知识点023 三角形初步2016A.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 一、选择题 ‎1. （ 2016山东省枣庄市，4，3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D等于（ ）‎ A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°‎ A B D C E ‎【答案】A．‎ ‎【逐步提示】本题考查了三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是找出角与角之间的联系．根据角平分线的性质可以得到∠ABC与∠DBE、∠ACE与∠DCE的关系，再结合∠DCE－∠DBE＝∠D ，∠ACE－∠ABC＝∠A，即可找出∠D 与∠A的关系．‎ ‎【详细解答】解：∵∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，又∵∠DCE－∠DBE＝∠D，∠ACE－∠ABC＝∠A，∴∠D＝∠A＝×30°＝15° ，故选择A .‎ ‎【解后反思】本题解题的关键是：找到已知角平分线的条件中所涉及的角，与已知角和要求的角之间的联系，从而正确求解．在求角度问题时，常常要用到三角形内角和等于180°，或三角形外角等于不相邻的两个内角的和的性质，在求角度问题时有时应用外角的性质进行运算更简单便捷.‎ ‎【关键词】角的平分线 ；三角形的外角和；整体思想 ‎2. （2016四川达州，8，3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；.根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是 A.25 B.33 C.34 D.50‎ 第8题图 ‎【答案】B ‎【逐步提示】本题考查了规律探索型问题以及方程思想，解题的关键是要能通过特殊情况归纳出一般规律．解题思路是：设需要操作的次数为n，根据图形探索规律，用含n的代数式表示出n次操作得到的三角形的个数，然后列出方程即可求解． 【详细解答】解：设要得到100个小三角形需要操作的次数为n，根据题意得，3n+1=100，解得n=33.故选择B. 【解后反思】1．规律探索问题是指由几个特殊的结论，通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维活动，探求一般性的规律．解题时，要善于分析给出的材料信息，理清题目的条件与结论之间的联系，通过观察、实验、比较、归纳，作出符合一定规律与事实的推测性猜想，并能验证规律的合理性、正确性，一般有如下两种类型：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）与数、式有关的规律探索：利用已有的一些已知数或算式之间的关系，预测问题的变化趋势，进而猜想、归纳出一般性的规律．‎ ‎（2）与图形有关的规律探索：从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，即从图形的变化特点寻求规律，并推广到一般情况．‎ ‎2．方程思想是一种重要的数学思想，所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系，通过适当设元建立方程（组），然后通过解方程（组）使问题得到解决的思维方式．‎ ‎【关键词】规律探索型问题；方程与函数思想 ‎3. （ 2016四川省广安市，8，3分）下列说法：‎ ‎①三角形的三条高一定都在三角形内；‎ ‎②有一个角是直角的四边形是矩形；‎ ‎③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；‎ ‎④两边及一角对应相等的两个三角形全等；‎ ‎⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．‎ 其中正确的个数有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】A ‎【逐步提示】本题考查了三角形的中线、高线、角平分线的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四边形的判定等，解题的关键是掌握这些概念、定理等．‎ 因为直角三角形与钝角三角形的三条高不都在三角形内，故①错；至少有三个角是直角的四边形是才是矩形，故②错；③是菱形的定义，正确；满足④的条件时有可能形成“边边角”的情况，故错误；等腰梯形满足“一组对边平行，另一组对边相等”，但它不是平行四边形，故⑤错误． 【详细解答】解：只有③正确，故选择A. 【解后反思】要理解三角形“三线”的概念，掌握三角形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法，这是正确解题的基础．能画图举反例，以排除不符合条件情形，也是解这类题的基本功，要多思考，勤积累．类似的问题还有：‎ 判断下列说法是否正确：‎ ‎（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一点D（D点不与B、C重合且BD≠CD），连接AD.再以A为顶点，AD为一边，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，连接DE.‎ 由上述画图方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）.‎ 所以DE＝AC＝AB，∠AED ＝∠C＝∠B.‎ 即四边形ABCD有一组对边相等（DE＝AB）、一组对角相等（∠AED＝∠B），但却不是平行四边形（另一组对边AE和BD不平行也不相等）.‎ ‎（2）一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图2，画两条相交直线，交点为O，在其中一条直线上截取OA＝OC，分别过A、C两点向另一条直线作垂线，垂足分别为E、F.在线段OF上取一点D（D点不与O、F重合），连接CD.再在线段OE的延长线上取一点B，使EB＝FD，连接AB.‎ 由上述画图方法，易知△COF≌△AOE（AAS），则CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，则CD＝AB.连接AD、BC，则四边形ABCD满足条件，却不是平行四边形.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）一组对角相等，且连接这一组对角的顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形.‎ 解：错误．如图，画一个“筝形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，则该“筝形”满足条件，但它不是平行四边形.‎ ‎ 【关键词】 中线、高线、角平分线；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四边形的判定 ‎4. （ 2016四川乐山，3，3分）如图2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ( )．‎ A．35° B．95° C．85° D．75°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【逐步提示】CE是∠ACD的平分线，并且是△ABC的外角，根据“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”求解． ‎ ‎【详细解答】解：∵CE是∠ACD的平分线，∴∠ACD=60°×2=120°，又∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∴∠A =∠ACD-∠B=120°-35°=85°，故选择C．‎ ‎【解后反思】三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．求一个角的度数：（1）当问题以三角形为背景时，可利用三角形的内角和定理和推论解决；（2）当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其它角；即“两直线平行可得：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”根据角平分线的性质求相应角的角度．‎ ‎【关键词】三角形的内角和；角的平分线 二、填空题 ‎1. （ 2016四川省广安市，12，3分）如图，直线l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，则∠3＝___________．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ l1‎ l2‎ 第12题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【答案】70°‎ ‎【逐步提示】本题考查了平行线的性质、三角形的外角定理、对顶角性质等，解题的关键是掌握这些性质．如图，由“两直线平行，内错角相等”可得∠4＝∠1．由三角形外角定理，可得∠4＝∠2＋∠5，由对顶角相等，可得∠5＝∠3，综合以上结论，可得∠3＝∠1－∠2．‎ ‎ 【详细解答】解：∵l1∥l2，∴∠4＝∠1．∵∠4＝∠2＋∠5，∠5＝∠3，∴∠4＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠2＋∠3．∴∠3＝∠1－∠2＝130°－60°＝70°．故答案为70°. 【解后反思】有关平行线的求角问题，常常要利用平行线的性质、三角形内角和或外角定理、对顶角性质实现角的转化，使所求的角与已知角从间接联系变为直接联系，从而得解．相关知积为：‎ ‎（1）平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．‎ ‎（2）三角形的内角和等于180°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和．‎ ‎（3）对顶角相等． 【关键词】 平行线的性质；三角形的外角定理；对顶角性质 ‎2. （ 2016四川省内江市，26，12分）‎ 问题引入：‎ ‎（1）如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC＝____________（用α表示）; 如图②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝____________（用α表示）.‎ 拓展研究：‎ ‎（2）如图③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝____________（用α表示），并说明理由.‎ ‎（3）BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝____________ .‎ ‎【逐步提示】本题属于规律探究题，要求学生根据题意，结合图形，从探究的角度出发，利用三角形内角和、邻补角的定义、角平分线的定义等知识，分别求出∠BOC.‎ ‎（1）如图①，利用三角形内角和证得∠BOC＝90°＋∠α.；如图②，同理证得∠BOC＝120°＋∠α；‎ ‎（2）如图③，利用三角形内角和与邻补角的定义证得∠BOC＝120°－∠α；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（3）同理，证得∠BOC＝. 【详细解答】解：（1）如图①，在△ABC中，‎ ‎∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点， ‎ ‎∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB.‎ ‎∵∠A＝α，‎ ‎∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）‎ ‎＝180°－（180°－∠A） ＝180°－（180°－∠α）‎ ‎＝180°－90°＋∠α ‎＝90°＋∠α.‎ 如图②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，‎ ‎∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）‎ ‎＝180°－（180°－∠A） ＝180°－（180°－∠α）‎ ‎＝180°－60°＋∠α ‎＝120°＋∠α.‎ 故答案为90°＋∠α，120°＋∠α.‎ ‎（2）如图③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，‎ ‎∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB）‎ ‎＝180°－[360°－（∠ABC＋∠ACB）] ＝180°－[360°－（180°－∠A）] ＝180°－（180°＋∠α）‎ ‎＝180°－60°－∠α ‎＝120°－∠α.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故答案为120°－∠α.‎ ‎（3）∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，‎ ‎∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB）‎ ‎＝180°－ [360°－（∠ABC＋∠ACB）] ＝180°－ [360°－（180°－∠A）] ＝180°－（180°＋∠α）‎ ‎＝×180°－∠α.‎ ‎＝‎ 故答案为. ‎ ‎【解后反思】通过解题我们得到关于三角形内、外角等分线有如下规律：‎ 规律1：BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝；‎ 规律2：BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝. 【关键词】 三角形的内角和；规律探索；邻补角；角的平分线 ‎ ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费