3 圆周运动
一、选择题(1～5题为单项选择题，6～9题为多项选择题)
1．如图1所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是( )
图1
A．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc运动
答案 A
2．如图2所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝的速度通过轨道最高点B，并以v2＝v1的速度通过最低点A。则在A、B两点轨道对摩托车的压力大小相差( )
图2
A．3mg B．4mg C．5mg D．6mg
解析 由题意可知，在B点，有FB＋mg＝m，解之得FB＝mg，在A点，有FA－mg＝m，解之得FA＝7mg，所以A、B两点轨道对车的压力大小相差6mg
。故选项D正确。
答案 D
3．如图3所示，小物体P放在水平圆盘上随圆盘一起转动，下列关于小物体所受摩擦力Ff的叙述正确的是( )
图3
A．Ff的方向总是指向圆心
B．圆盘匀速转动时Ff＝0
C．在物体与轴O的距离一定的条件下，Ff跟圆盘转动的角速度成正比
D．在转速一定的条件下，Ff跟物体到轴O的距离成正比
解析 物体随圆盘转动过程中，如果圆盘匀速转动，则摩擦力指向圆心，如果变速转动，则摩擦力的一个分力充当向心力，另一个分力产生切向加速度，摩擦力不指向圆心，A、B错误；根据公式Fn＝Ff＝mω2r可得在物体与轴O的距离一定的条件下，Ff跟圆盘转动的角速度的平方成正比，C错误；因为ω＝2πn，所以Ff＝m(2πn)2r，则Ff跟物体到轴O的距离成正比，D正确。
答案 D
4．质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮。如图4所示，皮带轮半径为r，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )
图4
A. B. C. D.
解析 要使物体通过终端时能水平抛出，则有mg＝，物体飞出时速度至少为
，由v＝ωr＝2πnr可得皮带轮的转速至少为n＝，选项A正确。
答案 A
5．如图5所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB＝l＞h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动。要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是( )
图5
A. B．π C. D．2π
解析 对小球，在水平方向有FTsin θ＝mω2R＝4π2mn2R，在竖直方向有FTcos θ＋FN＝mg，且R＝htan θ＝lsin θ，当球即将离开水平面时，FN＝0，转速n有最大值，联立解得n＝＝，则A正确。
答案 A
6．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关。还与火车在弯道上的行驶速度v有关。下列说法正确的是( )
A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
解析 火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G与轨道支持力FN的合力来提供，如图所示，则有mgtan θ＝，且tan θ≈sin θ＝，其中L为轨间距，是定值，有mg＝，通过分析可知A、D正确。
答案 AD
7．如图6所示，质量为m的物体，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
图6
A．受到的向心力为mg＋m
B．受到的摩擦力为μm
C．受到的摩擦力为μ(mg＋m)
D．受到的合力方向斜向左上方
解析 物体在最低点做圆周运动，则有FN－mg＝m，解得FN＝mg＋m，故物体受到的滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋m)，A、B错误，C正确；物体受到竖直向下的重力、水平向左的摩擦力和竖直向上的支持力(支持力大于重力)，故物体所受的合力斜向左上方，D正确。
答案 CD
8．(2018·宜昌联考)如图7所示，半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m和m的静止小球A、B，它们由长为2R
的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球A施加微小扰动。两球开始运动后，下列说法正确的是( )
图7
A．轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等
B．轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等
C．运动过程中A球速度的最大值为
D．当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为mg
解析 两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项A正确，B错误；A、B球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小(即A为最低点)时，线速度最大，则mg·2R＝·3mv2，最大速度v＝，选项C正确；A在最低点时，分别对A、B受力分析，FNA－2mg＝2m，FNB＋mg＝m，则FNA－FNB＝，选项D正确。
答案 ACD
9．如图8所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2。则( )
图8
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N
解析 根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3 m/s，水平分速度vx＝vytan 45°＝3 m/s，则B点与C点的水平距离为x＝vxt＝0.9 m，选项A正确，B错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有FNB＋mg＝m，vB＝vx＝3 m/s，解得FNB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C正确，D错误。
答案 AC
二、非选择题
10．如图9所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A和B。小球A和B的质量之比＝。当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，此时小球B恰好处于平衡状态。管子的内径粗细不计，重力加速度为g。试求：
图9
(1)拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ；
(2)小球A转动的周期。
解析 (1)设细绳的拉力为F，小球B处于平衡状态有
F＝mBg
在竖直方向上，小球A处于平衡状态，有Fcos θ＝mAg
解得cos θ＝＝
所以拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ＝60°
(2)对于小球A，细绳拉力的水平分量提供圆周运动的向心力，有
Fsin θ＝mA
r＝lsin θ
解得小球A的线速度为v＝
又T＝
则小球A转动的周期T＝π。
答案 (1)60° (2)π
11．(2018·湖南怀化三模)某高速公路的一个出口路段如图10所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点(通过B点前后速率不变)，再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下。已知轿车在A点的速度v0＝72 km/h，AB长L1＝150 m；BC为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的最大速度)v＝36 km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段，长为L2＝50 m，重力加速度g取10 m/s2。
图10
(1)若轿车到达B点速度刚好为v＝36 km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；
(2)为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；
(3)轿车从A点到D点全程的最短时间。
解析 (1)v0＝72 km/h＝20 m/s，AB长L1＝150 m，v＝36 km/h＝10 m/s，对AB段匀减速直线运动有v2－v＝－2aL1，代入数据解得a＝1 m/s2。
(2)汽车在BC段做圆周运动，静摩擦力提供向心力，有Ff＝m，为了确保安全，则须满足Ff≤μmg，解得R≥20 m，即Rmin＝20 m。
(3)设AB段时间为t1，BC段时间为t2，CD段时间为t3，全程所用最短时间为t。
L1＝t1·，而πR＝vt2，
L2＝t3，t＝t1＋t2＋t3，解得t＝23.14 s。
答案 (1)1 m/s2 (2)20 m (3)23.14 s
12．如图11所示，固定的水平桌面上有一水平轻弹簧，右端固定在a点，弹簧处于自然状态时其左端位于b点。桌面左侧有一竖直放置且半径R＝0.5 m的光滑半圆轨道MN，MN为竖直直径。用质量m＝0.2 kg的小物块(视为质点)将弹簧缓慢压缩到c点，释放后从弹簧恢复原长过b点开始小物块在水平桌面上的位移与时间的关系为x＝7t－2t2(m)。小物块在N点进入光滑半圆轨道，恰好能从M点飞出，飞出后落至水平桌面上的d点。取重力加速度g＝10 m/s2，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求：
图11
(1)d、N两点间的距离；
(2)b、N两点间的距离；
(3)物块在N点时对半圆轨道的压力。
解析 (1)由物块恰好从M点飞出知，在M点物块的重力恰好完全提供向心力，设其速度为vM，则mg＝m
vM＝ m/s
物块由M点水平飞出后，以初速度vM做平抛运动。
水平方向：xdN＝vMt
竖直方向：y＝2R＝gt2
代入数据解得xdN＝1 m
(2)从N到M，由机械能守恒定律得
mv＋2mgR＝mv
解得vN＝5 m/s
物块在bN段做匀减速运动，由x＝7t－2t2(m)知
初速度v0＝7 m/s，加速度a＝－4 m/s2
由v－v＝2axbN，得xbN＝3 m
(3)物块在N点时，设半圆轨道对物块的支持力为FN，由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得FN＝12 N
由牛顿第三定律得物块在N点对半圆轨道的压力大小为12 N，方向竖直向下。
答案 (1)1 m (2)3 m (3)12 N 方向竖直向下
微信/支付宝扫码支付