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理科数学
参考公式
锥体的体积公式: ,其中为锥体的底面积, 为锥体的高
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合,集合则下图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2. 设复数满足 (其中为虚数单位),则下列说法正确的是（ ）
A． B．复数的虚部是
C． D．复数在复平面内所对应的点在第一象限
3. 已知角的终边经过点,其中,则等于（ ）
A． B． C． D．
4. 已知分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线上一点, 与轴垂直, ,且虚轴长为,则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C. D．
5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的个红球、个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ）
A． B． C. D．
6. 中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）
A． B． C. D．
7. 记不等式组,的解集为,若,不等式恒成立,则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
8. 如图,半径为的圆中, 为直径的两个端点,点在圆上运动,设,将动点到两点的距离之和表示为的函数,则在上的图象大致为（ ）
A． B．
C. D．
9. 如下图所示的程序框图中, 表示除以所得的余数,例如: ,则该程序框图的输出结果为（ ）
A． B． C. D．
10. 设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11. 已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,
,则三棱锥的体积的最大值为（ ）
A． B． C. D．
12. 已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足.若使不等式成立,则实数的最小值为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 展开式中,常数项为 ．(用数字作答)
14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:
爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.
比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．
15. 已知中, ,点为所在平面内一点,满足，则 ．
16. 在圆内接四边形中, ,,则的面积的最大值为 ．
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
17. 已知数列的前项和为,其中为常数.
(1)证明: ；
(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.
18. 在四棱锥中,底面为菱形，.
(1)证明: ；
(2)若,求二面角的余弦值.
19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用表示活动推出的天数, 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表所示:
根据以上数据,绘制了散点图.
(1)根据散点图判断,在推广期内, 与(均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付
的人次关于活动推出天数的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);
(2)根据(1)的判断结果及表中的数据,建立关于的回归方程,并预测活动推出第天使用扫码支付的 人次；
(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
车队为缓解周边居民出行压力,以万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠,有的概率享受折优惠.预计该车队每辆车每个月有万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要年才能开始盈利,求的值.
参考数据:
其中其中
参考公式:
对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: .
20. 在平面直角坐标系中,抛物线,斜率为的直线经过焦点,且与交于两点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知线段的垂直平分线与抛物线交于两点, 为线段的中点,记点到直线的距离为,若，求的值.
21. 已知函数.
(1)当时, 恒成立,求的取值范；
(2)若函数有两个极值点,且,求证: .
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C交于A,B两点
(1)求直线l的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知点的极坐标为,求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
(1)解不等式；
(2)若，且,证明: ，并求
时，的值.
2018 届高三教学质量调研考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
1-5: BDBDC 6-10:CCABA 11、12：AD
二、填空题
13. ； 14. 丙； 15. ； 16. .
三、解答题
17. 【解析】
（1），，
，
；
（2），
，
相减得：，
从第二项起成等比数列，
即，
得，
若使 是等比数列
则，
经检验得符合题意．
18. 【解析】
证明：
（1）取 中点为，连结
底面为菱形，且
为等边三角形，
平面
.
（2）设
，
为中点
.
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
相关各点的坐标为
，，，.
设的法向量为
得
令得，即
设二面角的平面为，由图可知，为钝角，
则.
19. 【解析】
（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；
（2），两边同时取常用对数得：；
设
，
，
把样本中心点代入,得: ，
，，
关于的回归方程式：；
把代入上式: ；
活动推出第天使用扫码支付的人次为；
（3）记一名乘客乘车支付的费用为，
则的取值可能为：；
；
；
；
所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：
（元）
由题意可知：
，所以，取；
估计这批车大概需要7年才能开始盈利.
20. 【解析】
（1）由已知，的方程：，设，
由，得：
，，
，
由已知得：，
抛物线方程；
（2）由第（1）题知，，
方程即：，
，
设的中点，
则：，，
所以的中垂线的方程：
，即
将的方程与联立得：，
设，则
点到：的距离
所以
由已知得：，得.
21. 【解析】
（1）【解法一】
，
设
①时，在上单调递减，
，不合题意，舍；
②当时，
（i）若，即时，当在上单调递增，，符合题意；
（ii）若，即时，当时，单调递减：当时，，单调递增；
，不合题意，舍；
综上：；
【解法二】
若,而,不合题意,故；
易知: ,,
设，，
若,即时, 在上单调递增,
,在上单调递增,
,符合题意；
若,即时, 在上是单调递增函数，
令,记，当时, ，
在上是单调递减函数,
,在上是单调递减函数，
,不合题意:
综上: ；
(2)【解法一】
,，
设,
若,,
在上单调递增,不合题意:当时, ，
在上只有一个根,不合题意:
当时, ,要使方程有两个实根，
只需即，
，，
在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增；
在处取得极大值,在处取得极小值,符合题意；
设，，，
在上是增函数,
.
【解法二】
，，
设,
若，，
在上单调递增,不合题意；
当时, ,
在上只有一个根,不合题意；
当时, ,要使方程有两个实根,
只需，即
，，，
在上单调递增，在单调递减，在上单调递增；
在处取最大值，在处取最小值，符合题意；
设，则，，
设，，
在单调递增，
.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
解:(1) 的普通方程为: ；
又,
即曲线的直角坐标方程为:
(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,
.
解法二:
，
，，
23.[选修4-5:不等式选]
解:(1)
当时,不等式为,；
当时,不等式为,不成立；
当时,不等式为,,
综上所述,不等式的解集为；
（2）解法一: ，
当且仅当，即时“”成立；
由可得：.
解法二：，
当时，；
当时，；
当时，
的最小值为，
，
当且仅当，即时“”成立；
由可得：.
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