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江西吉安市2019届高三数学上学期联考试卷(理科附答案)

时间:2018-12-27 17:44:10作者:试题来源:网络
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w.Co M 吉安市2019届五校联考理科数学试题
命题人:泰和二中 林德民 考试时间:120分钟
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ,  ,则 (    )
A.      B.      C.      D. 
2.若复数 满足 ( 是虚数单位),则 的共轭复数为(    )
A.            B.          C.           D.
3.双曲线   的离心率是 ,过右焦点 作渐近线 的垂线,垂足为 ,若 的面积是1,则双曲线 的实轴长是(  )
A. 1           B. 2             C.          D. 
4.偶函数 在 上为增函数,且 ,则实数 的取值范围是(     )
A.      B.      C.      D. 
5.下列说法中,说法正确的是(    ).
A. 若 ,则 .          
B. 向量     垂直的充要条件是m=1
C. 命题“ ”, ”的否定是“ ”
D. 已知函数f(x)在区间 上的图象是连续不断的,则命题“若 ,则 在区间 内至少有一个零点”的逆命题为假命题
6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为(    )
A.  
B.  
C..   
D. 


7.函数 其中 的图象如图所示,为了得到 的图象,则只需将 的图象(    )     
A. 向右平移 个长度单位        B. 向右平移 个长度单位
C. 向左平移 个长度单位        D. 向左平衡 个长度单位
8.设 ,则(       )
A.          B.         C.          D.
9.设 的三内角A、B、C成等差数列,  成等比数列,则这个三角形的形状是(   )
A. 直角三角形    B. 钝角三角形    C. 等腰直角三角形    D. 等边三角形
10.设x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则 + 的最小值为 ( )
A.                  B.              C.             D. 4
11.已知 , 是双曲线 的左,右焦点,若双曲线左支上存在一点 与点 关于直线 对称,则该双曲线的离心率为  (    )
A.                 B.             C.           D.
12.已知函数 ,关于x的方程 ,有5个不同的实数解,则m的取值范围是(    )
A.            B.           C.         D. 
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量 =( ,2)与向量 =( ,1)互相平行,则 的值为_______。
14. __________.
15.已知四面体ABCD的顶点都在的球 的球面上,且 , ,平面ABD垂直平面BCD,则球O的体积为          .
16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图
展现了一种相互转化,相对统一的和谐美,定义:能够将圆 的周长
和面积同时等分成两个部分的函数称为圆 的一个“太极函数”,
则下列有关说法中:
①对于圆 的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数 是圆 的一个太极函数;
③存在圆 ,使得 是圆 的一个太极函数;
④直线 所对应的函数一定是圆 的太极函数;
⑤若函数 是圆 的太极函数,则
所有正确的是__________.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题12分)已知等比数列 中,  ,  .
( )若 为等差数列,且满足 ,  ,求数列 的通项公式.
( )若数列 满足 ,求数列 的前 项和 .


18.(本题12分)如图,锐角三角形 中,角 所对的边分别为 ,若
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若线段 上存在一点 使得 ,且 ,  ,求 的面积.
 
19.(本题12分)如图,四边形 是直角梯形,  ,  ,又 ,直线 与直线 所成的角为 .
(1)求证:  ;
(2)求二面角 的余弦值.


20.(本题12分)已知椭圆 的离心率为 ,左、右焦点分别是 ,以 为圆心、3为半径的圆与以 为圆心、1为半径的圆相交,交点在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线 与椭圆C交于A,B两点,点M是椭圆C的右顶点 直线AM与直线BM分别与y轴交于点PQ,试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.

21.(本题12分)已知函数 , , .
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)若函数 在区间 上的最小值是 ,求 的值
(3)设 是函数 图象上任意不同的两点,线段 的中点为 直线 的斜率为 ,证明:


请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本题10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,以坐标原点为极点,  轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 的极坐标方程为 ,直线 过点 且倾斜角为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程和直线 的参数方程;
(2)设直线 与曲线 交于 ,  两点,求 的值.
23.(本题10分)设函数 .
(1)解不等式 ;
(2)若 对 恒成立,求实数a的取值范围.
 
五校联考理科数学答案
选择题:ACBB   DBAD   DABC
填空题:13.    14.       15.         16.②④⑤
解答题17.(Ⅰ)在等比数列 中,    .
所以,由 得 ,即 , 
因此,     3分
在等差数列 中,根据题意, 
可得, 
所以,         6分
(Ⅱ)若数列 满足 ,则 ,   8分
因此有
         12分  
18.解法一:(1)在 中,  ,
 ,
 ,
解法二:(1)在 中,  ,
 ,
 ,
 ,   ,  . 5分
(2)在 中,由余弦定理可得
 ,7分
 ,    ,8分
在 中,由正弦定理可得
 ,  ,  .10分
 12分
19.(1)∵ ,
∴ 平面 ,∵ 平面 ,
∴ .                    4分
(2)在平面 内,过点 作 的垂线,建立空间直角坐标系,如图所示
 


∵ ,且 ,
∴ ,
∴ ,∴      8分
设平面 的一个法向量为 ,
则由 ,
∴ ∴
又平面 的一个法向量为 ,
 
显然,二面角 为锐二面角
所以二面角 的余弦值为 .   12分
20.(1)由题意知 ,则 .又 , ,可得 ,
 椭圆 的方程为 .   5 分
(2)以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点.
由 得 .
设 , ,则有 , .   7 分
又 点M是椭圆 的右顶点, 点 .
由题意可知直线AM的方程为 ,故点 .
直线BM的方程为 ,故点 .
若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点 ,则等价于 恒成立.9分
又 , , 恒成立.
又 ,
 
 .解得 .
故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点 .  12分
21.(1)解: ,则 , ,∴函数 的单调增区间是 ; 3分
(2)解:在 上,分如下情况讨论:
1.当 时, ,函数 单调递增,其最小值为 ,这与函数在 上的最小值是 相矛盾;
2.当 时,函数 在 单调递增,其最小值为 ,同样与最小值是 相矛盾;
3.当 时,函数 在 上有 ,单调递减,在 上有 ,单调递增,
∴函数 的最小值为 ,得 .
4.当 时,函数 在 上有 ,单调递减,其最小值为 ,与最小值是 相矛盾;
5.当 时,显然函数 在 上单调递减,其最小值为 ,与最小值是 相矛盾.
综上所述, 的值为 . 7分
(3)证明:当 时, ,
又 ,不妨设 ,要比较 与 的大小,
即比较 与 的大小,又因为 ,
所以即比较 与 的大小.
令 ,则 ∴ 在 上是增函数.
又 ,∴ , ,即 . 12分
22.(1)曲线 ,
所以 ,即 ,
得曲线 的直线坐标方程为 ,
直线 的参数方程为 为参数). 5分
(2)将 为参数)代入圆的方程,得 ,
整理得 ,所以 .   10分
24.(1)因为 ,
当 时 ,解得 ;当 时, ,无解;
当 时, ,解得 .
所以不等式 的解集为 .  5 分
(2)依题意只需 ,而   .
所以 ,所以 或 ,故实数 的取值范围是 . 10分

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