 转 了 108° 时 ， 重 物 上 升 的 距 离 就 是 P 旋 转 的 弧 长 ， h=l= 180 n r = 108 5 180   =3 (cm)，故选择 C. 【解后反思】本题是有关弧长公式的应用题，解题的关键是能将实际问题转化为数学问题【关键词】弧长公式； 转化思想 . 2. （ 2016湖北省十堰市，9，3分）如图，从一张腰长为 60厘米，顶角为 120°的等腰三角形铁皮 OAB 中 剪出一个最大的扇形 OCD，用此剪下的铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗）则圆锥的高为（ ） A. 10cm B.15cm C.10 3 cm D.20 2 cm. 【答案】D 【逐步提示】本题主要考查解直角三角形、弧长计算、圆锥的侧面展开等计算问题；解题的关键是把一个扇 形围成一个圆锥后，弄清圆锥的母线长、底面半径与原扇形弧长、半径之间的关系.解题思路：圆锥的侧面积＝ 展开后的扇形面积＝ 2 1 ×弧长×半径 . 【详细解答】解：如图，因为等腰三角形铁皮腰长为 60厘米，顶角为 120°，所以剪出的最大的扇形 OCD 的半 径是 30厘米，扇形的圆心角是 120°；因为围成的圆锥的底面周长是 180 30120  =20 ，设圆锥的底面半径为 r， 所以 2r = 20 , r=10; h= 2201030 22  故选择 D . 【解后反思】本题中的等腰三角形的计算、解直角三角形、扇形弧长的计算是重点；而把扇形围成圆锥，计算 母线长、底面半径是园中计算的一个难点. 归纳拓展：在圆锥的相关计算中，关键抓住以下几点：(1)圆锥的侧面展开图是扇形；(2)扇形的半径是圆锥 的母线；(3)扇形的弧长是圆锥底面的周长． 在圆柱的侧面积计算中，关键抓住下面两点：(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形，其两邻边分别为圆柱的高 和圆柱底面的周长，所以圆柱的侧面积等于底面的周长乘圆柱的高，即 S圆柱侧＝2πrh； (2)防止漏掉圆柱的底 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 面积而出错． 【关键词】解直角三角形；圆中的计算问题；弧长；扇形 ；圆锥的侧面积与全面积 3. （2016江苏省无锡市，7，3分）已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面展开图的面积等于 （ ） A．24 cm2 B．48 cm2 C．24πcm2 D．12πcm2 【答案】C 【逐步提示】本题考查了圆锥侧面积的求法，解题的关键是掌握侧面展开图与圆锥底面半径和母线之间的关联．本 题可以先求出圆锥的底面周长，即展开图扇形的弧长，然后套用扇形面积公式即可． 【详细解答】解：∵圆锥的底面半径为 4cm，∴圆锥底面周长为 8πcm，所以 S 侧＝ 1 2 ×8π×6＝24πcm2，故选 择 C . 【解后反思】（1）若⊙O的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 n°，则有如下公式：①弧长公式 l= 180 Rn ；扇形面积公式 S= lRRn 2 1 360 2   ．（2）若圆锥的母线为 l，底面半径为 r，则圆锥的侧面积公式：S 侧=πrl．（3） 圆锥的侧面展开图是扇形，要注意扇形与圆锥间的联系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆 锥的母线长． 【关键词】圆锥侧面展开图；扇形面积； 二、填空题 1. （ 2016安徽，13，5分）如图，已知⊙O的半径为 2，A为⊙O外一点.过点 A作⊙O的一条切线 AB，切点 为 B.AO的延长线叫⊙O于点 C.若∠BAC=300，则劣弧 BC的长为 【答案】 3 4 【逐步提示】连接 OB，由切线的性质求出∠BOC的度数，然后代入弧长计算公式求解. 【详细解答】解：如图，连接 OB，∵AB是⊙O的切线，∴∠ABO=900,∵∠BAC=300,∴∠AOB=600,∴∠BOC=1200, 劣弧 BC的长为 3 4 180 2120    ，故答案为 3 4 . 【解后反思】弧长 l = 180 Rn ,其中 n是圆弧所对的圆心角的度数，R是圆弧所在圆的半径，求弧长应确定圆弧的圆 心角 n和半径 R.另扇形面积= lRRn 2 1 360 2   ,其中 n是扇形的圆心角，R是扇形的半径， l是扇形的圆弧长. 【关键词】圆的计算，弧长的计算公式 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 2. （ 2016甘肃省天水市，17，4 分）如图，在△ABC中，BC＝6，以点 A为圆心，2 为半径的⊙A与 BC相切 于点 D，交 AB于点 E，交 AC于点 F，点 P是优弧EF 上的一点，且∠EPF＝50°，则图中阴影部分的面积 是______． A B D C P E F 【答案】6－10 9  ． 【逐步提示】本题考查了切线的性质，求扇形的面积，圆周角定理，解题的关键是 1.连结 AD，可得 AD⊥BC， 则有 AD＝2，这样就能求得△ABC的面积．2. 根据圆周角定理求得∠EAF＝2∠EPF＝100°，而半径已知，就可 求得扇形 EAF的面积．3. 根据阴影部分的面积＝△ABC的面积－扇形 EAF的面积求解． 【详细解答】解：连结 AD， A B D C P E F ∵⊙A与 BC相切于点 D， ∴AD⊥BC，AD＝2． ∴S△ABC＝ 1 2 BC·AD＝ 1 2 ×6×2＝6． ∵圆周角∠EPF与圆心角∠EAF对的是同一条弧， ∴∠EPF＝ 1 2 ∠EAF． 而∠EPF＝50°， ∴∠EAF＝2∠EPF＝100°． ∴S 扇形 EAF＝ 2100 2 360   ＝ 10 9  ． ∴S阴影＝S△ABC－S 扇形 EAF＝6－ 10 9  ． 故答案为 6－ 10 9  ． 【解后反思】求阴影部分面积时，一般考虑将不规则的阴影图形，割（或补）成几个规则图形的面积之和（或差）， 从而代入公式求值． 【关键词】圆心角、圆周角定理；切线的判定与性质；扇形与弓形；面积法． 3. （2016广东省广州市，15，3分）如图，以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB是小圆的切线，点 P 为切点，AB=12 3，OP=6，则劣弧 ︵ AB的长为 ．（结果保留π） 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 O A P B 【答案】8π 【逐步提示】根据弧长计算公式，要求劣弧 ︵ AB的长，需知道半径 OB的长与圆心角∠ABO的大小．于是连接 OA 与 OB，在小圆 O中，易得 OP⊥AB，则在大圆 O中，有 AP=PB，据此，通过解 Rt△OPB，可求 OB的长与∠ POB的度数，进而可得∠AOB的度数，最后利用弧长公式计算求值即可． 【详细解答】解：连接 OA，OB．∵大圆的弦 AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，根据垂径定理，得 BP= 2 1 AB=6 3．在 Rt△OBP中，OB= 22 PBOP  = 22 )36(6  =12，tan∠POB= OP PB = 6 36 = 3，∴∠POB=60°．∵OA=OB， OP⊥AB，∴∠AOB=2∠POB=120°． 劣弧 ︵ AB的长= 180 12120  =8π．故答案为 8π． O A P B 【解后反思】（1）n°的圆心角所对的弧长为：l= 180 Rn ，弧长 l，圆心角度数 n与半径 R中，知其中两个量可求第 三个量． （2）圆的切线垂直于过切点的半径．这样可把要求值的线段或角放在直角三角形中去解决． 【关键词】切线的性质；垂径定理；勾股定理；锐角三角形函数；弧长计算公式 4. （2016贵州省毕节市，20，5分）如图，分别以边长等于 1的正方形的四边为直径作半圆，则图中阴影部分 的面积为__________． （第 20题图） 【答案】 2  －1 【逐步提示】本题考查正方形的性质、扇形、弓形的面积算法，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式及能将阴 影部分转化为可求面积的图形之和或之差，再进一步求解． 【详细解答】解：由题意可知，阴影部分面积为 8 个完全相同的弓形的面积组成，而 S 弓形 ＝ S扇 － S ＝ 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 21 1( ) 4 2   － 1 1 1 2 2 2   ＝ 1 16 8   ．∴ S 阴影 ＝ 8 S 弓形 ＝ 18( ) 16 8   ＝ 2  －1，故答案为 2  －1. 【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确表示阴影部分面积． 【关键词】扇形与弓形；转化思想；图景信息型 5. （ 2016河南省，14，3分）如图，在扇形 AOB中，∠AOB=90°，以点 A为圆心， OA的长为半径作 ⌒OC 交 ⌒AB 于点 C. 若 OA=2，则阴影部分的面积为___________. 【答案】  3 13  【逐步提示】本题考查扇形面积公式、解直角三角形，解题的关键是把阴影部分的面积转化为几个规则图形面积 的和差，特别是△OAC是等边三角形.思路：阴影部分是不规则图形，求它的面积一般采用割补法转化为几个规 则图形的面积和差，问题中的关键点是 C点，连接 OC，ＡＣ，则 S 阴影=S 扇形OBA-S 扇形OCA-S 弓形OC或Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＯＢ Ｃ－Ｓ弓形ＯＣ怎样确定扇形 OCA 的圆心角的大小呢？利用ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＣ得△ＯＡＣ是等边三角形可以确定 ∠COＡ=60°，则∠BOＣ=30°，最后利用扇形面积公式和解直角间三角形求解扇形和弓形的面积. 【详细解答】解：连接 OＣ和ＡＣ ∵ＯＡ＝ＯＣ，ＡＯ＝ＡＣ，∴OC=OA=ＡＣ＝２， ∴△ＯＡＣ是等边三角形． ∴∠ＡＯＣ＝∠ＯＡＣ＝６０° 作ＯＥ⊥ＡＣ于点Ｅ 在Ｒｔ△ＯＡＥ中，ＯＥ＝ＯＡ·ｓｉｎ６０°＝ 3 ∴S 弓形OC=S 扇形AOC-S△ＯＡC= 360 60 22 - 32 2 1  = 3 3 2  S 阴影=S 扇形OBA-S 扇形OCA-S 弓形OC = 360 60 )3 3 2( 360 90 22 22       = 3 3   方法二：连接 OＣ和ＡＣ ∵ＯＡ＝ＯＣ，ＡＯ＝ＡＣ，∴OC=OA=ＡＣ＝２， ∴△ＯＡＣ是等边三角形． ∴∠ＡＯＣ＝∠ＯＡＣ＝６０°∴∠BOC=30° 作ＯＥ⊥ＡＣ于点Ｅ 在Ｒｔ△ＯＡＥ中，ＯＥ＝ＯＡ·ｓｉｎ６０°＝ 3 ∴S 弓形OC=S 扇形AOC-S△ＯＡC= 360 60 22 - 32 2 1  = 3 3 2  由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ∴Ｓ阴影＝Ｓ扇形ＯＢＣ－Ｓ弓形ＯＣ= 230 360 2  （ 3 3 2  ）= 3 3   ， 故答案为 3 3   . 【解后反思】本题的重点是利用割补法确定规则图形．难点是确定关键点和△ＯＡＣ是等边三角形.一般思维模 式是不规则图形的面积可采用割补法，利用规则图形的面积和差求解，构造了特殊角的直角三角形借助三角函数 或勾股定理求它的高或高得面积，再确定扇形的圆心角，利用扇形面积公式求出扇形面积，从而求出阴影部分的 面积． 【关键词】扇形面积的计算；等边三角形；弓形；解直角三角形；化归思想 6.（ 2016湖北省黄石市，15，3分）如图所示，正方形 ABCD对角线 AC所在直线上有一点 O，OA＝AC＝2， 将正方形绕 O点顺时针旋转 60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是________． C D A B O D C B A 【答案】 2 2π ． 【逐步提示】本题考查了与圆有关的面积计算，解题的关键是正确表示出阴影部分的面积．正方形扫过的面 积可看成是正方形 ABCD的面积＋扇形 OCC′的面积－扇形 OAA′的面积． 【详细解答】解：S 正方形扫过的面积＝S 正方形 ABCD＋S 扇形OCC′－S 扇形OAA′＝ 22 2 ( ) ＋ 260 4 360 π － 260 2 360 π ＝ 2 2π ， 故答案为 2 2π ． 【解后反思】计算阴影部分的面积，如果阴影部分是不规则图形，一般运用割补法，将不规则图形的面积转 化为规则图形的面积来计算． 【关键词】圆中的计算问题． 7. （2016湖北省荆州市，16，3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算 这个几何体的表面积为 cm 2 ． 【答案】4π 【逐步提示】本题考查了根据几何体的三视图判断几何体的形状以及圆锥的侧面积与全面积的计算公式，解题的 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 关键是从三视图中获取物体的形状和数量关系． 【详细解答】解：根据俯视图可得该几何体的底面是圆，根据主视图和左视图都是等腰三角形可得侧面应该是锥 体，所以该几何体是圆锥，根据几何体的三视图得原圆锥的底面直径为 2、母线长为 3，因此该几何体的几何体 的表面积=圆锥的侧面积+ 圆锥的底面积=3π+π=4π ，故答案为 4π . 【解后反思】由视图到立体图形，根据视图想像出视图所反映的立体形状，我们称为读图．读图的一般规律：（1） 长、宽、高的关系：主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视图和左视图宽度相等．（2）上下、 前后、左右的关系：读图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部分的左 右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置． 【关键词】三视图的反向思维；圆锥的侧面积与全面积 8. （2016湖南常德，14，3分）如图 5，△ABC 是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为 3．则图中阴影部分的面 积是 ． 【答案】3 【逐步提示】本题考查了等边三角形的性质和扇形面积公式．关键是利用等边三角形的性质求出∠AOB的度数， 从而利用扇形面积公式求出阴影部分的面积． 【详细解答】解：∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝120°，∴S 阴影= π 2120 3 3 360    ．故答案为 3 ． 【解后反思】：设扇形的半径为 r，圆心角为 n°，弧长为 l，则扇形的面积为： 扇形S 360 2rn 或 扇形S 2 360 n R ． 【关键词】等边三角形的性质；扇形面积公式 9.（ 2016湖南省湘潭市，14，3分）如图，一个扇形的圆心角为 90°，半径为 2，则该扇形的弧长是 . （结果保留π） 90° 2 【答案】π 【逐步提示】本题考查了弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式，然后把圆心角、半径代入弧长公式求解即可． 【详细解答】解：∵扇形圆心角为 90°，半径为 2，∴扇形的弧长为 90 2 180     ，故答案为π. 【解后反思】半径为 r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 180 n rl   ，要求出弧长关键弄清公式中各个字母的含义． 【关键词】弧长公式 10.（ 2016年湖南省湘潭市，14，3分）如图，一个扇形的圆心角为 90°，半径为 2，则该扇形的弧长为________. 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 （结果保留 ） 90° 2 【答案】 【逐步提示】本题考查了弧长的计算公式，解题的关键是掌握扇形的弧长公式。先确定圆的半径和圆心角度数， 再代入到扇形弧长的计算公式。 【详细解答】解：扇形的圆心角为 90°，半径为 2，∴     180 290 180 Rn ，故答案为  . 【解后反思】弧长的计算公式是 l= 180 Rn ，其中 n 是圆弧所对的圆心角大小，R是圆弧所在圆的半径，要运用公 式首先要找准圆心，找对半径. 【关键词】圆；圆中的计算问题；弧长；； 11. （ 2016 湖南省益阳市，12，5 分）下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积 为 ．（结果保留 ） 【答案】 24 【逐步提示】由圆柱体的三视图可得底面直径为 4，高为 6，再根据圆柱的侧面积=底面圆的周长×圆柱的高，代 入相应数值求解即可． 【详细解答】解：由图可知立体图是圆柱，半径 r=2，高 h=6， 所以 22 6 24v      ，故答案为 24 . 【解后反思】解决此类问题的关键是根据三视图确定几何体的形状，然后根据相应公式求解.圆柱的侧面积=底面 圆的周长×圆柱的高，圆柱的体积=底面圆的面积×圆柱的高. 【关键词】三视图；圆柱体的侧面展开图 12. (2016 湖南省岳阳市，11，4)在半径为 6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长是__________cm. 【答案】4π 【逐步提示】根据弧长公式 180 n Rl   ，这里 r=6，n=120，将相关数据代入弧长公式求解. 【详细解答】 120 6 180 180 n rl      =4π，所以填：4π。 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 【解后反思】半径为 r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 180 n Rl   ，要求出弧长关键弄清公式中各个字母的含 义．这类问题容易出错的地方是弧长公式 180 n Rl   和扇形面积公式 S＝ 2 360 n r 混淆面出错误。 【关键词】弧长计算公式 13. （ 2016江苏省淮安市，17，3分）若一个圆锥的底面圆的半径为 2，母线长为 6，则该圆锥侧面展开图的圆 心角为 ° 【答案】120． 【逐步提示】本题考查了与圆锥的侧面积有关的计算，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面 的周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 【详细解答】解：设扇形的圆心角为 n°，则 2π×2＝ 6 180 n  ．解得 n＝120°，故答案为 120 ． 【解后反思】如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形弧长 l＝ 180 n r ， 面积的计算公式为：S 扇形＝ 2 360 n R ．如 果扇形所对的弧长为 l，扇形的半径为 R，那么扇形面积的计算公式为：S 扇形＝ 1 2 lR． 【关键词】圆锥侧面展开图 ；弧长公式； 14. （ 2016江苏省连云港市，16，3分）如图，⊙P的半径为 5， A、B是圆上任意两点，且 6AB ，以 AB 为边作正方形 ABCD（点 D、 P在直线 AB两侧）．若 AB 边绕点 P旋转一周，则CD边扫过的面积为 ▲ ． 【答案】9． 【逐步提示】本题考查与旋转有关的图形面积的计算，弄清楚线 CD随着线段 AB的旋转是绕着 P点旋转一周这 个结论是解题的关键． 求出 OD的长度以及 P到 CD的距离，最后利用圆环的面积公式求出 CD扫过的面积． 【详细解答】解：本题考查与旋转有关的图形面积的计算，过点 P作 PF⊥AB于 F，交CD于点 E，则有 AF= 1 2 AB=3， ∵四边形 ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴PE⊥CD， ∴PF= 2 2 2 25 3 4AP AF    ，∴PE=AD+PF=6+4=10， ∴ 2 2 2PD DE PE  =9+100=109 ， 于 是 AB 绕 点 P 旋 转 一 周 ， CD 边 扫 过 的 面 积 等 于 = 2 2 109 100 9PD PE       ，故答案为9 ． 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 【解后反思】处理动线的问题的时候，要分析题意，探究出图形在变化的过程中那些元素是变化的，那些是不变 化的，本题中变化的是线段 AB，它的长度不变，但它的位置在⊙P上运动，线段 CD也是在变化的，但 PD的 PE的长度是不变，由此得出 CD是绕着点 P旋转一周的，从而使问题得以解决． 【关键词】图形的旋转 ；动线题型；；； 15. （2016江苏泰州，15，3分）如图，⊙O的半径为 2，点 A、C在⊙O上，线段 BD经过圆心 O，∠ABD=∠ CDB=90°，AB=1，CD= 3，则图中阴影部分的面积为 . （第 15题图） （第 15题答图） 【答案】 3 5 【逐步提示】本题考查了直角三角以及扇形的面积公式，解题的关键是找出 S 阴影部分=S 扇形 AOC．连接 AO、CO，通过计算可以证明 S△ABO=S△ODC，将图中阴影部分面积转化为扇形 AOC的面积，最后只要求出∠AOC 的度数后代入扇形面积公式即可. 【详细解答】解：连接 AO、CO，则 AO=CO=2，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD= 3，∴OD=1，BO= 3， ∴ S △ ABO=S △ ODC，∠AOB=30°，∠COD=60°，∴∠AOC=180°－ 60°＋ 30° =150°， S 阴 影 部 分 =S 扇 形 AOC= 3 5 360 2150 2    .故答案为 3 5 . 【解后反思】求不规则图形面积时，一般都是通过割补法将不规则图形转化为规则图形（三角形、特殊四边形、 扇形等）来求面积 【关键词】割补法；扇形；面积 16.（ 2016湖南省怀化市，11，4分）已知扇形的半径为 6 cm，面积为 10 πcm 2，则该扇形的弧长等于______________. 【答案】 10 3  【逐步提示】此题已知扇形面积为 10 πcm 2，扇形的半径为 6 cm，根据扇形面积公式 S 扇形＝ 1 2 lr ，计算可得 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 【详细解答】解：∵ l＝ 180 n r , S 扇形＝ 2 360 n r ＝ 1 2 180 n r r   ＝ 1 2 lr ＝10π,∴l＝ 20 r  ＝ 20 6  ＝ 10 3  ，故答案为 10 3  . 【解后反思】此题考查扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式 S 扇形＝ 1 2 lr ，其中，l是弧长，r是 半径. 【关键词】扇形与弓形 17. （2016江苏盐城，14，3分）若圆锥的底面半径为 2，母线长为 4，则圆锥的侧面积为 ▲ ． 【答案】8 【逐步提示】本题考查了圆锥侧面积的计算，解题的关键是根据圆锥侧面积的计算公式，由圆锥的底面半径、母 线长，直接计算出圆锥侧面积． 【详细解答】解：S＝πrl＝π24=8，故答案为 8． 【解后反思】圆中的计算公式：1．圆的周长 C＝2πr＝πd；2．圆的面积 S＝πr2；3．圆环形面积 S＝π(R2 －r2) ；4．弧长 l＝ 180 n r ；5．扇形面积 2 1 360 2 n RS lRp = = ； 6．圆锥侧面积 S＝πrl． 【关键词】圆锥的侧面积与全面积 18. （2016山东省德州市，16，4分）如图，半径为1 的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M圆心O 重合，则阴影部分的 面积是 。 【答案】 6 -33  【逐步提示】（1）求阴影部分的面积，用半圆的面积减去空白部分的面积，即： 弓形半圆阴影 SSS 2- ；（2）已 知半径，半圆的面积好求；弓形的面积=扇形 OAMB面积-三角形 AOB的面积；在 Rt△AOC中利用边的关系， 易求∠OAC=30°，进而易求圆心角∠AOB=120°，再根据扇形的面积公式即可求出扇形面积；在 Rt△AOC 利用勾股定理求出线段 AC的长，所以很容易求出三角形 AOB的面积。问题得以解决。 【详细解答】解：如图 16-1，连接 OA、OB、OM，OM与 AB交于点 C， 由题意可知： ABOM  , OAOMOC 2 1 2 1  ， 在 Rt△OAC中，∵∠OAC=30°， ∴∠AOC=60°，∴∠AOB=120°， ∵OA=OB=OM=1， ∴ 2 1 OC ， 2 3 AC ， 32  ACAB ， 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ∴ 4 3 AOBS△ ， 3360 1120 2    扇形S ， ∴ 4 3- 3  弓形S ， ∴ 6 -33 6 - 2 3 4 3- 3 2- 2 2-         弓形半圆阴影 SSS ， 故答案为 6 -33  . 【解后反思】（1）求阴影部分的面积通常采用割补或拼凑的方法，此题难点在于利用边的关系求出圆心角∠AOB 的度数；（2）熟记扇形面积公式也是解决此类问题的关键. 【关键词】圆心角 ；垂径定理；扇形与弓形；勾股定理；面积法；数形结合思想 19.2016山东滨州 16，4分）如图，△ABC是等边三角形，AB=2，分别以 A，B，C为圆心，以 2为半径长作弧， 则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2π 33 ． 【逐步提示】用扇形的面积减去等边三角形的面积再乘以 3就是阴影部分的面积． 【详细解答】解：扇形 BAC的面积= 3 2 360 260 360 22    ππ rn π 等边三角形 ABC的面积= 32 4 3 2  由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 阴影部分的面积=3（ 3 2 π 3 ）=2π 33 故答案为 2π 33 ． 【解后反思】扇形面积公式：S 扇形＝ 2 360 n R 清楚地反映了变量 S， n， R三者之间的关系，据此可解决相关的“知 二求一”问题．求阴影部分的面积，特别是不规则几何图形的面积时，常通过平移、旋转、分割等方法，把不规 则图形面积转化为规则图形面积的和或差，使复杂问题简单化，便于求解．． 【关键词】 扇形面积的计算 转化思想 20. （2016 镇江，9,2分）圆锥底面圆的半径为 4，母线长为 5，它的侧面积等于 （结果保留π）. 【答案】20π. 【逐步提示】①本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是熟记圆锥的侧面积计算公式．②圆锥的侧面展开图是 扇形，圆锥的侧面积就是相关扇形的面积，直接利用圆锥的侧面积公式 S=πrl计算． 【详细解答】解：S=πrl=π×4×5=20π，故答案为 20． 【解后反思】对于圆锥的计算考查主要有三种形式：（1）圆锥的半径、高、母线长中已知两个求圆锥的侧面积或 全面积；（2）知道圆锥的侧面积和底面半径，求母线长或高或圆锥侧面展开图的圆心角；（3）已知圆锥侧面展开 图弧长及圆心角度数，求圆锥的底面半径和高. 解此类题的方法主要利用圆锥的底面周长与侧面展开图扇形弧长 相等的关系式、圆锥的母线就是侧面展开图扇形的半径以及勾股定理求解．此类问题容易出错的地方是误以为圆 锥的侧面积公式 S=1 2 πrl或 S=2πrl． 【关键词】 圆锥的侧面积 21. （2016 镇江，11,2分）如图 1，⊙O的直径 AB=4cm，点 C在⊙O上，设∠ABC的度数为 x（单位：度，0 ＜x＜90）,优弧ABC的弧长与劣弧AC的弧长的差设为 y(单位：厘米)，图 2表示 y与 x的函数关系，则 a= 度 . 【答案】22.5 【逐步提示】①本题考查了弧长公式及一次函数的图像，解题的关键是熟记弧长公式．②先用 x表示优弧ABC 的弧长与劣弧AC的弧长，再求它们的差，从而表示出 y，最后把点（a,3 ）代入关系式求出 a的值. 【详细解答】解：连结 OC，∵∠ABC=x°，∴∠AOC=2x°，∠,BOC=（180-x）°。  180 2 21 2 22 2 2 180 180 x xy             24 45 x  .把点（a,3 ）代入,得 23 4 45 a   ，解得 a=22.5. 故答案为 22.5.. 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 【解后反思】（1）弧长的计算公式是 l= 180 Rn ，其中 n是圆弧所对的圆心角大小，R是圆弧所在圆的半径，要运 用公式首先要找准圆心，找对半径.（2）一个点在函数的图像上，则这个点的坐标满足函数关系式. 【关键词】弧长；数形结合；待定系数法 三、解答题 1. （ 2016福建福州，24，12分）如图，正方形 ABCD内接于⊙O，M 为 ⌒AD中点，连接 BM，CM． （1）求证：BM＝CM； （2）当⊙O的半径为 2 时，求 ⌒BM的长． 【逐步提示】本题考查了正方形的性质、弧长的计算、圆心距、弦、弧之间的关系，掌握弧长的计算公式、圆心 距、弦、弧之间的关系定理是解题的关键．（1）根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可；（2）根据弧长公 式计算． 【详细解答】解：（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴ AB CD ， ∴ AB CD , ∵M为AD中点, ∴ AM DM , ∴ BM CM , ∴ BM CM . （2）解：连接 , ,OM OB OC . ∵ BM CM , ∴∠BOM﹦∠COM, ∵正方形 ABCD内接于⊙O， ∴ 360 90 4 BOC     . ∴ 135BOM   . 由弧长公式，得BM 的长 135 2 3l= 180 2     【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能求出圆心角的度数及弧长公式用错.在弧长公式 l= 180 Rn 中，当圆心 角 n、半径 R和弧长 l已知两个时，可求得第三个. 【关键词】正方形的性质；弧、弦、弦心距；弧长；； 2. （ 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等 9市，22，8分）图①是小明 在健身器上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由 ON位置运动到与地面垂直的 OM位置 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 时的示意图，已经 AC=0.66米，BD=0.26米，α=20º．（参考数据：sin20º≈0.342，cos20º≈0.940，tan20º≈0.364） （1）求 AB的长（精确到 0.01米）； （2）若测得 ON=0.8米，试计算小明头顶由 N点运动到 M点的路径MN的长度（结果保留π）． 图① 图② 第 22题图 【逐步提示】本题考查解直角三角形和弧长的计算公式，解题的关键是构造直角三角形，（1）借助于 20°这一条 件，把 20°和 AB边共同放置于一个直角三角形中，即过点 B作 AC的垂线段，设垂足为 F，在直角△ABF中， 利用三角函数求解； （2）MN 是以点 O为圆心，ON为半径的圆中的一条弧且所对的圆心角是 110°，利用弧长公式进行计算即可． 【详细解答】解：（1） 过点 B作 BF⊥AC于点 F． 1分 ∴ AF=AC－BD=0.4(米)， 2分 ∴ AB=AF÷sin20°≈1.17(米)； 3分 （2）∵ ∠MON=90°＋20°=110°， 4分 ∴  110 0.8 22 180 45 MN      (米)． 6分 【解后反思】在一般三角形中已知一些边和角求另外的边长的问题，通常都是通过添作垂线，构造直角三角形， 运用解直角三角形的知识来解决问题；对于弧长的计算，一是要知道弧所在圆的半径二是要知道圆心角的度数， 再利用 180 nl r 进行计算． 【关键词】 三角函数；解直角三角形；圆的有关计算； 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 3. （2016广东茂名，24，8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是 AB边上的两点，以 DF为直径的⊙O 与 BC相交于点 E，连接 EF，过 F作 FG⊥BC于点 G，其中∠OFE=1 2 ∠A. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若 sinB=3 5 ，⊙O的半径为 r，求△EHG的面积.（用含 r的代数式表示） 【逐步提示】本题考查了切线的判定定理、圆中有关线段的求值问题，解题的关键是掌握切线的判定方法以及构 造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等使问题获解．（1）由于 BC与⊙O有一个确定的公共点 E，根据 切线的判定定理，只要连接 OE，证明 OE⊥BC即可说明 BC是⊙O的切线；（2）连接 DE，过点 E作 EQ⊥AB， 垂足为 Q，由于△EDQ与题中已知条件的联系比较密切，较容易求出它的两直角边的长度，因此证△EDQ≌△ EHG，将“求△EHG的面积”转化为“求△EDQ的面积”. 【详细解答】解：（1）连接 OE. ∵⊙O中，OE=OF， ∴∠OEF=∠OFE. ∵∠BOE为△OEF的外角， ∴∠BOE=∠OEF+∠OFE=2∠OFE. ∵∠OFE=1 2 ∠A， ∴∠BOE=∠A， ∴OE∥AC， ∴∠BEO=∠C. ∵∠C=90°， ∴∠BEO=90°，即 OE⊥BC. ∴BC是⊙O的切线； （2）连接 DE，过点 E作 EQ⊥AB，垂足为 Q. 在 Rt△BEO中，sinB=OE BO ，即 3 5 = r BO ，∴BO=5 3 r， ∴BE= BO2－OE2=4 3 r. 在 Rt△BQE中，sinB=EQ BE ，即 3 5 =QE÷4 3 r，解得 QE=4 5 r. 在 Rt△OQE中，OQ= OE2－QE2=3 5 r， ∴DQ=OD－OQ=r－3 5 r=2 5 r. ∴S△EDQ= 1 2 DQ×QE= 4 25 r2. ∵OE⊥BC，FG⊥BC， ∴OE∥FG， 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ∴∠OEF=∠EFG. ∵∠OEF=∠OFE， ∴∠OFE=∠EFG， ∴EF是∠QFG的平分线， ⌒DE= ⌒EH. ∴在⊙O中，ED=EH. 又∵EF是∠QFG的平分线，EQ⊥AB，EG⊥FG， ∴EQ=EG， ∴△EDQ≌△EHG（HL）， ∴S△EHG=S△EDQ= 4 25 r2. 【解后反思】（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线﹒切线的基本证明 方法：①切点已知，连过切点的半径，证所连半径垂直于要证明的切线；②切点未知，作垂线段，证垂线段 等于半径. （2）求△EHG的面积也可采用证△EHG∽△FEG，先求出 EG、HG长度，再求△EHG面积，不管哪一种方法， 都要将条件“sinB=3 5 ”置于直角三角形，沟通直角三角形边、角间的关系，从而为求△EHG的面积创设条件. 【关键词】直线与圆相切；锐角三角函数；勾股定理. 4. （ 2016 河北省，25，10 分）如图，半圆 O 的直径 AB=4，以长为 2 的弦 PQ 为直径，向点 O 方向作半圆 M，其 中 P 点在 AQ（弧）上且不．与 A 点重合，但 Q 点可与 B 点重合. 发现 AP（弧）的长与 QB（弧）的长之和为定值 l，求 l； 思考 点 M与 AB的最大距离为_______，此时点 P，A间的距离为_______；点 M与 AB的最小距离为________， 此时半圆 M的弧与 AB所围成的封闭图形面积为________. 探究 当半圆 M与 AB相切时，求 AP（弧）的长. （注：结果保留π，cos 35°= 6 3 ，cos 55°= 3 3 ）[来源:Zxxk.Com] 备用图 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 【逐步提示】本题是一道与圆有关的综合题，涉及圆、三角形等知识，难度较大.（1）如图 1，连结 OP,OQ，易 证△OPQ 是等边三角形，易求得∠POQ=60°和  PQ的长，进而求得  AP和  QB的长之和 l.（2）如图 2，当 PQ∥ AB 时，点 M 与 AB 的距离最大；如图 3，当点 Q 与点 B 重合时，点 M 与 AB 的距离最小.（3）半圆 M 与 AB 相切， 分两种情况：半圆 M 与 AO 相切和半圆 M 与 BO 相切. 图 1 图 2 图 3 【详细解答】解：（1）发现：连结 OP,OQ，则 OP=OQ=PQ=2. ∴∠POQ=60°.∴  PQ的长= 60 2 2= 180 3   . ∴l= 1 2 44 2 3 3     . 思考： 3 2 3 2 3 6 4   探究：半圆 M与 AB 相切，分两种情况： ①如图 1，半圆 M与 AO 相切于点 T 时，连结 PO,MO,TM. 则 MT⊥AO，OM⊥PQ. 在 Rt△POM 中，sin∠POM=30°. 在 Rt△TOM 中，TO=  2 23 1 2  ， ∴cos∠AOM= 6 3 ，即∠AOM=35°. ∴∠POA=35°－30°=5°. ∴  AP的长= 5 2 = 180 18   . 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 图 1 图 2 ②如图 2，半圆 M与 BO 相切于点 S 时，连结 QO，MO,SM. 由对称性，同理得  BQ的长= 18  . 由 l= 4 3  ，得  AP的长= 4 23 3 18 18     . 综上，  AP的长= 18  或 23 18  . 【解后反思】本题属于压轴题，难度较大，特别是解答“探究”问时，容易忽略其中一种情形；在解答本题时， 关注等边△OPQ（或含有 30° 锐角的 Rt△OPM）是解题的关键. 【关键词】弧长；点到直线的距离；两点之间的距离；相切；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数；扇 形的面积；相切；分类讨论思想 5.（2016湖北宜昌，21，8分）如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且 CD∥AB．连接 AC，AD，OD，其中 AC=CD．过 点 B的切线交 CD的延长线于 E．【来源：21cnj*y.co*m】 （1）求证：DA平分∠CDO； （2）若 AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据： 3.1  ， 2 1.4 ， 3 1.7 ）． （第 21 题） 【逐步提示】本题考查了圆的切线，弧长公式，三角函数，圆周角定理及推论，关键是通过适当的辅助线将问题 转化. 【详细解答】解：证明：（1）∵CD∥AB ∴∠CDA＝∠BAD， 又∵AO=OD ∴∠ADO＝∠BAD， ∴∠ADO＝∠CDO， 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 (2)如图，连接 BD，∵AB 是直径， 90°，即 BO⊥AB 又 DO⊥CD，∴∠ADＢ＝90° ∵ＣA＝ＣＤ ∴∠DAＣ＝∠CDＡ， 又∵CD∥AB ∴∠BAD＝∠CDA， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠CDA， ∴弧 AC=弧 DC＝弧 BD 又∵∠BOA＝180° ∴∠BOD＝60° ∴∠BAD＝ 1 2 ∠BOD =30° 在 Rt △BDA 中，∠BAD=30° ∴BO= 1 2 AB=6, AC=BC，又 AO⊥BC 又∵弧 AC=弧 DB ∴BD=AC=6 ∵过点 B的切线交 CD的延长线于 E ∴AB⊥BE ∴∠BDE＝∠ABE-∠ABD=30° 又∵CD∥AB ∴CE⊥BE ∴DE= 1 2 DB=3，BE=BDcos∠DBE=6 3 2  =3 3 ∴弧 BD 的长为 60 6 180   ＝２ 又∵弧 AC=弧 BD，弧 AC的长为 2 ∴图中阴影部分周长之和为 2 ＋6＋2 ＋3＋3 3 =4+9+3 3  43.1+9+31.7=26.5 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 【解后反思】半径为 r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为 180 n Rl   ，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义． 【关键词】弧长公式；扇形面积公式；圆的切线；平行四边形；等腰直角三角形 6.（ 2016 江苏省淮安市，25，10分）如图，在 RtΔABC中，∠B＝90°，点 O在边 AB上，以点 O为圆心，OA 为半径的圆经过点 C，过点 C作直线 MN，使∠BCM＝2∠A． （1）判断直线 MN与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若 OA＝4，∠BCM＝60°，求图中阴影部分的面积． 【逐步提示】本题考查了圆的切线的判别，弓形面积的计算，掌握的切线的判别方法以及割补法解题的关键．（ 1） MN 是⊙O 切线，只要证明∠OCM=90 °即可． （ 2）求出∠ AOC 以及 BC，根据 S 阴 =S 扇 形 OAC﹣ S△ OAC 计算即可． 【详细解答】解：（ 1）MN 是⊙O 切线． 理由：连接 OC． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A， ∴∠BCM=∠BOC， ∵∠B=90°， ∴∠BOC+∠BCO=90°， ∴∠BCM+∠BCO=90°， ∴OC⊥MN， ∴MN 是⊙O 切线． （ 2）由（ 1）可知∠BOC=∠BCM=60°， ∴∠AOC=120°， 在 RT△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°， ∴BO= OC=2， BC=2 3 ∴S 阴 =S 扇 形 OAC﹣ S△OAC= 2120 4 360  ﹣ 1 164 2 3 4 3 2 3     ． ∴图中阴影部分面积为 16 -4 3 3  【解后反思】看到判定圆的切线，想到 ①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明 这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直； 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ②若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆 的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等． 【关键词】切线的判定 ；弓形面积的计算； 7. （2016江苏省宿迁市，25，10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边 AB上一动点（A、B 两点除外），将△CAD绕点 C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点 E是点 A的对应点，点 F是点 D的对应 点． （1）如图 1，当α=90°时，G是边 AB上一点，且 BG=AD，连接 GF．求证：GF∥AC； （2）如图 2，当 90°≤α≤180°时，AE与 DF相交于点 M． ①当点 M与点 C、D不重合时，连接 CM，求∠CMD的度数； ②设 D为边 AB的中点，当α从 90°变化到 180°时，求点 M运动的路径长． （第 25题图 1） （第 25题图 2） 【逐步提示】（1）本题证明两直线平行可以根据“同位角相等，两直线平行”来说明，即只要说明∠BGF=45° 即可，又容易知道 BF=BG，所以只要证明∠FBG=90°问题即可得证；（2）由旋转的性质可以知道，△ACE 与△DCF相似，可以得到∠CFM=∠CEM，所以 C、M、E、F四点共圆，进而有∠CEF=∠CMF=45°，问 题获解；（3）由（2）知道∠CMD的大小不随 D点位置变化而变化，所以点 M的运动路线是一条弧，在分 别画出两个特殊情况下的图形，即可发现弧的圆心的位置和弧所对圆心角的大小，利用弧长公式即可求出 M 运动的路径长， 【详细解答】 解：（1）∵AC=BC，且∠ACB=90° ∴∠A=∠ABC=45° 又∵△ACD≌△BCF ∴BF=AD，∠A=∠CBF=45° ∵AD=BG ∴BG=BF 又∵∠FBG=∠FBC+∠CBA=90° ∴∠FGB=45° ∴∠A=∠FGB ∴AC∥FG （2）∵△CFE是由△CAD旋转α得到， ∴AC=CE，CD=CF，∠ACE=∠DCF=α ∴△ACE∽△DCF ∴∠CFM=∠CEM ∴C、M、E、F四点共圆， ∴∠CEF=∠CMF=45° ∴∠CMD=135° （3）当 D为 AB的中点，α=90°时，DF与 AE的交点 M与 D重合； α=180°时，DF与 AE的交点 M与 C重合． 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供 http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由（2）知道∠CMD=135°是一个定值， ∴点 M的运动路径是一段弧，且弧的圆心是 AC的中点 ∴点 M运动的路径长为  2 1 180 190    【解后反思】（1）证明两直线的平行关系通常是转化为找同位角、内错角、同旁内角的数量关系，有时也会根据 平行四边形的性质来得到；（2）旋转型相似是相似中的基本图示，是近几年的高频考点，抓住其中的对应关系是 突破点。（3）当两个等角经过两个两个点时，那么这四个点一定共圆，四点共圆能帮助我们巧妙转化圆中的等角； （4）求点的运动路径问题，关键是弄清点运动的路线，初中阶段主要考查的一般地就两种：①线段；②弧。解 决问题的策略是首先可以先通过画图（一般要画出起始点、中间若干关键点和结束点）来判断路径和范围；其次 是结合已知条件的特点运用不同的数学方法说明自己的判断是正确的；比如本题中 M点位置的变化，但∠CMD 保持不变，此时点 M一定是在一段弧上运动或，如果一个动点到一个定点的距离始终不变，那么这个点运动的 路径也一定是弧．最后按判断的路径类型及范围来计算路径长． 【关键词】 平行线的判定；圆的内接四边形及性质；轨迹问题；几何变换；动面题型；