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第3课时 圆
1．(2016·福州)如图，正方形ABCD内接于⊙O，M 为中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2 时，求的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD.
∴＝.
∵M 为中点，∴＝.
∴＝.∴BM＝CM.
(2)连接OM，OB，OC.
∵＝，∴∠BOM＝∠COM.
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠BOC＝360°÷4＝90°.∴∠BOM＝135°.
∴l＝＝π.
2．(2015·滨州)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求弧BC的长；
(2)求弦BD的长．
解：(1)连接OC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∵在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝＝，
∴∠BAC＝60°.
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
∴弧BC的长为＝π.
(2)连接OD.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.
∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.
∴∠BAD＝∠ABD＝45°.
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在Rt△ABD中，BD＝OB＝AB＝×10＝5.
3．(2016·南宁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵OD＝OB，
∴∠OBD＝∠ODB.
∵BD是∠OBC的平分线，∴∠OBD＝∠DBC.
∴∠ODB＝∠DBC.
∴OD∥BC.
∴∠ODC＝90°.
∴AC是⊙O的切线．
(2)过点O作OG⊥BC.
∴四边形ODCG为矩形．
∴GC＝OD＝OB＝10，OG＝CD＝8.
在Rt△OBG中，利用勾股定理，得BG＝6，
∴BC＝BG＋GC＝6＋10＝16.
∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC.
∴＝，即＝，解得OA＝.
∴AB＝＋10＝.
设AB交⊙O于点F，连接EF.
∵BF为圆的直径，∴∠BEF＝90°.
∴∠BEF＝∠C＝90°.∴EF∥AC.
∴＝，即＝，解得BE＝12.
4．(2016·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.
(1)求证：MD＝ME；
(2)填空：
①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝2；
②连接OD，OE，当∠A的度数为60°时，四边形ODME是菱形．
证明：在Rt△ABC中，
点M是AC的中点，
∴MA＝MB.
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∴∠A＝∠MBA.
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠ADE＋∠ABE＝180°.
又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，
∴∠MDE＝∠MBA.
同理可得∠MED＝∠A.
∴∠MDE＝∠MED.
∴MD＝ME.
5．(2016·鄂州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝，求的值；
(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．
解：(1)证明：过点O作OF⊥AB于点F.
∵AO是∠BAC的角平分线，∠ACB＝90°，
∴OC＝OF.
∴AB是⊙O的切线．
(2)连接CE.
∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC.
∵∠ACE＋∠OCE＝90°，
∠DEC＋∠ADC＝90°，
∴∠ACE＝∠ADC.
又∵∠CAE＝∠CAD，
∴△ACE∽△ADC.
∴＝＝tanD＝.
(3)先在△ACO中，设AE＝x，
由勾股定理得(x＋3)2＝(2x) 2＋32 ，解得x＝2.
∴AC＝4.
∵∠BFO＝90°＝∠ACO，
易证Rt△BOF∽Rt△BAC，得＝＝.
设BO＝y，BF＝z，则＝＋y＝，
即4z＝9＋3y，4y＝12＋3z，解得z＝，y＝.
∴AB＝＋4＝.
6．(2016·上海)已知，如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD；
(1)求证：AD＝CE；
(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
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证明：(1)在⊙O中，
∵＝，∴AB＝AC.
∴∠B＝∠ACB.
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB.
∴∠B＝∠EAC.
又∵BD＝AE，∴△ABD≌△CAE.∴AD＝CE.
(2)连接AO并延长，交边BC于点H.
∵＝，OA是半径，∴AH⊥BC.∴BH＝CH.
∵AD＝AG，∴DH＝HG.
∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG.
∵BD＝AE，∴CG＝AE.
又∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．
7．(2016·深圳)如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦，AB与CD交于点M，将沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC.
(1)求CD的长；
(2)求证：PC是⊙O的切线；
(3)点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交于点F(F与B，C不重合)．问GE·GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
解：(1)连接OC.
∵沿CD翻折后，A与O重合，
∴OM＝OA＝1，
CD⊥OA.
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝
2＝2.
(2)证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝，
又∵∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝2.
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∵OC＝2，PO＝4，∴PC2＋OC2＝PO2.
∴∠PCO＝90°.
∴PC与⊙O相切．
(3)GE·GF为定值．
证明：连接GA，AF，GB.
∵G为中点，∴＝.
∴∠BAG＝∠AFG.
∵∠AGE＝∠FGA，∴△AGE∽△FGA.
∴＝，即GE·GF＝AG2.
∵AB为直径，AB＝4，
∴∠BAG＝∠ABG＝45°.
∴AG＝2.
∴GE·GF＝AG2＝8.
[注]第(2)题也可以利用相似三角形证∠PCO＝90°； 第(3)题也可以证△GBE∽△GFB.
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