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衡水中学2019届高三数学上学期三调试卷(理科带解析)

时间:2018-12-20 09:14:09作者:试题来源:网络
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W w w.ttZ y W. c oM 2019届河北省衡水中学
高三上学期三调考试数学(理)试题
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1.集合 , , ,若 ,则 的取值范围是
A.     B.     C.     D.
2.若直线 与双曲线 相交,则 的取值范围是
A.     B.     C.     D.
3.在 中, , , ,则
A.     B.     C.     D.
4.已知数列 的前 项和为 ,正项等比数列 中, , ,则
A.     B.     C.     D.
5.已知直线 与圆 相交于 , ,且 为等腰直角三角形,则实数 的值为
A. 或     B.     C.     D. 1或
6.在 中, 分别是角 的对边,若 ,则 的值为
A.     B. 1    C. 0    D. 2014
7.已知点 是圆 内一点,直线 是以 为中点的弦所在的直线,直线 的方程为 ,那么
A. 且 与圆 相切    B. 且 与圆 相切
C. 且 与圆 相离    D. 且 与圆 相离
8.若圆 和圆 关于直线 对称,过点 的圆 与 轴相切,则圆心 的轨迹方程是
A.     B.
C.     D.
9.平行四边形 中, , ,点 在边 上,则 的最大值为
A.     B.     C. 0    D. 2
10.已知椭圆 上一点 关于原点的对称点为 , 为其右焦点,若 ,设 ,且 ,则该椭圆的离心率 的取值范围是
A.     B.     C.     D.
11.已知点 是抛物线 的对称轴与准线的交点,点 为抛物线的焦点, 在抛物线上且满足 ,当 取最大值时,点 恰好在以 , 为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为
A.     B.     C.     D.
12.已知在 上的函数 满足如下条件:①函数 的图象关于 轴对称;②对于任意 , ;③当 时, ;④函数 , ,若过点 的直线 与函数 的图象在 上恰有8个交点,则直线 斜率 的取值范围是
A.     B.     C.     D.

二、填空题
13.在 中, 分别是角 的对边,已知 , , 的面积为 ,则 的值为_______________.
14.已知平面上有四点 ,向量 , , 满足: , ,则 的周长是_______________.
15.已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点, 是他们的一个公共点,且 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.
16.已知数列 的前 项和 ,若不等式 对 恒成立,则整数 的最大值为________________.

三、解答题
17.在 中,角 的对边分别是 ,已知向量 , ,且满足 .
(1)求角 的大小;
(2)若 ,试判断 的形状.
18.已知圆 经过原点 且与直线 相切于点
(Ⅰ)求圆 的方程;
(Ⅱ)在圆 上是否存在两点 关于直线 对称,且以线段 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 的方程;若不存在,请说明理由
19.各项均为正数的数列 中, , 是数列 的前 项和,对任意 ,有 .
(1)求常数 的值;
(2)求数列 的通项公式;
(3)记 ,求数列 的前 项和 .
20.已知椭圆 的离心率 ,原点到过点 , 的直线的距离是 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)如果直线 交椭圆 于不同的两点 ,且 都在以 为圆心的圆上,求 的值.
21.已知定点 ,定直线 : ,动圆 过点 ,且与直线 相切.
(Ⅰ)求动圆 的圆心轨迹 的方程;
(Ⅱ)过点 的直线与曲线 相交于 , 两点,分别过点 , 作曲线 的切线 , ,两条切线相交于点 ,求 外接圆面积的最小值.
22.设函数 .
(1)当 时,求函数 的最大值;
(2)令 , 其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立,求实数 的取值范围;
(3)当 , ,方程 有唯一实数解,求正数 的值.
 
2019届河北省衡水中学
高三上学期三调考试数学(理)试题
数学答案
参考答案
1.B
【解析】
【分析】
先化简集合M、N,再求 ,再根据 得到a的不等式,即得解.
【详解】
由题得 ,
因为 ,所以 .故答案为:B
【点睛】
(1)本题主要考查集合的化简运算,考查集合的关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题,最好把等号带进原题检验.
2.C
【解析】
【分析】
联立直线和双曲线的方程得到 ,即得 的取值范围.
【详解】
联立直线和双曲线的方程得
当 ,直线和双曲线的渐近线重合,所以直线与双曲线没有公共点.
当 , ,解之得 .
故答案为:C
【点睛】
本题主要考查直线和双曲线的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3.C
【解析】
【分析】
如图所示,由 = = ,可得 ,代入即可得出.
【详解】
如图所示,
∵ = = ,
∴ ,
∴ • = = =﹣ .
故答案为:
 
【点睛】
本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质,考查了计算能力,属于基础题.
4.D
【解析】
【分析】
数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n,a1=S1=0,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,可得an.设正项等比数列
{bn}的公比为q>0,b2=a3=4.bn+3bn﹣1=4bn2(n≥2,n∈N+),化为q2=4,解得q,可得bn.
【详解】
数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n,
∴a1=S1=0,n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2,n=1时也成立.
∴an=2n﹣2.
设正项等比数列{bn}的公比为q>0,b2=a3=4.
bn+3bn﹣1=4bn2(n≥2,n∈N+),
∴ =4 ,化为q2=4,解得q=2.
∴b1×2=4,解得b1=2.
∴bn=2n.
则log2bn=n.
故答案为:D
【点睛】
(1)本题主要考查数列通项的求法,考查等比数列通项的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 若在已知数列中存在: 的关系,可以利用项和公式 ,求数列的通项.
5.D
【解析】
【分析】
由三角形ABC为等腰直角三角形,得到圆心C到直线的距离d=rsin45°,利用点到直线的距离公式列出方程,求出方程的解即可得到a的值.
【详解】
∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形,
∴圆心C(1,﹣a)到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°,即 = ,
整理得:1+a2=2,即a2=1,
解得:a=﹣1或1,
故答案为:D
【点睛】
此题考查了直角与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式,圆的标准方程,等
腰直角三角形的性质,以及锐角三角函数定义,熟练掌握公式及性质是解本题的关键.
6.A
【解析】
【分析】
由a2+b2=2014c2,利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC.利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得 = = = 即可得出.
【详解】
∵a2+b2=2014c2,
∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC.
∴ = = = =2013.
故答案为:A
【点睛】
本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基
本技能方法,属于难题.
7.C
【解析】
【分析】
求圆心到直线的距离,然后与a2+b2<r2比较,可以判断直线与圆的位置关系,易得两直线的关系.
【详解】
以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣ ,直线m的斜率为 ,∴直线l⊥m,
∵点M(a,b)是圆x2+y2=r2内一点,∴a2+b2<r2,
∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是 >r,故相离.
故答案为:C
【点睛】
本题主要考查直线的位置关系,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
8.C
【解析】
【分析】
求出两个圆的圆心坐标,两个半径,利用两个圆关于直线的对称知识,求出a的值,然后求
出过点C(﹣a,a)的圆P与y轴相切,就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离,即可
求出圆心P的轨迹方程.
【详解】
圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心( ),因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线
y=x﹣1对称,设圆心( )和(0,0)的中点为( ),
所以( )满足直线y=x﹣1方程,解得a=2,
过点C(﹣2,2)的圆P与y轴相切,圆心P的坐标为(x,y)
所以 解得:y2+4x﹣4y+8=0,
所以圆心 的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0,
故答案为:C
【点睛】
(1)本题主要考查圆关于直线的对称问题,考查动点的轨迹方程的求法,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求轨迹方程的四种主要方法:①待定系数法:通过对已知条件的分析,发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲线)的定义,然后设出曲线的方程,求出其中的待定系数,从而得到动点的轨迹方程.②代入法:如果点 的运动是由于点 的运动引起的,可以先用点 的坐标表示点 的坐标,然后代入点 满足的方程,即得动点 的轨迹方程.③直接法:直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法:动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的,可以选参、设参,然后用这个参数表示动点的坐标,即 ,再消参.
9.D
【解析】
【分析】
根据向量的数量积的运算,求出A=120°,再建立坐标系,得到 • =x(x﹣2)+ =x2﹣
2x+ =(x﹣1)2﹣ ,设f(x)=(x﹣1)2﹣ ,利用函数的单调性求出函数的最值,问题得
以解决.
【详解】
∵平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,
 • =﹣1,点M在边CD上,
∴| |•| |•cos∠A=﹣1,
∴cosA=﹣ ,∴A=120°,
以A为原点,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂线为y轴,
建立如图所示的坐标系,∴A(0,0),B(2,0),D(﹣ , ),
设M(x, ),则﹣ ≤x≤ ,
∴ =(﹣x,﹣ ), =(2﹣x,﹣ ),
∴ • =x(x﹣2)+ =x2﹣2x+ =(x﹣1)2﹣ ,
设f(x)=(x﹣1)2﹣ ,则f(x)在[﹣ ,1)上单调递减,在[1, ]上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=﹣ ,f(x)max=f(﹣ )=2,
则 • 的最大值是2,
故答案为:D
 
【点睛】
本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题,关键是建立坐标系,属于中档题.
10.B
【解析】
【分析】
椭圆 =1(a>b>0)焦点在x轴上,四边形AFF1B为长方形.根据椭圆的定义:
|AF|+|AF1|=2a,∠ABF=α,则∠AF1F=α.椭圆的离心率e= = = ,α∈[ ,
 ], ≤sin(α+ )≤1, ≤ ≤ ﹣1,即可求得椭圆离心率e的取值范围.
【详解】
椭圆 =1(a>b>0)焦点在x轴上,
椭圆上点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点,设左焦点为F1,连接AF,AF1,BF,
BF1,
∴四边形AFF1B为长方形.
根据椭圆的定义:|AF|+|AF1|=2a,
∠ABF=α,则:∠AF1F=α.
∴2a=2ccosα+2csinα
椭圆的离心率e= = = ,α∈[ , ],
∴ ≤α+ ≤ ,
则: ≤sin(α+ )≤1,
∴ ≤ ≤ ﹣1,
∴椭圆离心率e的取值范围: ,
故答案为:
 
【点睛】
本题考查椭圆的定义,三角函数关系式的恒等变换,利用定义域求三角函数的值域,离
心率公式的应用,属于中档题型.(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种:①利用圆锥曲线的变量的范围,建立不等关系;②直接根据已知中的不等关系,建立关于离心率的不等式;③利用函数的思想分析解答.
11.C
【解析】
【分析】
过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义,结合|PA|=m|PB|,可得 = ,设PA的倾斜角为α,则当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,求出P的坐标,利用双曲线的定义,即可得出结论.
【详解】
过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,∴ = ,
设PA的倾斜角为α,则sinα= ,
当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PA的方程为y=kx﹣1,代入x2=4y,可得x2=4(kx﹣1),
即x2﹣4kx+4=0,∴△=16k2﹣16=0,∴k=±1,
∴P(2,1),
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2( ﹣1),
∴双曲线的离心率为 = +1.
故答案为:C
 
【点睛】
本题考查抛物线的性质,考查双曲线、抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,
当m取得最大值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,是解题的关键.(2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法:公式法和方程法.
12.A
【解析】
【分析】
根据条件分别判断函数的周期性,奇偶性以及函数在一个周期上的图象,利用函数与图象之间的关系,利用数形结合进行求解即可.
【详解】
∵函数f(x)的图象关于y轴对称,
∴函数f(x)是偶函数,
由f(2+x)﹣f(2﹣x)=0得f(2+x)=f(2﹣x)=f(x﹣2),
即f(x+4)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,
若x∈[﹣2,0],则x∈[0,2],
∵当x∈[0,2]时,f(x)=x,
∴当﹣x∈[0,2]时,f(﹣x)=﹣x,
∵函数f(x)是偶函数,
∴f(﹣x)=﹣x=f(x),
即f(x)=﹣x,x∈[﹣2,0],
则函数f(x)在一个周期[﹣2,2]上的表达式为f(x)= ,
∵f(n)(x)=f(2n﹣1•x),n∈N*,
∴数f(4)(x)=f(23•x)=f(8x),n∈N*,
故f(4)(x)的周期为 ,其图象可由f(x)的图象压缩为原来的 得到,
作出f(4)(x)的图象如图:
易知过M(﹣1,0)的斜率存在,
设过点(﹣1,0)的直线l的方程为y=k(x+1),设h(x)=k(x+1),
则要使f(4)(x)的图象在[0,2]上恰有8个交点,
则0<k<kMA,
∵A( ,0),
∴kMA= = ,
故0<k< ,
故选:A.
 
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用,根据条件判断函数的性质,结合数形结合是解决本题
的关键.综合性较强,难度较大.(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法.
13.2
【解析】
【分析】
根据 解出A= ,利用三角形的面积公式算出c=2.根据余弦定理a2=b2+c2﹣
2bccosA的式子算出c= ,最后利用正弦定理加以计算,即可得到答案.
【详解】
∵ ,A∈(0,π)
∴2A+ = ,可得A=
∵b=1,△ABC的面积为 ,
∴S= bcsinA= ,即 ,解之得c=2
由余弦定理,得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2× =3
∴a= (舍负)
根据正弦定理,得 = = =2
故答案为:2
【点睛】
本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识,属
于中档题.
14.
【解析】
【分析】
先判断三角形为正三角形,再根据正弦定理,问题得以解决.
【详解】
平面上有四点O,A,B,C,满足 + + = ,
∴O是△ABC的重心,
∵ • = • ,
∴ •( ﹣ )= • =0,
即: ⊥ ,
同理可得: ⊥ , ⊥ ,
即O是垂心,
故△ABC是正三角形,
∵ • = • = • =﹣1,
令外接圆半径R,则:R2cos(∠AOB)=R2cos( )=﹣1
即:R=
即: = =2R=2 ,
即:a= ,
故周长:3a=3 ,
故答案为:
【点睛】
本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识,属于中档题.
15.
【解析】
【分析】
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,由余弦定理可得
4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos ,①在椭圆中,①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②,在双曲线中,
化简为即4c2=4a12+r1r2…③, ,再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值.
【详解】
设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a1,(a>a1),半焦距为c,
由椭圆和双曲线的定义可知,
设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,
椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,
∵∠F1PF2= ,则∴由余弦定理可得4c2=(r1)2+(r2)2﹣2r1r2cos ,①
在椭圆中,①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②,
在双曲线中,①化简为即4c2=4a12+r1r2…③,
 ,
由柯西不等式得(1+ )( )≥( )2
 
故答案为:
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质,利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关
键.属于难题.
16.4
【解析】
【分析】
由数列递推式求得首项,然后构造出等差数列{ },求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3<(5
﹣λ)an,整理后得到5﹣λ .然后根据数列 的单调性求得最值得答案.
【详解】
当n=1时, ,得a1=4;
当n≥2时, ,两式相减得 ,得 ,
∴ .
又 ,∴数列{ }是以2为首项,1为公差的等差数列, ,即 .
∵an>0,∴不等式2n2﹣n﹣3<(5﹣λ)an,等价于5﹣λ .
记 ,n≥2时, .
∴n≥3时, , .
∴5﹣λ ,即 ,
∴整数λ的最大值为4.
故答案为:4
【点睛】
本题考查了数列通项的求法,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,考查了
不等式的恒成立问题,是中档题.(2)解答本题的关键有两点,其一是根据 求数列的通项 ,其二是求 的最大值.
17.(1) (2)直角三角形
【解析】
【分析】
(1)直接化简 得 , .(2)联立 ①, ②,化简得 或 ,当b=2c时,可以推理得到 为直角三角形,同理,若 ,则 也为直角三角形.
【详解】
(1)∵ ,代入 , ,有
 ,
∴ ,即 ,∴ , .
(2)∵ ,∴ ①
又∵ ②
联立①②有, ,即 ,
解得 或 ,又∵ ,若 ,则 ,
∴ , 为直角三角形,同理,若 ,则 也为直角三角形.
【点睛】
(1)本题主要考查三角恒等变换,考查余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到 或 .
18.(Ⅰ) .
(Ⅱ)见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由已知得圆心经过点P(4,0)、且与y=2x﹣8垂直的直线 上,它又在线段OP的中垂线x=2上,求得圆心C(2,1),半径为 ,可得圆C的方程.
(Ⅱ)假设存在两点M,N关于直线y=kx﹣1对称,则y=kx﹣1通过圆心C(2,1),求得k=1,设直线MN为y=﹣x+b,代入圆的方程,利用韦达定理及 • =0,求得b的值,可得结论.
【详解】
(Ⅰ)法一:由已知,得圆心在经过点 且与 垂直的直线 上,它又在线段 的中垂线 上,所以求得圆心 ,半径为 .
所以圆 的方程为 .
 (细则:法一中圆心3分,半径1分,方程2分)
法二:设圆 的方程为 ,
可得
解得 ,
所以圆 的方程为
 (细则:方程组中一个方程1分)
(Ⅱ)假设存在两点 关于直线 对称,则 通过圆心 ,求得 ,
所以设直线 为
代入圆的方程得 ,
设 , ,则
解得 或
这时 ,符合题意,所以存在直线 为 或 符合条件
 (细则:未判断 的扣1分).
【点睛】
本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题,其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用,直线与圆的位置关系的应用,向量的坐标运算等知识点的考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立,转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键
19.(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
(1)令 中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列 的通项公式.(3)先求出 ,再利用错位相减法求数列 的前 项和 .
【详解】
解:(1)由 及 ,得: ,
∴ .
(2)由 ①,得 ②
由②-①,得 ,
即: ,
∴ ,
由于数列 各项均为正数,∴ ,即 ,
∴数列 是首项为1,公差为 的等差数列,
∴数列 的通项公式是 .
(3)由 ,得: ,∴ ,

 ,
 
 .
【点睛】
(1)本题主要考查项和公式求数列的通项,考查等差数列的通项和求和公式,考查错位相减法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 数列 ,其中 是等差数列, 是等比数列,则采用错位相减法.
20.(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由题得到a,b的方程组,解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y得到 ,可知 ,设 , , 的中点是 ,求出M的坐标,再根据 求出k的值.
【详解】
解:(1)因为 , ,所以 ,
因为原点到直线 的距离 ,解得 , ,
故所求椭圆 的方程为 .
(2)由题意 消去 ,整理得 ,可知 ,
设 , , 的中点是 ,则 , ,
所以 ,所以 ,即 ,又因为 ,
所以 ,所以 .
【点睛】
(1)本题主要考查椭圆方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M的坐标,根据已知得到 .
21.(Ⅰ) ;(Ⅱ)当 时线段 最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为 .
【解析】试题分析:(Ⅰ)设 ,由 化简即可得结论;(Ⅱ)由题意 的外接圆直径是线段 ,设 : ,与 联立得 ,从而得 , 时线段 最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为 .
试题解析:(Ⅰ)设点 到直线 的距离为 ,依题意 .
设 ,则有  .
化简得 .
所以点 的轨迹 的方程为 .
(Ⅱ)设 : ,
代入 中,得 .
设 , ,
则 , .
所以  .
因为 : ,即 ,所以 .
所以直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 .
因为 ,
所以 ,即 为直角三角形.
所以 的外接圆的圆心为线段 的中点,线段 是直径.
因为 ,
所以当 时线段 最短,最短长度为4,此时圆的面积最小,最小面积为 .
【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式,属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标 ,根据题意列出关于 的等式即可;②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把 分别用第三个变量表示,消去参数即可;④逆代法,将 代入 .本题(Ⅰ)就是利用方法①求圆心轨迹方程的.
22.(1) (2) (3)
【解析】
【分析】
(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得 , .再求右边二次函数的最大值即得 .(3)转化为 有唯一实数解,设 ,再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.
【详解】
(1)依题意,知 的定义域为 ,
当 时, ,
 ,
令 ,解得 .(∵ )
因为 有唯一解,所以 ,当 时, ,此时 单调递增;
当 时, ,此时 单调递减,
所以 的极大值为 ,此即为最大值.
(2) , ,则有 ,在 上恒成立,
所以 , .
当 时, 取得最大值 ,所以 .
(3)因为方程 有唯一实数解,
所以 有唯一实数解,
设 ,
则 ,令 , ,
因为 , ,所以 (舍去), ,
当 时, , 在 上单调递减;
当 时, , 在 上单调递增;
当 时, , 取最小值 .
则 ,即 ,
所以 ,因为 ,所以 (*)
设函数 ,因为当 时,
 是增函数,所以 至多有一解,
因为 ,所以方程(*)的解为 ,即 ,解得 .
【点睛】
(1)本题主要考查利用导数求函数的最值,考查利用导数研究不等式的恒成立问题,考查利用导数研究函数的零点,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.


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