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第27章 相似 单元提优
一、选择题（共10题；共30分）
1.如果四条线段a、b、c、d构成=，m＞0，则下列式子中，成立的是（ ）
A. = B. = C. = D. =
2.如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，， △CEF的面积为S1 ， △AEB的面积为S2 ， 则的值等于（ ）
A. B. C. D.
3.△ABC与△DEF相似，且相似比是， 则△DEF与△ABC的相似比是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，下列能判断BC∥ED的条件是（ ）
A. = B. = C. = D. =
5.如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=， 若AE=5，则EC的长度为（ ）
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A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
6.如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（ ）
A. B. C. D.
7.小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4m，点D到AB的距离DG为6m（如图）．已知DE=30cm，EF=20cm，那么树AB的高度等于（ ）
A. 4m B. 5.4m C. 9m D. 10.4m
8.下列判断不正确的是（ ）
A. 所有等腰直角三角形都相似 B. 所有直角三角形都相似
C. 所有正六边形都相似 D. 所有等边三角形都相似
9.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
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10.临浦是座千年老镇，昔为浙江四大米市之一，镇南临浦阳江，西依峙山，著名的陈迹有临江书舍、西施庙、日思庵、范蠡庙等．峙山海拔59米，峙山塔高高耸立在峙山顶，为千年古镇第一塔．峙山塔建于2004年，钢筋混泥土框架结构仿古楼阁式塔，八面九层，高50米，总面积千余平方米．同学们想知道3号楼到峙山的水平距离约多少米，制定以下方案：如图，同学们的眼睛、路灯顶端、塔顶在同一直线上，测量得路灯高EF=3.3米，同学们到路灯的水平距离BF=16.2米，身高是1.6米，台阶高33cm．则下列数据最接近实际距离（ ）
A. 1200米 B. 1230米 C. 1270米 D. 1310米
二、填空题（共8题；共24分）
11.比例尺1：400 0000的图上，图距为4cm的实际距离约为________米（科学记数法表示）．
12.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．
13.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有________ 对相似三角形．
14.如果线段c是a、b的比例中项，且a=4，b=9，则c=________．
15.如图，直线a∥b∥c，直线l1 ， l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为________．
16.若线段AB=10，点C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，那么AC=________，BC=________．
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17. 如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ________．
18.如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2 ， 那么较大三角形的面积为________cm2 ．
三、解答题（共6题；共36分）
19.已知=≠0，求代数式 的值．
20.如果一个矩形的宽与长的比是黄金比，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，已知四边形ABCD为黄金矩形，以它的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形，你能证明这个结论吗？
21.已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．
22.如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB2=OE•OF；
（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．
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23.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．
24.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是AC上的一点，且AD=2，试在AB上确定一点E，使得△ADE与原三角形相似，并求出AE的长．
四、综合题（共10分）
25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，点E在AB上，且DE∥AC，AE=5，DE=2，DC=3，动点P从点A出发，沿边AC以每秒2个单位长的速度向终点C运动，同时动点F从点C出发，在线段CD上以每秒1个单位长的速度向终点D运动，设运动时间为t秒．
（1）线段AC的长=________；
（2）当△PCF与△EDF相似时，求t的值．
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参考答案
一、选择题
1.D 2. A 3.A 4.C 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.C
二、填空题
11.1.6×105 12.5 13. 3 14.6 15.6 16.15﹣5 ；5 ﹣5 17.3 18.9
三、解答题
19.解：∵=≠0，
∴2b=3a，
∴===．
20.证明：设矩形ABCD的长为x， ∵四边形ABCD为黄金矩形，
∴宽BC为 x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴BE=x﹣ x= x，
∴ = = = = = ，
∴BE与BC的比是黄金比，
∴剩下的矩形BCFE也是一个黄金矩形
21.解：作法：
（1）延长线段AB至F，使AB=BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD=；
（2）连接AD，在AD上截取DE=DB．
（3）在AB上截取AC=AE．
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如图，点C就是线段a的黄金分割点．
22.解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCF，
∵∠EAB=∠BCF，
∴∠EAB=∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵DE∥BC，
∴ =，
∵AB∥CD，
∴=，
∴=，
∴OB2=OE•OF；
（3）连接BD，交AC于点H，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠E，
∵∠OBC=∠ODC，
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∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD2=OE•OF，
∵OB2=OF•OE，
∴OB=OD，
∵平行四边形ABCD中BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
23.解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″
24.解：在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，
理由是：分为两种情况：①当∠ADE=∠C时，如图1：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACB，
∴=
∴，
∴AE=；
②当∠ADE=∠C时，如：2：
∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB，
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∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴AE=．
∴在AB上存在一点E，使得△ADE与△ABC相似，符合条件的AE的长是或．
四、综合题
25.（1）6
（2）解：CF=t，PA=2t，则DF=3﹣t，CP=6﹣2t，0＜t＜3， ∵∠C=∠FDE，
∴当 = 时，△CFP∽△DFE，即 = ，整理得t2﹣7t+9=0，解得t1= ，t2= （舍去），
∴当 = 时，△CFP∽△DEF，即 = ，t=4（舍去），
综上所述，t的值为 ．
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