第4章 方程组-1.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第4章方程组 ‎§4．1方程组的解法 ‎4．1．1★已知关、的方程组 分别求出当为何值时，方程组有唯一一组解；无解；有无穷多组解，‎ 解析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结 为一元一次方程的形式进行讨论，但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．‎ 由①式得 ‎，③‎ 将③代入②得 ‎．④‎ 当，即且时，‎ 方程④有唯一解，将此值代入③有 ‎，‎ 因而原方程组有唯一一组解．‎ 当，且时，即时，方程④无解，因此原方程组无解．‎ 当且时，即时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有 无穷多组解．‎ 评注对于二元一次方程组，（、、、为已知数，且与，与中都至少 有一个不为零）．‎ ‎（1）当时，方程组有唯一的解 ‎（2）当时，原方程组有无穷多组解．‎ ‎（3）当时，原方程组无解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．1．2★对、的哪些值，方程组至少有一组解？‎ 解析由原方程可得．即 ‎．‎ ‎（1）当时，方程有唯一解，从而原方程组有唯一解．‎ ‎（2）当，时，方程有无穷多个解，从而原方程组也有无穷多组解．‎ 综上所述，当且为任意数，或且时，方程组至少有一组解．‎ ‎4．1．3★已知关于、的二元一次方程 ‎．‎ 当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．‎ 解析1根据题意，可分别令，代入原方程得到一个方程组：‎ 解之得 将，代入原方程得 ‎．‎ 所以对任何值 都是原方程的解．‎ 评注取为的是使方程中，方程无项，可直接求出值；取的道理类似．‎ 解析2可将原方程变形为 ‎．‎ 由于公共解与无关，故有 解之得公共解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．1．4★★已知，且，，求的值．‎ 解析已知代数式中含有、、三个字母，而等式只有2个，在一般情况下是不可能求出、、的具体值来的．因此，可以把已知条件中的视为常数，得到关于、的方程组，从而找出、与的关系，由此可求出其值．‎ 把已知等式视作关于、的方程，视作常数，得关于、的方程组 解得 因为，所以，于是 ‎．‎ ‎4．1．5★若、的值满足方程组 求的值．‎ 解析由①+②得，即 ‎．③‎ 由③得：．④‎ 把④代入①得：‎ ‎．‎ 解得，把代人④得：，所以方程组解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 原式．‎ ‎4．1．6★★当取何值时，关于、的方程组 有正整数解．‎ 解析解方程组得所以，是被3除余2的整数．‎ 由得．所以，，．‎ ‎4．1．7★为何值时，方程组 ‎（1）当，即时，原方程组有唯一解 ‎（2）当，即时，原方程组无穷多组解；‎ ‎（3）由于，故方程组不可能无解．‎ ‎4．1．8★若方程组的解满足，求的值．‎ 解析将代入原方程组，得 所以，，．‎ ‎4．1．9★甲、乙二人同时求的整数解．‎ 甲求出一组解为而乙把中的7错看成1，求得一组解为求、的值．‎ 解析 把，代入，得．‎ 把，代入，得．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解方程组得 ‎4．1．10★甲、乙两人解方程组 由于甲看错了方程①中的以而得到方程组的解为乙看错了方程②中的而得到的解为 假如按正确的、计算，求出原方程组的解．‎ 解析因为甲只看错了方程①中的，所以甲所得到的解应满足无的正确的方程②，即 ‎．②‎ 同理，应满足正确的方程①，即 ‎．④‎ 解由③、④联立的方程组得 所以原方程组应为 解之得 ‎4．1．11★★已知方程组无解，、是绝对值小于10的整数，求、的值．‎ 解析因为方程组无解的条件是参照这个条件问题便可解决．‎ 原方程组可化为因为方程组无解，所以有 ‎，‎ 所以，且，因为，所以，，又因为是整数，所以，‎ ‎，，0，1，2，3，相应地，-6，-3，0，3，6，9．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以，当时，原方程组无解．‎ ‎4．1．12★已知关于和的方程组 有解，求的值．‎ 解析首先解方程组 得到，，代入原方程组中后两个方程，得到 ‎①‎ 再解上面关于和的方程组，得到，，．‎ ‎4．4．13★已知，，，求的值．‎ 解析根据题意有 ‎（①+②+③），得 ‎．④‎ ‎④①得 ‎，．‎ ‎④②得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ，．‎ ‎④③得 ‎，．‎ 所以．‎ ‎4．1．14★如果方程组的解是正整数，求整数的值．‎ 解析解方程组得 因为、都是正整数，所以 解得．‎ 因为是整数，所以．‎ 将代入①和②式，、的值均为正整数．‎ 故．‎ ‎4．1．15★★解方程组 解析因为表示两个方程，即和，或者和，或者和，所以原方程组实际上是由三个方程组成的三元一次 方程组，将原方程组改写为 由方程②得，代入①化简得 ‎．④‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由③得．⑤‎ ‎④⑤得 ‎，‎ 所以，．‎ 将代入⑤，得．将代入②，‎ 得．所以 为原方程组的解．‎ 评注本题解法中，由①、②消去时，采用了代入消元法；解④、⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消去还是消去，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中的系数是一正一负，且系数的绝对值较小这一特征，采用加减消元法较简单．‎ ‎4．1．16★已知 求的值．‎ 解析①-②消去得，即．①②消去得，即．①②消去得，即．所以，即为所求．‎ ‎4．1．17★解方程组 解析将①+②+③，得 ‎．④‎ 由④+①得，．‎ 由④+②得，．‎ 由④+③得，．‎ 所以，原方程组的解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．1．18★解方程组 解析注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：‎ ‎①+②得，⑥‎ ‎②+③得，⑦‎ ‎③+④得，⑧‎ ‎④+⑤得．⑨‎ 又①+②+③+④+⑤得 ‎．⑩‎ ‎⑩一⑥一⑦得，把代入⑧得，把代入⑥得，把代入⑨得，把代入⑦得．所以 为原方程组的解．‎ ‎4．1．19★解方程组 解析①②得 ‎，④‎ 由③得，⑤‎ 代入④得，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 代入⑤得．‎ 再把，代入①得，所以 为原方程组的解．‎ 解析2令，，，则原方程化为 解得，，，即 为原方程组的解，‎ 评注解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代人消元（此时的“元”是一个含有未知数 的代数式，如、等）；解法2称为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整 体元”，从而简化方程组的求解过程．‎ ‎4．1．20★★解方程组 解析原方程组可化为 ‎④+⑤+⑥得 ‎，‎ 故．⑦‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 将⑦分别代入④、⑤、⑥，得原方程组的解为 ‎4．1．21★★解方程组 解析①②③消去、，得，所以．‎ 由②③①，得 ‎．‎ 由③①②，得 ‎．‎ 所以，原方程组的解为 ‎4．1．22★★解方程组 解析有原方程得 所以 ‎，‎ 即，解之得，将代入④得.将代入③得.将代入②得．所以原方程组解为 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．1．23★★解方程组 解析先把各方程左边通分，再对每个方程两边取倒数，并设，则原方程可化为 ‎①+②+③，得 ‎．④‎ 用④分别减去①、②、③，可得 显然，，，.‎ 由上面三式易得，又，所以 ‎，，．‎ 则有，‎ 所以．‎ 所以，原方程组的解为（经检验）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎4．1．24★★解方程组 解析原方程可变形为 解得，，．‎ 所以，方程组的解为 ‎4．1．25★★解方程组 解析①③得，‎ 则．‎ 把式④代入①、②，整理分别得 ‎，⑤‎ ‎．⑥‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎⑤⑥得．‎ 若，由式⑤得 ‎，‎ 解得．‎ 将代入式④，得．‎ 若，同理，．‎ 将，代入式①得 ‎．‎ 分解因式得 ‎．‎ 故（，，）为（，2，）、（2，，）（，，2）‎ 综上，共有5组解 ‎，，（，2，）（2，，）‎ ‎（，，2）．‎ ‎4．1．26★解方程组 解析②①得 ‎．‎ 解方程组得 ‎4．1．27★解方程组 解析②①得 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，‎ 所以，．‎ 解方程组 与 得原方程组的解 ‎4．1．28★解方程组 解析由②得 ‎，‎ 所以或．‎ 因此，原方程组可化为两个方程组 与 解两个方程组得原方程组的解为 评注方程组至少有一个方程可以分解为一次方程时，可用因式分解法解．‎ ‎4．1．29★解方程组 解析由①②得 ‎，‎ 即，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以或．‎ 所以或．‎ 分别解下列两个方程组 得原方程组的解为 评注如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解．‎ ‎4．1．30★解方程组 解析原方程组可变形为 ‎①②得 ‎．‎ 令，则 ‎，‎ 所以，，‎ 即或．‎ 当时，代入①得．解方程组 可得，；，．‎ 当时，代入①得．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 而方程组 无实数解．‎ 综上所述，方程组的解为 评注由于一般的二元对称式总可以用基本对称式和表示，因此在解二元对称方程组时，一定可以用和作为新的未知数，通过换元转化为基本对称方程组．‎ ‎4．1．31★★解方程组 解析本题是一个对称方程组的形式，观察知它可转化为基本对称方程组的形式．‎ 由①得 ‎．③‎ 将②代入③，得，所以 ‎．④‎ 由②、④可得基本对称方程组 于是可得方程组的解为 ‎4．1．32★解方程组 解析本题属于二元轮换对称方程组类型，通常可以把两个方程相减，因为这样总能得到一个方程 ‎，从而使方程降次化简．‎ ‎①②，再因式分解得 ‎，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以或．‎ 解下列两个方程组 得原方程组的四组解为 ‎4．1．33★★★解方程组 解析1 用换元法．设 ‎，，‎ 则有 ‎，，．‎ 即 ‎③④并平方得 ‎，‎ 整理得 ‎，‎ 所以 ‎，‎ 化得 ‎，‎ 因为，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 因此．‎ 解方程组 得 经检验，适合方程③、④，由此得原方程的解是 解析2①②得 ‎，‎ 即 ‎．‎ 所以与同号或同为零．由方程①得 ‎，‎ 即，‎ 所以与不能同正，也不能同负．从而 ‎，．‎ 由此解得 经检验，，是方程组的解．‎ ‎4．1．34★★★解方程组：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析 本例各方程中，未知数的出现是循环对称的．若用消元法求解将十分困难．故而采用不等式求解．‎ 显然方程组的解，，，都同号，且若，，，是方程组的解，则，，，也是方程组的解．故不妨先设．‎ 因为，所以．同理，，，．‎ 把方程组的所有方程相加，整理，得 ‎．①‎ 但 ‎，‎ ‎．‎ 因此要等式①成立，只能 ‎．‎ 容易检验，确实原方程组的解．‎ 因此，原方程组有两组解，它们是 ‎．‎ ‎4．1．35★★★解方程组：‎ 解析1首先有．再由（为实数）得，，，，‎ ‎；所以．只能．进而求得本题的两组解或．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析2若，，，中有一个为零，则由方程组可推出其余个未知数都是零，则 是原方程组的解．下设都不是零，则 将所有方程相加，并整理、配方，得 ‎．‎ 因为，所以只能 ‎，‎ ‎．‎ 易知它确实原方程组的解．‎ 因此，原方程组的解由两组：，或．‎ ‎4．1．36★★★★已知原方程组：‎ 它的系数满足下列条件：‎ ‎（1）、、都是正数；‎ ‎（2）所有其他系数都是负数；‎ ‎（3）每一方程中系数之和是正数．‎ 求证：是已知方程组的唯一解．‎ 解析 本例是一个三元线性齐次方程组，，显然是它的解，因而只要证明已知方程组不存在不全为零的解集即可．‎ 用反证法．若方程组有不全为零的解，，，由对称性不设防、、中以 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 为最大，则．于是由，，，，得 ‎．‎ 上面的不等式显然是矛盾的．故已知方程组只有唯一解：‎ ‎．‎ ‎4．1．37★★解方程组 解析将这个5个方程相加，得 ‎，‎ 所以，‎ 故（，，，，）（3，2，1，5，4）．‎ 经检验知，（，，，，）（3，2，1，5，4）是方程组的解．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费