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第3课时 二次函数与相似三角形的综合
(35分)
1．(15分)[2017·宜昌]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c，其中2a＝b>0>c，且a＋b＋c＝0.
(1)直接写出关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的一个根；
(2)证明：抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点A在第三象限；
(3)直线y＝ x＋m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A，D两点．设抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴与x轴相交于E，如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF＝S△ADE，求此时抛物线的表达式．
【解析】 (1)利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；
(2)确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶点坐标的正负性；
(3)借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值．
解：(1)ax2＋bx＋c ＝0的一个根为1(或者－3)；
(2)证明：∵b ＝2a，∴对称轴x为＝－＝－1，将b＝2a代入a＋b＋c＝0，得c＝－3a.
∵a＝b>0>c，∴b2－4ac>0，∴45°，这时△BOC与△ADF相似，顶点A只可能对应△BOC中的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴是x＝－1，设对称轴x＝－1与OF交于点G，
∵直线y＝x＋m过顶点A，∴m＝1－4a，
∴直线表达式为y＝x＋1－4a，解方程组解得
这里的(－1，4a)即为顶点A，点即为点D的坐标，
D点到对称轴x＝－1的距离为－1－(－1)＝，AE＝|－4a|＝4a，
S△ADE＝××4a＝2，即它的面积为定值．
这时等腰直角三角形ADF的面积为1，∴底边DF ＝2，而x＝－1是它的对称轴，这时D，C重合且在y轴上，由－1＝0，∴a＝1，此时抛物线的表达式y＝x2＋2x－3
图5－3－1
2．(20分)[2016·广州一模]如图5－3－1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(3，0)，直线y＝－x＋3恰好经过B，C两点．
(1)写出点C的坐标；
(2)求出抛物线y＝x2＋bx＋c的表达式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标．
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【解析】 (1)由直线y＝－x＋3可求出点C坐标；
(2)由B，C两点坐标便可求出抛物线方程，从而求出抛物线的对称轴和A点坐标；
(3)作辅助线AE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF的长度，从而求出P点坐标．
解：(1)y＝－x＋3与y轴交于点C，故C(0，3)；
(2)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点B，C，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
∴对称轴为直线x＝2，点A(1，0)；
第2题答图
(3)由y＝x2－4x＋3，
可得D(2，－1)，A(1，0)；
∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2，
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，CB＝3.
如答图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF＝AB＝1.
过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠AEB＝90°.
可得BE＝AE＝，CE＝2.
在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90°，
∵∠ACE＝∠APF，
∴△AEC∽△AFP.
∴＝，＝，
解得PF＝2.
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为(2，2)或(2，－2)．
(40分)
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图5－3－2
3．(20分)如图5－3－2，若关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0，c＞0，a，b，c是常数)与x轴交于两个不同的点A(x1，0)，B(x2，0)(0＜x1＜x2)，与y轴交于点P，其图象顶点为M，点O为坐标原点．
(1)当x1＝c＝2，a＝时，求x2与b的值；
(2)当x1＝2c时，试问△ABM能否等边三角形？判断并证明你的结论；
(3)当x1＝mc(m＞0)时，记△MAB，△PAB的面积分别为S1，S2，若△BPO∽△PAO，且S1＝S2，求m的值．
解：(1)设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，
把a＝，c＝2代入，得x2＋bx＋2＝0，
∵x1＝2是它的一个根，
∴×22＋2b＋2＝0，解得b＝－，
∴方程为x2－x＋2＝0，
∴另一个根为x2＝3；
(2)当x1＝2c时，x2＝＝，
此时b＝－a(x1＋x2)＝－，4ac＝－2b－1，
∵M，
当△ABM为等边三角形时＝AB，
即＝，
∴b2＋2b＋1＝(1＋2b＋1)，
解得b1＝－1，b2＝2－1(舍去)，
此时4ac＝－2b－1，即2c＝，A，B重合，
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∴△ABM不可能为等边三角形；
(3)∵△BPO∽△PAO，
∴＝，即x1x2＝c2＝，
∴ac＝1，a＝，
由S1＝S2得c＝＝－c，
∴b2＝4a·2c＝8ac＝8，
∴b1＝－2，b2＝2(舍去)，
方程可变形为x2－2x＋c＝0，
∴x1＝＝＝(－1)c，
x2＝＝(＋1)c，
∵x1＜x2，x1＝mc，
∴mc＝(－1)c，∴m＝－1.
4．(20分)[2017·潍坊]如图5－3－3，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过▱ABCD的顶点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将▱ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当t为何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
(3)是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
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图5－3－3 备用图
【解析】 (1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的表达式；
(2)由平行四边形的对称性可知直线l必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E点坐标，进而可求直线l的表达式，结合二次函数表达式确定点F的坐标．作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，列出PM关于t的表达式，最后利用三角形的面积得S△PFE关于t的表达式，利用二次函数的最值求得t值，从而使问题得以解决；
(3)分两种情形讨论：①若∠P1AE＝90°，作P1G⊥y轴，易得P1G＝AG，由此构建一元二次方程求t的值；②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x轴，AQ⊥P2K，则△P2KE∽△AQP2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t的值．
解：(1)将点A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)代入y＝ax2＋bx＋c，结得 得
则抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)∵直线l将▱ABCD分割为面积相等的两部分，∴必过其对称中心.
由点A，D知，抛物线对称轴为x＝1，∴E(3，0)，
设直线l的表达式为y＝kx＋m，代入点和(3，0)，得
解得
∴直线l的表达式为y＝－x＋.
由解得xF＝－.
如答图①，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH.
点P的纵坐标为yP＝－t2＋2t＋3，
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点M的纵坐标为yM＝－t＋.
∴PM＝yP－yM＝－t2＋2t＋3＋t－
＝－t2＋t＋.
第4题答图①
则S△PFE＝S△PFM＋ S△PEM＝PM·FN＋PM·EH
＝PM ·(FN＋ EH)
＝＝－＋×
∴当t＝时，△PFE的面积最大，最大值的立方根为 ＝.
(3)由图可知∠PEA≠90°.
①若∠P1AE＝90°，如答图②，作P1G⊥y轴，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，
∴∠P1AG ＝∠AP1G＝45°，∴P1G＝AG.∴t＝－t2＋2t＋3－3，即－t2＋t＝0，
解得t＝1或0(舍去)．
第4题答图②
②若∠AP2E＝90°，作P2K⊥x轴，AQ⊥P2K，
则△P2KE∽△AQP2，
∴＝，
∴＝，即t2－t－1＝0，
解得t＝或＜－(舍去)．
综上可知t＝1或符合题意．
(25分)
5．(25分)[2017·盐城]如图5－3－4，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，C两点，与x
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轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连结BC，CD.设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD.是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
图5－3－4 备用图
【解析】 (1)先求出直线y＝x＋2与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，再将点A，B的坐标代入抛物线的函数表达式即可求解；
(2)①过点C作CH⊥BD交BD于点H，则CH是△CDE与△BCE的高线，所以＝，分别过点D，B作DM∥y轴、BN⊥x轴，DM交AC于点M，BN交AC于点N，则＝.由抛物线的函数表达式求出点B的坐标，进而可求出点N的坐标，得到BN的长；设D，表示出点M的坐标为，可得DM＝－t2－2t，于是转化为关于t的二次函数，从而求得最大值；
②分三种情形求解：(Ⅰ)∠DFC＝2∠BAC；(Ⅱ)∠CDF＝2∠BAC；(Ⅲ)∠FCD＝2∠BAC.情形(Ⅰ)通过判断∠BAC的度数确定是否存在；情形(Ⅱ)可通过作∠BAC关于 轴的对称图形构成出2∠BAC，再过点C作平行线求解；情形(Ⅲ)在x轴负半轴取点P，使CP＝AP，构成出2∠BAC再求解．
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解：(1)在y＝x＋2中，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－4.
∴C(0，2)，A(－4，0)．
代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得b＝－，c＝2.
∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－x＋2.
(2)如答图①，过点C作CH⊥BD于点H，
则S1＝DE·CH，S2＝BE·CH.
第5题答图①
∴＝.
过点D作DM∥y轴，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴交AC于点N，则DM∥BN.
∴＝.
在y＝－x2－x＋2中，当y＝0时，－x2－x＋2＝0，解得x＝－4或1.
∴B(1，0)．当x＝1时，y＝x＋2＝.
∴N，BN＝.
设D，则M.
∴DM＝－t2－t＋2－＝－t2－2t.
∴＝＝－(t＋2)2＋.
∴当t＝－2时，取最大值.
②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴OA＝4，OB＝1，OC＝2.
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＝＝，＝.
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB.
∴∠ACO＝∠ABC.
(Ⅰ)∵tan∠BAC＝＝≠1，
∴∠BAC≠45°.∴∠DFC≠2∠CAB.
第5题答图②
(Ⅱ)当∠DCF＝2∠CAB时，如答图②，作点C关于x轴的对称点G，连结AG，则∠CAB＝∠GAB，G(0，－2)．
∴∠CAG＝2∠CAB.
设直线AG的函数表达式为y＝kx＋d(k≠0)．
把A(－4，0)，G(0，－2)代入，得
解得k＝－，d＝－2.
∴直线AG的函数表达式为y＝－x－2.过点C作CD∥AG交第二象限内的抛物线于点D，则∠DCF＝∠CAG＝2∠CAB，且直线CD的函数表达式为y＝－x＋2.
由－x＋2＝－x2－x＋2，解得x1＝0(舍去)，x2＝－2.
∴点D的横坐标为－2.
第5题答图③
(Ⅲ)当∠CDF＝2∠CAB时，如答图③，在x轴负半轴上取点P，使CP＝AP.
∴∠CAB＝∠ACP，∴∠CPO＝∠CAB＋∠ACP＝2∠CAB.设OP＝m，则CP＝AP＝4－m.
在Rt△OCP中，由勾股定理，得OP2＋OC2＝CP2.
∴m2＋22＝(4－m)2.解得m＝，即OP＝.
∴tan∠CDF＝tan∠CPO＝＝.
∴＝.
过点F作QK∥x轴交y轴于点K，过点D作DQ∥y轴交QK于Q，则∠Q
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＝∠FKC＝90°，∠CFK＋∠FCK＝90°，＝.
∴＝，即FK＝2KC.∵DF⊥AC，∴∠CFK＋∠DFQ＝90°.
∴∠FCK＝∠DFQ.又∵∠Q＝∠FKC，
∴△FKC∽△DQF.
∴＝＝＝.
设QF＝3n，则KC＝4n，FK＝8n，DQ＝6n，OK＝2－4n.∴D(－11n，2＋2n)，代入y＝－x2－x＋2，得
2＋2n＝－×(－11n)2－x(－11n)＋2.解得n1＝0(不合题意，舍去)，n2＝.
∴－11n＝－，即点D的横坐标为－.
综上诉述，点D的横坐标为－2或－.
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