2018届中考数学《第四部分第四讲第3课时分割与拼接》同步练习.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第3课时　分割与拼接操作型问题 ‎(50分)‎ 一、选择题(每题6分，共12分)‎ ‎1．如图4－3－1，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 (　D　)‎ 图4－3－1‎ A．①②③ B．①②④‎ C．②③④ D．①③④‎ ‎【解析】 根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，①中，作底角的角平分线即可；②中，不能；③中，作底边上的高线即可；④中，在BC边上截取BD＝AB即可．‎ ‎2．如图4－3－2，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形)，则∠OCD等于 (　C　)‎ 图4－3－2‎ A．108° B.114° C．126° D.129°‎ 第2题答图 ‎【解析】 展开如答图： 五角星的每个角的度数是 ＝36°，∵∠COD＝360°÷10＝36°，∠ODC＝36°÷2＝18°，∴∠OCD＝180°－36°－18°＝126°.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 二、填空题(每题6分，共12分)‎ 图4－3－3‎ ‎3．如图4－3－3，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝__2＋__或4＋2____．‎ ‎【解析】 如答图①，作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，四边形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，BC∥AN，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，则∠NAD＝60°，‎ ‎∴∠AND＝90°，∵四边形ABCE面积为2，设BT＝x，则BC＝EC＝2x，故2x·x＝2，解得x＝1(负数舍去)，则AE＝EC＝2，EN＝ ＝ ，故AN＝2＋ ，则AD＝DC＝4＋2 ；‎ ‎ ‎ 第3题答图①　　　　第3题答图②‎ 如答图②，四边形BEDF是平行四边形，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°，∵BE＝DE，∴∠AEB＝30°，∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB·DE＝2y2＝2，解得y＝1，故AE＝，DE＝2，则AD＝2＋ ，综上所述，CD的值为2＋ 或4＋2 .‎ ‎4.[2016·江西]如图4－3－4是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是__5__或4__或5__．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ 图4－3－4 　 　第4题答图 ‎【解析】 如答图所示：①AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝ AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB－AE＝8－5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝＝4，∴底边AP1＝＝＝4；③当P2A＝P2E时，底边AE＝5；综上所述，等腰三角形AEP的底边长是5 或4 或5.‎ 三、解答题(共26分)‎ 图4－3－5‎ ‎5．(12分)[2016·荆州]请用割补法作图，将一个锐角三角形(如图4－3－5)经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形(只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记)．‎ 解：如答图所示．‎ 第5题答图 AE＝BE，DE＝EF，AD＝CF.‎ ‎6．(14分)(1)如图4－3－6，△ABC纸片中，∠A＝36°，AB＝AC，请你剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．请画出示意图，并标明必要的角度；‎ 图4－3－6‎ ‎(2)已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，连结AD，若△ACD与△ABD都是等腰三角形，则∠B 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的度数是__45°或36°__；‎ ‎(3)现将(1)中的等腰三角形改为△ABC中，∠A＝36°，从点B出发引一直线可分成两个等腰三角形，则原三角形的最大内角的所有可能值是__72°，108°，190°，126°__．(直接写出答案)‎ 解：(1)如答图①所示．答案不唯一，只要符合题意均正确．‎ ‎ ‎ 第6题答图①‎ ‎(2)如答图②，∠B的度数是45°或36°.‎ 第6题答图②‎ ‎(3)72°，108°，90°，126°.‎ ‎(30分)‎ ‎7．(14分)阅读下面材料：‎ 小明遇到这样一个问题：如图4－3－7①，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNPQ的面积．‎ 小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图②)．‎ 请回答：(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为__a__；‎ ‎(2)求正方形MNPQ的面积．‎ ‎(3)参考小明思考问题的方法，解决问题：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 如图③，在等边三角形ABC各边上分别截取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边三角形RPQ.若S△RPQ＝，则AD的长为____．‎ 图4－3－7‎ 解：(1)四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为 a，每个等腰直角三角形的面积为 a·a＝ a2，‎ 则拼成的新正方形面积为4×a2＝a2，即与原正方形ABCD面积相等，‎ ‎∴这个新正方形的边长为a；‎ ‎(2)∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，‎ ‎∴S正方形MNPQ＝S△ARE＋S△DWH＋S△GCT＋S△SBF＝4S△ARE＝4××12＝2；‎ 第7题答图 ‎(3)如答图所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W.‎ 由题意易得△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．‎ 不妨设等边三角形边长为a，则SF＝AC＝a.‎ 过点R作RM⊥SF于点M，则MF＝SF＝a，‎ 在Rt△RMF中，RM＝MF·tan30°＝a× ＝a，‎ ‎∴S△RSF＝a·a＝a2.‎ 过点A作AN⊥SD于点N，设AD＝AS＝x，‎ 则AN＝AD·sin30°＝x，SD＝2ND＝2ADcos30°＝ x，‎ ‎∴S△ADS＝SD·AN＝·x· x＝x2.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和＝3S△RSF＝3×a2‎ ‎＝a2，‎ ‎∴S△RPQ＝S△ADS＋S△CFT＋S△BEW＝3S△ADS，‎ ‎∴＝3×x2，得x2＝，‎ 解得x＝ 或－(不合题意，舍去)，‎ ‎∴x＝，即AD的长为.‎ ‎8．(16分)[2016·山西]综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图4－3－8①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.‎ 操作发现：(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是__菱形__；‎ ‎(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连结DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；‎ 实践探究：(3)缜密小组在创新小组所发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C′′D′，连结BD′，CC′′，使四边形BCC′′D′恰好为正方形．求a的值，请你解答此问题；‎ 图4－3－8‎ ‎(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第8题答图①‎ 解：(1)如答图①，由题意可得∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，‎ ‎ 故AC′∥EC，AC∥C′E，‎ 则四边形ACEC′是平行四边形，‎ 故四边形ACEC′的形状是菱形；‎ ‎(2)证明：如答图②，作AE⊥CC′于点E，‎ 由旋转得AC′＝AC，‎ 则∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠BAC，‎ 第8题答图②‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，‎ ‎∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，‎ ‎∴AE∥BC，同理可得AE∥DC′，‎ ‎∴BC∥DC′，则∠BCC′＝90°，又∵BC＝DC′，‎ ‎∴四边形BCC′D是平行四边形，‎ ‎∵∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；‎ ‎(3)如答图②，过点B作BF⊥AC，垂足为F，‎ ‎∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，‎ 在Rt△BCF中，BF＝＝ ＝12，‎ 在△ACE和△CBF中，‎ ‎∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，‎ ‎∴△ACE∽△CBF，‎ ‎∴＝，即＝，解得EC＝，‎ ‎∵AC＝AC′，AE⊥CC′，‎ ‎∴CC′＝2CE＝2×＝，‎ 当四边形BCC′′D′恰好为正方形时，分两种情况：‎ ‎①点C″在边C′C上，a＝C′C－13＝－13＝，‎ ‎②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C＋13＝＋13＝.‎ 综上所述，a的值为 或 .‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第8题答图③‎ ‎ (4)答案不唯一，例如：如答图③所示，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为 AC的长度，得到△A′C′D′，连结A′B，D′C.‎ 结论：∵BC＝A′D′，BC∥A′D′，‎ ‎∴四边形A′BCD′是平行四边形．‎ ‎(20分)‎ ‎9．(20分)用如图4－3－9①，②所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：‎ 图4－3－9‎ 探究一：将以上两个三角形如图③拼接(BC和ED重合)，在BC边上有一动点P.‎ ‎(1)当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连结AP，求线段AP的长；‎ ‎(2)当点P在运动的过程中出现PA＝FC时，求∠PAB的度数．‎ 探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M，N两点，连结MN.在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 图4－3－9‎ 第9题答图①‎ 解：探究一：(1)依题意画出图形，如答图①所示：‎ ‎ 由题意，得∠CFB＝60°，FP为角平分线，则∠CFP＝30°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CF＝BC·tan30°＝3×＝，‎ ‎∴CP＝CF·tan∠CFP＝× ＝1.‎ 过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝BC＝，‎ ‎∴PG＝CG－CP＝－1＝.‎ 在Rt△APG中，由勾股定理得 ‎ AP＝＝ ＝.‎ 第9题答图②‎ ‎(2)由(1)可知，FC＝ .‎ 如答图②所示，以点A为圆心，以FC＝ 长为半径画弧，与BC交于点P1，P2，则AP1＝AP2＝.‎ 过点A作AG⊥BC于点G，则AG＝BC＝.‎ 在Rt△AGP1中，‎ ‎ cos∠P1AG＝＝＝，‎ ‎∴∠P1AG＝30°，∴∠P1AB＝45°－30°＝15°；‎ 同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°＋30°＝75°.‎ ‎∴∠PAB的度数为15°或75°.‎ 探究二：△AMN的周长存在最小值．‎ 如答图③所示，连结AD.‎ 第9题答图③‎ ‎ ∵△ABC为等腰直角三角形，点D为斜边BC的中点，‎ ‎∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.‎ ‎∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，‎ ‎∴∠MDA＝∠NDC.∵在△AMD与△CND中，‎ ‎ ∴△AMD≌△CND(ASA)．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AM＝CN.设AM＝x，则CN＝x，AN＝AC－CN＝BC－CN＝－x.‎ 在Rt△AMN中，由勾股定理得 ‎ MN＝＝ ‎＝ ＝ ，‎ ‎△AMN的周长为AM＋AN＋MN ‎＝＋，当x＝时，有最小值，最小值为＋ ＝.‎ ‎∴△AMN周长的最小值为.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 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