高二数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题，则为（ ）
A． B．
C． D．
2.抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3. 过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
4.若变量满足约束条件，则的最大值为 （ ）
A． 1 B．2 C. 3 D．4
5.函数在点处的切线斜率为（ ）
A． 0 B．-1 C. 1 D．
6. “”是“方程表示双曲线”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：），可知此几何体的体积是 （ ）
A． B． C. D．
8. 圆与圆的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C. 外切 D．相离
9. 设是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．且，则 B．且，则
C. ，则 D．，则
10. 过点引直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）
A． B． C. D．
11.设分别是双曲线的左、右焦点．圆与双曲线的右支交于点，且，则双曲线离心率为（ ）
A． B． C. D．
12. 已知，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点中，若，则三角形面积为（ ）
A． B． C. 4 D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若曲线在点处的切线经过坐标原点，则 ．
14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高为6米（如图所示），路面设计是双向车道，车道总宽为米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽至少应是 米．
15.若在上是减函数，则的取值范围是 ．
16.已知圆和两点．若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知圆，直线．
（1）当为何值时，直线与圆相切；
（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程．
18. 如图，已知所在的平面，是的直径，是上一点，且是中点，为中点．
（1）求证：面；
（2）求证：面；
（3）求三棱锥的体积．
19. 已知函数，且在和处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）设函数，是否存在实数，使得曲线与轴有两个交点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20.已知命题直线和直线垂直；命题三条直线将平面划分为六部分．若为真命题，求实数的取值集合．
21.已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）证明：当时，；
（3）确定实数的值，使得存在当时，恒有．
22.椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴平行时，直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
一、选择题
1-5:BDCCC 6-10: ABABB 11、12：DA
二、填空题
13. 2 14. 32 15. 16.
三、解答题
17.解：将圆的方程化成标准方程为，
则此圆的圆心为，半径为2．
（1）若直线与圆相切，则有，解得；
（2）过圆心作，则根据题意和圆的性质，
得，解得或，故所求直线方程为或．
18.解：（1）证明：在三角形中，是中点，为中点，
∴，平面平面，∴面；
（2）证明：∵面，平面，∴，
又∵是的直径，∴，
又，∴面，
∵，∴面；
（3）∵，∴，
在中，∵，∴，
∴．
19.解：（1），
因为在和处取得极值，
所以和是的两个根，
则，解得，
经检验符合已知条件，故；
（2）由题意知，
令得，或，
随着变化情况如下表所示：
1
2
-
0
+
0
-
递减
极小值
递增
极大值
递减
由上表可知，
又取足够大的正数时，，
取足够小的负数时，，
因此，为使曲线与轴有两个交点，结合的单调性，
得或，
∴或，
即存在，且或时，曲线与轴有两个交点．
20.解：真：，，∴或，
真：∵与不平行，
则与平行或与平行或三条直线交于一点，
若与平行，由得，
若与平行，由得，
若三条直线交于一点，由，得，
代入得，
∴真，或或，
∵真，∴至少有一个为真，
∴的取值集合为．
21.解：（1），
由得解得，
故的单调递增区间是；
（2）令，则有，
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，，即当时，；
（3）由（2）知，当时，不存在满足题意，
当时，对于，有，则，从而不存在
满足题意，
当时，令，
则有，
由得，，
解得，
当时，，故在内单调递增，
从而当时，，即，
综上，的取值范围是．
22.解：（1）∵，∴，
椭圆方程化为：，由题意知，椭圆过点，
∴，解得，
所以椭圆的方程为：；
（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，
由得，，
设，
假设存在定点符合题意，∵，∴，
∴
，
∵上式对任意实数恒等于零，∴，即，∴，
当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，
显然此时，综上，存在定点满足题意．
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