中考复习训练 图形的相似
一、选择题
1.下列各组图形中不是位似图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如果两个相似多边形的相似比为1：5，则它们的面积比为（ ）
A. 1：25 B. 1：5 C. 1：2.5 D. 1：
3.在1：1000000的地图上，A，B两点之间的距离是5cm，则A，B两地的实际距离是（ ）
A. 5km B. 50km C. 500km D. 5000km
4.如图，为估算某河的宽度，在河岸边选定一个目标点A，在对岸取点B、C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一条直线上，若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m
5.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（ ）
A. △ACD B. △ADF C. △BDF D. △CDE
6.一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A. 30厘米、45厘米； B. 40厘米、80厘米； C. 80厘米、120厘米； D. 90厘米、120厘米
7.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A. ∠A=∠E且∠D=∠F B. ∠A=∠B且∠D=∠F C. ∠A=∠E且 D. ∠A=∠E且
8.如图，小芳在达网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域内离网5米的位置上，如果她的击球高度是2.4米，则应站在离网的（ ）
A. 15米处 B. 10米处 C. 8米处 D. 7.5米处
9.如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40mm，焦距是60mm，所拍摄的2m外的景物的宽CD为（ ）
A. 12m B. 3m C. m D. m
10.如图，已知∠C=90°，四边形CDEF是正方形，AC=15，BC=10，AF与ED交于点G．则EG的长为 ( )
A. B. C. D.
11.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1 ， S2 ， 则S1+S2的值为（ ）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：①=；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若=，则S△ABC=9S△BDF ， 其中正确的结论序号是（ ）
A. ①② B. ③④ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题
13.已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为________ cm．
14.如果x：y=1：2，那么 =________
15.如图，若l1∥l2∥l3 ， 如果DE=6，EF=2，BC=1.5，那么AC=________ ．
16.△ABC的3条边的长分别为6、8、10，与其相似的△DEF的最长边为15，则△DEF的最短边为________，△DEF的面积为________．
17. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，AC=10．四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的面积是 ________．
18.在 中， ，中线 相交于 ，且 ，则 ________.
19.如图，在△ABC中，点D，F，E分别在边AB，AC，BC上，且DF∥BC，EF∥AB，若AD=2BD，则 的值为________．
20.如图，正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在AC、DC上，若EC=BC，EF⊥BE，BF与EC交于点G，则 =________．
21.如图，已知第一象限内的点A在反比例函y=上，第二象限的点B在反比例函数y=上，且OA⊥OB，tanA=， 则k的值为________ ．
22.如上图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．则 =________．
三、解答题
23.如图，在△ABC中，EF∥BC且EF= BC=2cm，△AEF的周长为10cm，求梯形BCFE的周长．
24.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,且AD=,BD=2,求AB的值.
25.情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是 什么，∠CAC′ 等于多少．
问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．
26.已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，A（0，5），C（ ，0），AOCD为矩形，AE垂直于对角线OD于E，点F是点E关于y轴的对称点，连AF、OF．
（1）求AF和OF的长；
（2）如图②，将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF为△OA′F′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与线段AD交于点P，与线段OD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
D A B B C C C B D D B C
二、填空题
13. 4
14.
15. 6
16. 4；54
17. 25
18. 9
19.
20.
21. ﹣1
22.
三、解答题
23. 解：∵EF= BC=2cm， ∴BC=3cm，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC， = = ，
∴ = ，
∴△ABC周长=15（cm）
∴梯形BCFE的周长=△ABC的周长﹣△AEF的周长+2EF=15﹣10+4=9（cm）
24. 解;∵在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠C=∠CBD,
∴CD=BD=2,
∴AC=AD+CD=+2=3,
∵∠A是公共角,
∴△ABD∽△ACB,
∴AD：AB=AB：AC,
∴AB2=AD•AC=×3=6,
∴AB=．
25. 解：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，
∴∠CAC′=180°﹣∠C′AD﹣∠CAB=90°；
故答案为：AD，90．
②FQ=EP，
理由如下：
∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，
∴△AFQ≌△CAG，
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP．
③HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
又AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
又∵∠EHP=∠FHQ，∠EPH=∠FQH，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH（AAS）．
∴HE=HF．
26. （1）解：如图①
∵OA=5，AD=OC= ，
由勾股定理可求．OD= ，
∵AE×OD=AO×AD，
∴AE=4，
∴OE= =3，
∵点F是点E关于y轴的对称点，
∴AF=AE=4，OF=OE=3
（2）解：如图②
若PD=PQ，
易得∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，
∴∠3=∠A′，
∴OQ=OA′=5，
∴DQ= ，
过点P作PH⊥DQ，
∴ ，
∵cos∠1= ，
∴DP= ，
∴AP= ，
∴此时点P的坐标为（ ，5）；
如图③
∵点P在线段AD上，
∴∠1＞∠PDQ，
∴QP，QD不会相等；
如图③，
若DP=DQ，
易得，∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，
∴∠4=∠A′OQ，
∴A′Q=A′O=5，
∴F′Q=5﹣4=1，
∴OQ= ，
∴DP=DQ= ﹣ ，
∴AP=AD﹣DP= ﹣ ，
∴此时点P的坐标为：（ ﹣ ，5）
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