杭州市余杭区2018-2019学年九年级上期末数学模拟试卷（含答案）浙教版.doc

浙江省杭州市余杭区2018-2019学年九年级（上）‎ 期末数学模拟试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）‎ ‎1．2cos60°=（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎2．下列事件中，属于必然事件的是（　　）‎ A．三角形的外心到三边的距离相等 ‎ B．某射击运动员射击一次，命中靶心 ‎ C．任意画一个三角形，其内角和是180° ‎ D．抛一枚硬币，落地后正面朝上 ‎3．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）‎ A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）‎ ‎4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（　　）‎ A．25° B．30° C．35° D．40°‎ ‎5．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　）‎ ‎①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1‎ ‎7．如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　）‎ A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④‎ ‎8．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC=30°，则AB的长为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎9．下列说法，正确的是（　　）‎ A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 ‎ B．与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 ‎ C．三角形一边上的中线将三角形分成周长相等的两个三角形 ‎ D．直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°‎ ‎10．函数y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（　　）‎ A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2‎ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）‎ ‎11．已知a、b、c满足，a、b、c都不为0，则=　 　．‎ ‎12．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么cosA=　 　．‎ ‎13．一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有　 　个．‎ ‎14．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是　 　．‎ ‎15．二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是　 　．‎ ‎16．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，E为BC边上一点，且BE=2，F为AB上一点，FG⊥AE分别交AE、CD于点P、G，以PC为直径的圆交线段FG于点Q，若PF=QG，则BF=　 　．‎ 三．解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎17．（6分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．‎ ‎（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为　 　；‎ ‎（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．‎ ‎18．（8分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠‎ A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=，求灯杆AB的长度．‎ ‎19．（8分）如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，‎ 求：（1）求AB的长．‎ ‎（2）求阴影部分的面积．‎ ‎20．（10分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．‎ ‎（1）求抛物线的函数解析式；‎ ‎（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．‎ ‎①求S关于m的函数表达式；‎ ‎②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AE=4，AB=6，AD：AC=2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．‎ ‎（1）请你直接写出图中所有的相似三角形；‎ ‎（2）求AG与GF的比．‎ ‎22．（12分）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y=x﹣1，它的相关函数为y=．‎ 已知二次函数y=，‎ ‎（1）直接写出已知二次函数的相关函数为y=　 　．已知点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，求a的值；‎ ‎（2）当点B（m，）在这个二次函数的相关函数的图象上时，求m的值；‎ ‎（3）当﹣3≤x≤7时，求函数y=﹣x2+6x+的相关函数的最大值和最小值．‎ ‎23．（12分）已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．‎ ‎（1）如图1，求证：KE=GE；‎ ‎（2）如图2，连接CABG，若∠FGB=∠ACH，求证：CA∥FE；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE=，AK=，求CN的长．‎ 参考答案 一．选择题 ‎1．解：2cos60°=2×=1．‎ 故选：A．‎ ‎2．解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；‎ B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；‎ C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；‎ D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎3．解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），‎ 故选：C．‎ ‎4．解：连接AD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°．‎ ‎∵∠ABD=55°，‎ ‎∴∠DAB=90°﹣55°=35°，‎ ‎∴∠BCD=∠DAB=35°．‎ 故选：C．‎ ‎5．解：∵点C数线段AB的黄金分割点，‎ ‎∴AC=AB，①正确；‎ AC=AB，②错误；‎ BC：AC=AC：AB，③正确；‎ AC≈0.618AB，④正确．‎ 故选：C．‎ ‎6．解：∵抛物线y=﹣5（x+1）2+3的开口向下，对称轴为直线x=﹣1，‎ 而B（2，y2）离直线x=﹣1的距离最远，A（﹣1，y1）点离直线x=﹣1最近，‎ ‎∴y2＜y3＜y1．‎ 故选：C．‎ ‎7．解：①和③相似，‎ ‎∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；‎ 由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，‎ ‎∴=，‎ ‎=，‎ 即==，‎ ‎∴两三角形的三边对应边成比例，‎ ‎∴①③相似．‎ 故选：C．‎ ‎8．解：延长BO交⊙O于点D，连接AD ‎∵BD是直径，‎ ‎∴∠BAD=90°，BD=4×2=8‎ ‎∵AB∥OC，∠BOC=30°，‎ ‎∴∠ABD=30°‎ 在Rt△ADB中，‎ ‎∵∠ABD=30°，‎ ‎∴AD=BD=4，‎ AB=‎ ‎=‎ ‎=4‎ 故选：D．‎ ‎9．解：A、等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合，错误；‎ B、与三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，正确；‎ C、三角形一边上的中线将三角形分成面积长相等的两个三角形，错误；‎ D、直角三角形中两锐角平分线形成的夹角是135°或45°，错误；‎ 故选：B．‎ ‎10．解：抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ 而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），‎ ‎∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴抛物线开口向下，‎ ‎∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．‎ 故选：A．‎ 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）‎ ‎11．解：设=k，‎ 可得：a=3k，b=4k，c=6k，‎ 把a=3k，b=4k，c=6k代入=，‎ 故答案为：；‎ ‎12．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，‎ ‎∴∠A=30°，‎ ‎∴cosA=．‎ 故答案是：．‎ ‎13．解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，‎ ‎∴白球所占的比例为=0.6，‎ 设盒子中共有白球x个，则=0.6，‎ 解得：x=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎14．解：∵OC⊥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC，‎ ‎∵∠AOC=2∠ABC=40°，‎ ‎∴∠AOB=2∠AOC=80°，‎ 故答案为80°．‎ ‎15．解：当y=0时，x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，‎ 故二次函数y=x2﹣3x+2的图象与x轴的交点坐标是（1，0），（2，0）．‎ 故答案为：（1，0），（2，0）．‎ ‎16．解：连接AC交FG于O，连接PC、CQ，延长AE交PC为直径的圆于H，连接CH．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠AFP=∠CGQ，‎ ‎∵PC是直径，‎ ‎∴∠CQP=∠H=90°，‎ ‎∴CQ⊥FG，‎ ‎∵AE⊥FG，‎ ‎∴∠APF=∠CQG=90°，‎ 在△APF和△CQG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOF≌△CQG，‎ ‎∴AP=CQ，‎ 在△AOP和△COQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOP≌△COQ，‎ ‎∴OA=OC，‎ 在Rt△ABE中，∵AB=8，BE=2，‎ ‎∴AE==2，‎ ‎∵△AEB∽△CEH，‎ ‎∴==，‎ ‎∴CH=，EH=，‎ ‎∴AH=，‎ ‎∵OA=OC，OP∥CH，‎ ‎∴AP=PH=，‎ ‎∵△APF∽△ABE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AF=，‎ ‎∴BF=AB﹣AF=8﹣=，‎ 故答案为 三．解答题（共7小题，满分66分）‎ ‎17．解：（1）∵在标有数字1、2、3的3个转盘中，奇数的有1、3这2个，‎ ‎∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为，‎ 故答案为：；‎ ‎（2）列表如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1，1）‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（2，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ ‎（3，3）‎ 由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是3的倍数的有3种，‎ 所以这两个数字之和是3的倍数的概率为=．‎ ‎18．解：过点B作BF⊥CE，交CE于点F，过点A作AG⊥AF，交BF于点G，则FG=AC=11．‎ 由题意得∠BDE=α，tan∠β=．‎ 设BF=3x，则EF=4x 在Rt△BDF中，∵tan∠BDF=，‎ ‎∴DF===x，‎ ‎∵DE=18，‎ ‎∴x+4x=18．‎ ‎∴x=4．‎ ‎∴BF=12，‎ ‎∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，‎ ‎∵∠BAC=120°，‎ ‎∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．‎ ‎∴AB=2BG=2，‎ 答：灯杆AB的长度为2米．‎ ‎19．解：（1）作OC⊥AB于C，‎ ‎∵弦AB所对的劣弧是圆周长的，‎ ‎∴∠AOB=120°，‎ ‎∴∠AOC=60°，‎ ‎∴AC=OA×sin∠AOC=2，OC=2，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴AB=2AC=4；‎ ‎（2）阴影部分的面积=﹣×4×2=π﹣4．‎ ‎20．解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得 ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8；‎ ‎（2）①∵OA=8，OC=6，‎ ‎∴AC==10，‎ 过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴QE=（10﹣m），‎ ‎∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；‎ ‎②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，‎ ‎∴当m=5时，S取最大值；‎ 在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，‎ ‎∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8的对称轴为x=，‎ D的坐标为（3，8），Q（3，4），‎ 当∠FDQ=90°时，F1（，8），‎ 当∠FQD=90°时，则F2（，4），‎ 当∠DFQ=90°时，设F（，n），‎ 则FD2+FQ2=DQ2，‎ 即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，‎ 解得：n=6±，‎ ‎∴F3（，6+），F4（，6﹣），‎ 满足条件的点F共有四个，坐标分别为 F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．‎ ‎21．解：（1）△ADG∽△ACF，△AGE∽△AFB，△ADE∽△ACB；‎ ‎（2）∵==， =，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠DAE=∠CAB，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴∠ADG=∠C，‎ ‎∵AF为角平分线，‎ ‎∴∠DAG=∠FAE ‎∴△ADG∽△ACF，‎ ‎∴==，‎ ‎∴=2．‎ ‎22．解：（1）二次函数y=的相关函数为y=．‎ ‎∵点A（﹣5，8）在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上，‎ ‎∴﹣（﹣5）a+3=8，‎ ‎∴a=1．‎ 故答案为：‎ ‎（2）当m＜0时，有m2﹣6m﹣=，‎ 解得：m1=3﹣，m2=3+（舍去）；‎ 当m≥0时，有﹣m2+6m+=，‎ 解得：m3=3﹣2，m4=3+2．‎ 综上所述：m的值为3﹣、3﹣2或3+2．‎ ‎（3）当﹣3≤x＜0时，y=x2﹣6x﹣=（x﹣3）2﹣，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=3，在﹣3≤x＜0上，y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=﹣3时，y取最大值，最大值为；‎ 当0≤x≤7时，y=﹣x2+6x+=﹣（x﹣3）2+，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=3，‎ ‎∴当x=3时，y取最大值，最大值为，当x=7时，y取最小值，最小值为﹣．‎ 综上所述：当﹣3≤x≤7时，所求函数的相关函数的最大值为，最小值为﹣．‎ ‎23．（1）证明：连接OG．‎ ‎∵EF切⊙O于G，‎ ‎∴OG⊥EF，‎ ‎∴∠AGO+∠AGE=90°，‎ ‎∵CD⊥AB于H，‎ ‎∴∠AHD=90°，‎ ‎∴∠OAG=∠AKH=90°，‎ ‎∵OA=OG，‎ ‎∴∠AGO=∠OAG，‎ ‎∴∠AGE=∠AKH，‎ ‎∵∠EKG=∠AKH，‎ ‎∴∠EKG=∠AGE，‎ ‎∴KE=GE．‎ ‎（2）设∠FGB=α，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠AGB=90°，‎ ‎∴∠AGE=∠EKG=90°﹣α，‎ ‎∴∠E=180°﹣∠AGE﹣∠EKG=2α，‎ ‎∵∠FGB=∠ACH，‎ ‎∴∠ACH=2α，‎ ‎∴∠ACH=∠E，‎ ‎∴CA∥FE．‎ ‎（3）作NP⊥AC于P．‎ ‎∵∠ACH=∠E，‎ ‎∴sin∠E=sin∠ACH==，设AH=3a，AC=5a，‎ 则CH==4a，tan∠CAH==，‎ ‎∵CA∥FE，‎ ‎∴∠CAK=∠AGE，‎ ‎∵∠AGE=∠AKH，‎ ‎∴∠CAK=∠AKH，‎ ‎∴AC=CK=5a，HK=CK﹣CH=4a，tan∠AKH==3，AK==a，‎ ‎∵AK=，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴a=1．AC=5，‎ ‎∵∠BHD=∠AGB=90°，‎ ‎∴∠BHD+∠AGB=180°，‎ 在四边形BGKH中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°，‎ ‎∴∠ABG+∠HKG=180°，∵∠AKH+∠HKG=180°，‎ ‎∴∠AKH=∠ABG，‎ ‎∵∠ACN=∠ABG，‎ ‎∴∠AKH=∠ACN，‎ ‎∴tan∠AKH=tan∠ACN=3，‎ ‎∵NP⊥AC于P，‎ ‎∴∠APN=∠CPN=90°，‎ 在Rt△APN中，tan∠CAH==，设PN=12b，则AP=9b，‎ 在Rt△CPN中，tan∠ACN==3，‎ ‎∴CP=4b，‎ ‎∴AC=AP+CP=13b，‎ ‎∵AC=5，‎ ‎∴13b=5，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴CN==4b=．‎