[考试时间：2018年10月31日8:00-10:00]
云南民族大学附属中学
2018年秋季学期期中考试高三数学(文)试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
命题人： 审题人：
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝
A．－2i B．2i C．－2 D．2
3．在等比数列{an}中，若a1b>0)的左、右焦点，点P(1，)在椭圆E上，且|PF1|＋|PF2|＝4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得，λ，成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）
已知函数f(x)＝ex－ax(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若a＝1，函数g(x)＝(x－m)f(x)－ex＋x2＋x在(2，＋∞)上为增函数，求实数m的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈．
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
23．（本题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f(x)＝|3x＋2|．
(1)解不等式|x－1|＜f(x)；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．
2016级高三(上)期中考试数学(答案)(文)
一．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
C
B
B
B
A
D
D
D
D
C
二．
题号
13
14
15
16
答案
6
2
100
三．
17．解 (1)因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，
所以2＋－6＝0，得＝2或＝－3(舍去)．
由正弦定理得＝＝2.
(2)由余弦定理得cosC＝＝.①
将＝2，即a＝2b代入①，得5b2－c2＝3b2，
得c＝b.
由余弦定理cosB＝，得
cosB＝＝，
则sinB＝＝.
18．解 (1)设“甲获得优惠券”为事件A．
因为假定指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是. 2分
顾客甲获得优惠券，是指指针停在20元或10元区域，所以甲获得优惠券面额大于0元的概率为
P(A)＝＋＝. 5分
(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B．
因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x元，第二次获得优惠券的金额为y元，则基本事件空间为
Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω
中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为. 8分
而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x＋y≥20，所以事件B中包含的基本事件有6个. 10分
所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为
P(B)＝＝. 12分
图3
19．(1)证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO，
∵四边形ABCD是菱形，
，
∵E为PC中点，
，
平面ABCD，
平面ABCD，
平面BED，∴平面平面ABCD． …………………………………（6分）
(2)解：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
．
平面ABCD，
，．
，，，
．
………………………………………………………………………………（12分）
20．解 (1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，
∴2a＝4，a＝2.
∴椭圆E：＋＝1.
将P(1，)代入可得b2＝3，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，＋＝＋＝；
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y＝k(x＋1)，
代入椭圆方程＋＝1，并化简得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
|AC|＝|x1－x2|
＝＝.
∵直线BD的斜率为－，
∴|BD|＝＝.
∴＋＝＋＝.
综上，2λ＝＋＝，
∴λ＝.
故存在常数λ＝，使得，λ，成等差数列．
21．解 (1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a.
当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在R上为增函数；
当a＞0时，由f′(x)＝0得x＝ln a，
则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，ln a)上为减函数，
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0，∴函数f(x)在(ln a，＋∞)上为增函数．
(2)当a＝1时，g(x)＝(x－m)(ex－x)－ex＋x2＋x，
∵g(x)在(2，＋∞)上为增函数，
∴g′(x)＝xex－mex＋m＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立，
即m≤在(2，＋∞)上恒成立，
令h(x)＝，x∈(2，＋∞)，
h′(x)＝＝.
令L(x)＝ex－x－2，L′(x)＝ex－1＞0在(2，＋∞)上恒成立，
即L(x)＝ex－x－2在(2，＋∞)上为增函数，
即L(x)＞L(2)＝e2－4＞0，∴h′(x)＞0，
即h(x)＝在(2，＋∞)上为增函数，
∴h(x)＞h(2)＝，
∴m≤.
所以实数m的取值范围是.
22．解 (1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π). 4分
(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t＝，t＝. 8分
故D的直角坐标为，
即. 10分
23．解 (1)依题设，得|x－1|＜|3x＋2|，
所以(x－1)2＜(3x＋2)2，则x＞－或x＜－，
故原不等式的解集为.4分
(2)因为m＋n＝1(m＞0，n＞0)，
所以＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时，等号成立．
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|
＝ 8分
则x＝－时，g(x)取得最大值＋a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4.
解得a≤.
又a＞0，因此0＜a≤. 10分
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