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2017-2018学年度上学期期末试题
九年级数学
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图所示，则一次函数y＝mx＋n
的图象经过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
2．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，点C是⊙O上一点，且∠P＝36°，
则∠ACB＝( )
A．54° B．72° C．108° D．144°
3．在体检中，12名同学的血型结果为：A型3人，B型3人，AB型4人，O型2人，若从这12名同学中随机抽出2人，这两人的血型均为O型的概率为( )
A. B. C. D.
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O
的直径，AD＝6，那么BC的值为( )
A．3 B．2 C．3 D．2
5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，
与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；
③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；
⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是( )
A．3 B．4 C．6 D．2.5
7．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（ ）
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A． B． C． D．
8．把抛物线y＝x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为( )
A．y＝(x＋1)2－3 B．y＝(x－1)2－3 C．y＝(x＋1)2＋1 D．y＝(x－1)2＋1
9．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足x1＋x2＝m2，则m的值是( )
A．－1 B．3 C．3或－1 D．－3或1
10．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°，得△A′B′C，
若AC⊥A′B′，则∠A等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．点P(－2，5)关于原点对称的点的坐标是________．
12．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(－3，0)，(2，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是 .
13．从－，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是__ _．
14．已知二次函数y＝－x2－2x＋3的图象上有两点A(－8，y1)，B(－5，y2)，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
15．已知AB，AC分别是同一圆的内接正方形和内接正六边形的边，那么∠ACB
的度数为________．
16．如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝10，DF＝4，则菱形ABCD的边长为__ __．
17．如图，⊙O的半径为2，点A，C在⊙O上，线段BD经过圆心O，
∠ABD＝∠CDB＝90°，AB＝1，CD＝，则图中阴影部分的面积为_ _．
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18．如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线l相切．设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当直线l与x轴所成锐角为30°，且r1＝1时，r2018＝ .
三、解答题(共8题，共96分)
19．(10分)用适当的方法解下列方程：
(1)3x(x＋3)＝2(x＋3); (2)2x2－6x－3＝0.
20．(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别
为A(1，4)，B(4，2)，C(3，5)(每个方格的边长均为1个单位长度)．
(1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
(2)求出点B旋转到点B1所经过的路径长．
21．(12分)在一个不透明的口袋中装有3个带号码的球，球号分别为2，3，4，这些球除 号码不同外其他均相同．甲、乙两同学玩摸球游戏，游戏规则如下：
先由甲同学从中随机摸出一球，记下球号，并放回搅匀，再由乙同学从中随机摸出一球，记下球号，将甲同学摸出的球号作为一个两位数的十位上的数，乙同学的作为个位上的数．若该两位数能被4整除，则甲胜，否则乙胜．
问这个游戏公平吗？说明理由．
22．(12分)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，我市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
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23．(12分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.
(1)判断DF与是⊙O的位置关系，并证明你的结论。
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
24．(12分)为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数关系式；
(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
25．(14分)已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
（1）当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，证明：OD＋OE＝OC；
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
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26．(14分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，9)，
与y轴交于点A(0，5)，与x轴交于点E，B.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点(点P在AC上方)，作PD平行于y轴交AB于点D，当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
(3)若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A，E，N，M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M，N的坐标．
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答案
一、 CBAAB DDBCA
二、 11.（2，-5） 12.-3，-2 13. 14. ＜ 15.45°或135°16.9 17. π 18.32017
三、19.略
20．解：(1)如图所示；
(2)OB＝＝2，点B旋转到点B1所经过的
路径长为＝π.(8分)
21.解：画树状图如下：
由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，
两位数能被4整除的情况有3种，
所以P(甲获胜)＝＝，P(乙获胜)＝，
因为≠，所以这个游戏不公平
22解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意舍去）．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
23．(1)相切。证明：如图，连OD，AD.∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴D是BC的中点．∵OA=OB∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF. ∴DF是⊙O的切线，
(2)解：∵∠CDF＝22.5°，DF⊥AC，∴∠C＝67.5°，
∴∠BAC＝2∠DAC＝45°.
连接OE，则∠BOE＝2∠BAC＝90°，∴∠AOE＝90°.
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∴S阴影＝－×4×4＝4π－8.
24. 解：(1)由题意得w＝(x－20)·y＝(x－20)(－2x＋80)＝－2x2＋120x－1600，故w与x的函数关系式为w＝－2x2＋120x－1600 (2)w＝－2x2＋120x－1600＝－2(x－30)2＋200.∵－2＜0，∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为200，则该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为200元 (3)当w＝150时，可得方程－2(x－30)2＋200＝150.解得x1＝25，x2＝35.∵35＞28，∴x2＝35不符合题意，应舍去，则该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元
25.解：图②中OD＋OE＝OC成立．证明：过点C分别作OA，OB的垂线，垂足分别为P，Q.有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，又∵OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋OE＝OC.图③不成立，有数量关系：OE－OD＝OC
26．解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋9，(1分)∵抛物线与y轴交于点A(0，5)，
∴4a＋9＝5，∴a＝－1，∴y＝－(x－2)2＋9＝－x2＋4x＋5；(4分)
(2)当y＝0时，－x2＋4x＋5＝0，∴x1＝－1，x2＝5，∴E(－1，0)，B(5，0)．(5分)设直线AB的解析式为y＝mx＋n，∵A(0，5)，B(5，0)，∴m＝－1，n＝5，∴直线AB的解析式为y＝－x＋5.设P(x，－x2＋4x＋5)，∴D(x，－x＋5)，∴PD＝－x2＋4x＋5＋x－5＝－x2＋5x.(7分)∵AC＝4，∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2(－x2＋5x)＝－2x2＋10x，∴当x＝－＝时，即点P的坐标为时，S四边形APCD最大＝；
(3)如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H.∵MN∥AE，MN＝AE，∴△HMN≌△OEA，∴HM＝OE＝1，∴M点的横坐标为x＝3或x＝1.当x＝1时，M点纵坐标为8，当x＝3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)．(10分)∵A(0，5)，E(－1，0)，∴直线AE的解析式为y＝5x＋5.∵MN∥AE，∴MN的解析式为y＝5x＋b.∵点N在抛物线对称轴x＝2上，∴N(2，10＋b)．∵AE2＝OA2＋OE2＝26＝MN2，∴MN2＝(2－1)2＋[8－(10＋b)]2＝1＋(b＋2)2.∵M点的坐标为M1(1，8)或M2(3，8)，
∴点M1，M2关于抛物线对称轴x＝2对称．
∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N＝M2N.
∴1＋(b＋2)2＝26，∴b＝3或b＝－7，
∴10＋b＝13或10＋b＝3.
∴当M点的坐标为(1，8)时，N点坐标为(2，13)，
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