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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组) - 1 - 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题·练习用参考答案 （初中一年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 120 或 140 2 3 0.5 0.4a≤ ＜ 或者 0.4 0.5a≤ ＜ 264 11040 9 105 2 15 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】：方案二更划算. 解：方案二，第 4，5 年年初将之前的本息全部续存，到第 6 年年初时，共有本 息 5 4 310 (1 5%) 10 (1 5%) 10 (1 5%) 10.5 3.4756 36.5        ≈ ≈ （万元）， 提取 6 万元后仍有约36.5 6 30.5 （万元）可不断续存，以后每年可提取利息约 30.5 5% 1.525 （万元）． 在前期投入及回报一致的情况下，显然比方案一以后每年返1.5万元划算． 而且方案二还可以随时提取或部分提取30.5万元储蓄用于应急或者选择其 它更理想的理财方式，而方案一无此选择权． 综上所述，方案二更划算． 10. 【答案】156 厘米 【解答】如图，设原图是正 n 边形，其中C ，D 间 的顶点为 F ， 连 接 CF ， DF ，则 ( 2)180nCFD FDE n     ， 因为 CF FD ， 所以 180 180 2 CFDCDF FCD n         ， 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组) - 2 - 所以 3 180 135nCDE FDE FDCn        ， 解得 12n  ． 所以原本多边形是正 12 边形，周长为13 12=156 （厘米）． 11. 【答案】130. 【解答】 解答 1：设全班同学有 n 人，根据题意，3 25n 是25n 的倍数，则 30 25 n n   为整 数． 又 30 1 2 5 65 1 6512 5 2 2 5 2 2 5 nn n n n          ∵ ， 65 25n ∴ 是奇数， 25n∴ 最大为 65， n 最大为 35， ∴筐里最多共有3 35 25 130   个苹果． 解答 2：设全班同学有 人，根据题意， 是 的倍数，则 为整 数． 记 30 25 n kn   ， k 为正整数，则 30 (2 5)n k n   ，两边同乘 2，得到 2 60 2 (2 5)n k n   ， 2 60 2 5 65nn    ， 2 5 65 2 (2 5)n k n    ， (2 1)(2 5) 65 5 13kn     ． 2 1 1k 时， 2 5 65n ， 35n  ， 2 1 5k 时， 2 5 13n ， 9n  ， 2 1 13k  时， 2 5 5n， 5n  ， 2 1 65k  时， 2 5 1n， 3n  ， n 为 35 时，苹果数最多，此时筐里的苹果数为35 3 25 130   ． 12. 【答案】可以 【解答】操作如下： （1）经过 4 次操作可染成如下： 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组) - 3 - ， （2）继续操作 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 证明：注意到 22()xx，只需考虑非负有理数的平方和． 假设存在 3 个有理数 n m ， q p ， t k ，其中 m n p q k t， ， ， ， ， 是自然数， 且( ) 1mn， ，( ) 1pq， ，( ) 1kt， ，使得 2 2 215 ( ) ( ) ( )n q t m p k   ， 那么 2 2 2 2 2 215 ( ) ( ) ( )m n p npk mqk mpt   ， 即 2 2 2 215d a b c   ，其中 a b c d， ， ， 是自然数． （1）如果 d 为偶数，那么经过有限次如下步骤，可使得 d 为奇数． 假设 12dd ，若 a b c， ， 两奇一偶，则 2 2 2abc被 4 除余 2，而 215d 被 4 整除，矛盾！所以 a b c， ， 都是偶数，故令 12aa ， 12bb ， 12cc （ 1 1 1a b c， ， 都是自然数），所以 2 2 2 2 1 1 1 115d a b c   （其中 111a b c a b c     ）．如果 1d 还 是偶数，类似上述讨论，经过有限次后可得到奇数． （2）如果 d 为奇数，即 21dr（ r 是自然数）， 那么  2215 15(2 1) 15 4 ( 1) 1d r r r     ，即 215d 被 8 除余 7． 另一方面，若 a b c， ， 为三个奇数，那么 2 2 2abc被 8 除余 3；若 为两偶一奇，那么 2 2 2abc被 8 除余 1 或 5； 第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案(初中一年级组) - 4 - 矛盾！ 因此，假设不成立，故不存在 3 个有理数的平方和等于 15． 14. 【答案】不可能 【理由】如右图，可以将棋盘上的方格分为两类，灰色方格 和白色方格．由染色规则可知，两类方格的染色互不影响， 因此需要分别考虑． 首先考虑灰色方格．将只属于 1 个黑色方格的顶点数量 称为“边界顶点数”．由染色的规则可以知道，每染一个方 格，“边界顶点数”不会增加．将所有灰色方格都染黑，此 时的“边界顶点数”为 20．因此灰色方格中初始染为黑色的至少需要 5 个． 再考虑白色方格．将所有白色方格都染黑， 此时的“边界顶点数”为 16． 因 此白色方格中初始染为黑色的至少需要 4 个． 所以初始染色方格数为 8 时，无法将整个棋盘都染成黑 色．初始染色方格数为 9 时，如右图所示，将蓝色和红色方 格作为初始的染黑方格，可以将整个棋盘染黑．