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第三讲 函数应用型问题
第1课时 一次函数的应用
(64分)
一、选择题(每题6分，共18分)
图3－1－1
1．[2017·济宁]如图3－1－1，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB.点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是 ( D )
A．① B.④ C.②或④ D.①或③
【解析】 根据“直径是圆中最长的弦”，点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，分两种情况：点P顺时针运动时，BP长先变大再变小直至0再变大，即图象③；点P逆时针运动时，BP长先变小直至0再变大再变小，即图象①.故选D.
图3－1－2
2．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500 m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2 s，在跑步的过程中，甲、乙两人之间的距离y(m)与乙出发的时间t(s)之间的函数关系如图3－1－2所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123.其中正确的是 ( A )
A．①②③ B．仅有①②
C．仅有①③ D．仅有②③
【解析】 甲的速度为8÷2＝4(m/s)，乙的速度为500÷100＝5(m/s)．b＝5×100－4×(100＋2)＝92(m)，5a－4×(a＋2)＝0，解得a＝8(s)，c＝100＋92÷4＝123(s)，∴正确的有①②③.故选A.
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3．[2017·聊城]端午节前夕，在东昌湖举行第七届全民健身运动会龙舟比赛中，甲、乙两队在500 m的赛道上，所划行的路程y(m)与时间x(min)之间的函数关系如图3－1－3所示，下列说法错误的是 ( D )
图3－1－3
A．乙队比甲队提前0.25 min到达终点
B．当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m
C．0.5 min后，乙队比甲队每分钟快40 m
D．自1.5 min开始，若甲队要与乙队同时到达终点，则甲队的速度需要提高
到255 m/min
【解析】 A．由横坐标看出乙队比甲队提前0.25 min到达终点，故A不符合题意；B.乙AB段的表达式为y＝240x－40，当y＝110时，x＝，甲的表达式为y＝200x，当x＝时，y＝125，当乙队划行110 m时，此时落后甲队15 m，故B不符合题意；C.乙AB段的表达式为y＝240x－40，乙的速度是240 m/min，甲的表达式为y＝200x，甲的速度是200 m/min，0.5min后，乙队比甲队每分钟快40 m，故C不符合题意；D.甲的表达式为y＝200x，当x＝1.5时，y＝300，则(500－300)÷(2.25－1.5)＝(m/min)，故D符合题意．
二、填空题(共6分)
图3－1－4
4．[2016·吴中区二模]甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图3－1－4所示．则下列结论：①A，B两城相距300 km；②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；③乙车出发后2.5 h追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km/h，t＝或.其中不正确的结论是 __③④__(填序号)．
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【解析】 由图象可知A，B两城市之间的距离为300 km，甲行驶的时间为5 h，而乙是在甲出发1 h后出发的，且用时3 h，即比甲早到1 h，∴①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，把(5，300)代入可求得k＝60，∴y甲＝60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt＋n，把(1，0)和(4，300)代入，得 解得
∴y乙＝100t－100，令y甲＝y乙，可得60t＝100t－100，解得t＝2.5，即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5 h，即乙车出发1.5 h后追上甲车，∴③不正确；令|y甲－y乙|＝50，可得|60t－100t＋100|＝50，即|100－40t|＝50，当100－40t＝50时，解得t＝，当100－40t＝－50时，解得t＝，又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，当t＝时，乙到达B城，
y甲＝250.综上可知当t的值为或或或时，两车相距50 km，∴④不正确．故不正确的是③④.
三、解答题(共40分)
5．(12分)[2017·南充]学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人．已知1辆甲种客车和3辆乙种客车需租金1 240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1 760元．
(1)求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
(2)学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
解：(1)设1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是a元和b元，根据题意，得
解得
答：1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是400元和280元．
(2)设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车(8－x)辆，再设租车费用为y元，则y＝400x＋280(8－x)＝120x＋2 240.
又∵45x＋30(8－x)≥330，解得x≥6.
∴x的取值范围是6≤x≤8的整数．
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在函数y＝120x＋2 240中，k＝120＞0，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝6时，y有最小值120×6＋2 240＝2 960(元)．
6．(12分)[2018·中考预测]某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同．
(1)求甲、乙商品的进货单价；
(2)若甲、乙两种商品共进货100件，要求两种商品的进货总价不高于9 000元，同时甲商品按进价提高10%后的价格销售，乙商品按进价提高25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元，问有几种进货方案？
(3)在条件(2)下，并且不再考虑其他因素，若甲、乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利润是多少？
【解析】 (1)设甲商品的进货单价是m元，乙商品的进货单价是n元，根据“甲的进货单价比乙的进货单价高20元，已知20个甲商品的进货总价与25个乙商品的进货总价相同”即可列方程组求解；
(2)设甲进货x件，乙进货(100－x)件，根据两种商品的进货总价不高于9 000元，两种商品全部售完后的销售总额不低于10 480元即可列不等式组求解；
(3)把利润表示为甲商品进货数量的函数，利用函数的性质即可求解．
解：(1)设甲商品的进货单价是m元，乙商品的进货单价是n元．
根据题意，得解得
答：甲商品的进货单价是100元，乙商品的进货单价是80元；
(2)设甲商品进货x件，乙商品进货(100－x)件．
根据题意，
得
解得48≤x≤50.
又∵x是正整数，∴x的正整数值是48或49或50，∴有三种进货方案：第一种：甲商品进货48件，乙商品进货52件；第二种：甲商品进货49件，乙商品进货51件；第三种：甲商品进货50件，乙商品进货50件；
(3)设甲进货x件，乙进货(100－x)件．销售的利润W＝100×10%x＋80(100－x)×25%，即W＝2 000－10x，
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∴当x取得最小值48时，W取得最大值为2 000－10×48＝1 520(元)．
此时，乙进的件数是100－48＝52(件)．
答：当甲进货48件，乙进货52件时，利润最大，最大的利润是1 520元．
7．(16分)某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型20台、乙型30台，现将这50台联合收割机派往A，B两地区收割水稻，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定的每天租赁价格如下表：
每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1 800元
1 600元
B地区
1 600元
1 200元
(1)设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元，求y关于x的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79 600元，试写出满足条件的所有分派方案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得的租金最高，并说明理由．
解：(1)由于派往A地区的乙型收割机x台，则派往B地区的乙型收割机为(30－x)台，派往A，B地区的甲型收割机分别为(30－x)台和(x－10)台．
∴y＝1 600x＋1 200(30－x)＋1 800(30－x)＋1 600·(x－10)
＝200x＋74 000(10≤x≤30)；
(2)由题意，得200x＋74 000≥79 600，解得x≥28，
∵28≤x≤30，x是正整数，∴x＝28或29或30，
∴有3种不同分派方案：
①当x＝28时，派往A地区的甲型收割机2台，乙型收割机28台，派往B地区的甲型收割机18台，乙型收割机2台；
②当x＝29时，派往A地区的甲型收割机1台，乙型收割机29台，派往B地区的甲型收割机19台，乙型收割机1台；
③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；
(3)∵y＝200x＋74 000中，y随x的增大而增大，
∴当x＝30时，y取得最大值，此时，y＝200×30＋74 000＝80 000(元)．
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答：建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样公司每天获得的租金最高，最高租金为80 000元．
(16分)
8．(16分)[2017·烟台]数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度－20℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到－4℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至－20℃时，制冷再次停止，…按照以上方式循环进行．
同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y(℃)随时间x(min)的变化情况，制成下表：
时间x/min
…
4
8
10
16
20
21
22
温度y/℃
…
－20
－10
－8
－5
－4
－8
－12
时间x/min
24
28
30
36
40
42
44
…
温度y/℃
－20
－10
－8
－5
－4
a
－20
…
(1)通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数．
①当4≤x＜20时，写出一个符合表中数据的函数表达式__y＝－__；
②当20≤x＜24时，写出一个符合表中数据的函数表达式__y＝－4x＋76__；
(2)a的值为__－12__；
(3)如图3－1－5，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4≤x≤44时温度y随时间x变化的函数图象．
图3－1－5
解：(1)①∵4×(－20)＝－80，8×(－10)＝－80，10×(－8)＝－80，
16×(－5)＝－80，20×(－4)＝－80，
∴当4≤x＜20时，y＝－.
②当20≤x＜24时，设y关于x的函数表达式为y＝kx＋b，
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将(20，－4)，(21，－8)代入，得
解得∴此时y＝－4x＋76.
当x＝22时，y＝－4x＋76＝－12，当x＝24时，y＝－4x＋76＝－20.
∴当20≤x＜24时，y＝－4x＋76.
(2)观察表格，可知该冷柜的工作周期为20 min，
∴当x＝42时，与x＝22时的y值相同，∴a＝－12.
(3)描点、连线，画出函数图象如答图所示．
第8题答图
(20分)
图3－1－6
9．(20分)[2017·天门]江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图3－1－6所示：
(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式；
(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾能更省钱？
解：(1)设y甲＝kx，把(2 000，1 600)代入，
得2 000x＝1 600，解得k＝0.8，则y甲＝0.8x；
当0＜x＜2 000时，设y乙＝ax，
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把(2 000，2 000)代入，得2 000x＝2 000，解得k＝1，则y乙＝x；
当x≥2 000时，设y乙＝mx＋n，
把(2 000，2 000)，(4 000，3 400)代入，
得解得
∴y乙＝
(2)当0＜x＜2 000时，0.8x＜x，到甲商店购买更省钱；当x≥2 000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x＜0.7x＋600，解得x＜6 000，若到乙商店购买更省钱，则0.8x＞0.7x＋600，解得x＞6 000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x＝0.7x＋600，解得x＝6 000.
故当购买金额按原价小于6 000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6 000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样．
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