河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题9圆的有关计算证明与探究精讲试题.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题九　圆的有关计算、证明与探究 年份 题型 考点 题号 分值 难易度 ‎2017‎ 解答题 切线的性质、求扇形的弧长、三角形的外接圆 ‎23‎ ‎9‎ 中等题 ‎2016‎ 选择题、解答题 三角形的内切圆、外接圆，半圆与点线相切 ‎9、25‎ ‎3＋10＝13‎ 容易题、较难题 ‎2015‎ 选择题、解答题 三角形的外接圆、圆与矩形综合探究 ‎6、26‎ ‎3＋14＝17‎ 容易题、较难题 命题规律 河北省对圆的考查独具匠心，纵观历年中考，每年都是原创题，并且出题角度新颖，多以残缺圆出现，并且把平移、旋转、翻折三种变换融入其中，学习复习时要多复习河北历年中考题圆的内容．预测2018年圆还会以大题形式，并且与其他考点综合出现.‎ 解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线找到解题思路与方法．一般辅助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等．‎ ‎,重难点突破)‎ ‎　圆内定理的应用 ‎【例1】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB.‎ ‎(1)若BE＝8，求⊙O的半径；‎ ‎(2)若∠DMB＝∠D，求线段OE的长．‎ ‎【解析】(1)根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程即可求出半径；(2)根据∠DOE＝2∠DMB，得出∠DOE＝2∠D，根据AB⊥CD，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．‎ ‎【答案】解：(1)设⊙O的半径为x，则OE＝x－8.‎ ‎∵CD＝24，由垂径定理得DE＝12.‎ 在Rt△ODE中，∵OD2＝DE2＋OE2，‎ 即x2＝(x－8)2＋122，解得x＝13.‎ ‎∴⊙O的半径为13；‎ ‎(2)∵∠DOE＝2∠DMB，∠DMB＝∠D，‎ ‎∴∠DOE＝2∠D.∵∠DOE＋∠D＝90°，∴∠D＝30°.‎ 在Rt△OED中，∵DE＝12，∠OED＝90°，‎ ‎∴OE＝DE·tan30°＝12×＝4.‎ ‎1．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点(不与点A，B重合)，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.‎ ‎(1)弦长AB＝________；(结果保留根号)‎ ‎(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；‎ ‎(3)当AC的长度为多少时，以A，C，D为顶点的三角形与以B，C，O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．‎ 解：(1)2；‎ ‎(2)连接OA.∵OA＝OB＝OD，‎ ‎∴∠BAO＝∠B＝30°，∠D＝∠DAO＝20°，‎ ‎∴∠DAB＝∠BAO＋∠DAO＝50°，‎ ‎∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；‎ ‎(3)∵∠BCO＝∠DAC＋∠D，‎ ‎∴∠BCO>∠DAC，∠BCO>∠D，‎ ‎∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，‎ 此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，‎ ‎∴∠DAC＝60°，∴△DAC∽△BOC.‎ ‎∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝.‎ ‎【方法指导】‎ 熟练掌握圆内的4个定理，根据图形的形状和位置选择合适的定理．‎ ‎　圆外定理的应用 ‎【例2】(天水中考)如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.‎ ‎(1)判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求BE的长．‎ ‎【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理求出∠DAB＋∠DBA＝90°，从而得出∠CDA＋∠ADO＝90°，再根据切线的判定推出即可；(2)首先利用勾股定理求出DC，由切线长定理得出DE＝EB，在Rt△CBE中根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【答案】解：(1)直线CD和⊙O的位置关系是相切．‎ 理由：连接OD.∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠DBA＝90°.‎ ‎∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB＋∠CDA＝90°.‎ ‎∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，‎ ‎∴∠CDA＋∠ADO＝90°，即OD⊥CE，‎ ‎∴直线CD是⊙O的切线，‎ 即直线CD和⊙O的位置关系是相切；‎ ‎(2)∵AC＝2，⊙O的半径是3，∴OC＝2＋3＝5，OD＝3.‎ 在Rt△CDO中，由勾股定理得CD＝4.‎ ‎∵CE切⊙O于点D，EB切⊙O于点B，‎ ‎∴DE＝EB，∠CBE＝90°.‎ 设DE＝EB＝x，‎ 在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE2＝BE2＋BC2，‎ 则(4＋x)2＝x2＋(5＋3)2，解得x＝6，即BE＝6.‎ ‎2．(毕节中考)如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.‎ ‎(1)求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎(2)已知圆的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解：(1)连接AE，AO.‎ ‎∵BE为直径，∴∠BAE＝90°.‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠BAD＝∠EAD＝45°，‎ ‎∴∠AFC＝∠B＋45°，‎ ‎∴∠CAF＝∠EAC＋45°.‎ ‎∵AC＝FC，∴∠AFC＝∠CAF，‎ ‎∴∠B＋45°＝∠EAC＋45°，∴∠B＝∠EAC.‎ ‎∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B，∴∠EAC＝∠OAB，‎ ‎∴∠OAC＝∠OAE＋∠EAC＝∠OAE＋∠OAB＝∠BAE＝90°，‎ ‎∴AC⊥OA，∴AC为⊙O的切线；‎ ‎(2)连接OD.∵＝，‎ ‎∴∠BOD＝∠DOE＝90°.‎ 在Rt△OFD中 ，OF＝5－3＝2，OD＝5，‎ ‎∴DF＝＝.‎ ‎【方法指导】‎ 掌握圆外3个定理和2个定义，了解一种证明方法，熟练应用6条辅助线解题．‎ ‎　圆中的计算 ‎【例3】(2017枣庄中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.‎ ‎(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积．(结果保留π)‎ ‎【解析】(1)连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB＝90°，从而证得BC是圆的切线；(2)在Rt△BOD中，设OF＝OD＝x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，用Rt△ODB的面积减去扇形DOF的面积即可确定出阴影部分面积．‎ ‎【答案】解：(1)BC与⊙O相切．‎ 证明：连接OD.‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD.‎ 又∵OD＝OA，‎ ‎∴∠OAD＝∠ODA，‎ ‎∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.‎ 又∵BC过半径OD的外端点D，‎ ‎∴BC与⊙O相切；‎ ‎(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，‎ 在Rt△BOD中，由勾股定理得：OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋12，‎ 解得：x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.‎ ‎∵Rt△ODB中，OD＝OB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，‎ ‎∴S扇形DOF＝＝，‎ ‎∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－＝2－.‎ 故阴影部分的面积为2－.‎ ‎3．(2017襄阳中考)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，∠BAC＝∠DAC，过点C作直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC.‎ ‎(1)求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若DE＝1，BC＝2，求劣弧的长l.‎ 解：(1)连接OC.‎ ‎∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.‎ 又∵∠BAC＝∠DAC，‎ ‎∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC.‎ ‎∵EF⊥AD，∴EF⊥OC，‎ ‎∴EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)连接OD，DC.‎ ‎∵∠DAC＝∠DOC，‎ ‎∠OAC＝∠BOC，‎ ‎∵∠DAC＝∠OAC.‎ ‎∴∠DOC＝∠BOC，∴DC＝BC.‎ ‎∵ED＝1，DC＝BC＝2，∴sin∠ECD＝＝，‎ ‎∴∠ECD＝30°，∴∠OCD＝60°.‎ ‎∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，‎ ‎∴∠BOC＝∠COD＝60°，OC＝2，‎ ‎∴l＝＝.‎ ‎【方法指导】‎ 熟练应用5个公式，关注与前面知识的综合应用．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费