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第10章 四边形
§10.1 平行四边形与梯形
10.1.1★如图(a)，在四边形中，、是对角线，已知是等边三角形，，，，求边的长．
解析 如图(b)，以为边向四边形外作等边，连结．由于，，
．
所以≌，从而．
又因为，，，于是，从而在中，．所以．
10.1.2★在中，，为中点，D交(或延长线)于．求证：．
解析 如图，取中点，连结、．
易知四边形与均为菱形，垂直平分，于是，于是．
10.1.3★、、是的三条中线，，,四边形是平行四边形．
解析 如图，连结，则是中位线．
由条件知，故，于是，故结论成立．
10.1.4★延长矩形的边到，使，是的中点，求证：．
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解析 如图，取中点，连结，则，于是．
10.1.5★菱形中，，，求菱形的面积．
解析 如图，易知与均为正三角形．
设菱形边长为，则由，得，，所以，，因此菱形面积为．
10.1.6★在梯形中，，中位线分别交、、、于、、、，若延长、的交点正好位于上，求．
解析 设、延长后交于，且在上，则由中位线知，，，故．
10.1.7★★四边形中，，，,，，求．
解析 如图所示，作，分别交所在直线于、，作交于，则为等腰直角三角形，，，故；，，，故，．
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所以，
．
从而．
10.1.8★★★已知中，，是上一点，关于、的对称点分别为、，若,．
解析 如图，连结、、、．
由对称，有，故、、共线．
又，故，而，所以梯为等腰梯形．又，于是．
10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．
解析 如图，，、、、关于对应对角线的对称点分别为′、′、′、′．
设、交于，连结′、′、′、′．则′=′，故′、、′共线，且，同理′、、′共线，，所以由
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得．
故如′、′、′、′不位于同一直线上，则′′′′，即′′′′成梯形．
10.1.10★已知：直角梯形，，，，是上一点，，，求．
解析 如图，连结，则由，，得．
又，故≌，．
又，故为正三角形，于是．
10.1.11★★在四边形中，，，，，求、和的长．
解析 如图，延长、至，则，．
又，故，，又，，故．
至于求，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用、、、四点共圆的性质：
，．
§10.2 正方形
10.2.1★在正方形中，为的中点，为上的点，且．求证：．
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解析 如图，延长、，设交于，则得，．于是，即．
10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方
和的取值范围．
解析 如图，设是正方形的中心，通过，、分别与垂直于、．
由于，，故≌，
．
对、的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．
10.2.3★正方形的对角线交于，的平分线交于，交于，求证：．
解析 如图，作，交于，为中位线，．
问题变为证明．
因为么，于是结论成立．
10.2.4★设、分别为正方形的边、的中点，且与交于，求证：．
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解析 如图，由知≌，故，故．延长、，设交于，则，为直角三角形斜边之中点，于是．
10.2.5★已知两个正方形、(顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和、的中点组成一个正方形．
解析 如图，设、、、的中点分别为、、、．
由于，，，于是≌，由此得与垂直且相等．由于，，故四边形为正方形．
10.2.6★★是正方形内一点，若，，求．
解析 如图，作于，则
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解得，．
不妨设，，，则
，
，
由条件，知，即，解得．
又作于，于是，，故．
10.2.7★是正方形的两对角线的交点，是上异于的任一点，于，于，是的延长线和的交点，求．
解析 如图，易知，，，于是≌≌，于是，，故为等腰直角三角形，．
10.2.8★★是正方形的边的中点，点分对角线的比为，证明：．
解析 连结，由正方形关于对称，知．
又作于，由，易知，故为中点，垂直平分，于是，，或,故．
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10.2.9★已知，向外作正方形和．直线垂直于，反向延长交于，求证：是的中点．
解析 如图，作、分别与直线垂直，垂足为、．
易见，，又，，故有≌，，同理，于是，．
10.2.10★已知：正方形中，、分别在、上，于．若，求证：
．反之，若，则．
解析 如图，延长至，使，连结，则≌，，，又，，故≌，、为其对应
边上的高，于是．
反之，若，则≌，，同理，，于是．
10.2.11★★在梯形中，(>)，，，在边上，，若，求的长．
解析 延长至，使过作，为垂足．易知四边形为正方形，所以．又，≌，故．
又，故≌，．
设，则，，．
在中，，故，即，解之，得，．故的长为4或6．
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10.2.12★★在正方形的边上任取一点，过作于，且延长交于，设正
方形对角线的交点为，连结、，求证：．
解析 如图，易知，故≌，故，又，，于是≌，．
\
10.2.13★★四边形是正方形，四边形是菱形，、、在一直线上．求证：、三等分．
解析 如图，作、与垂直，垂足为、，于是由知，于是．又，于是，，、三等分．
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