2017-2018学年青岛市市北区九年级上期末数学试卷含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（　　）‎ A．与窗户全等的矩形 B．平行四边形 C．比窗户略小的矩形 D．比窗户略大的矩形 ‎2．（3分）将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（　　）‎ A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7‎ ‎3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（　　）‎ A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2‎ ‎5．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3‎ ‎6．（3分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　）‎ A．100° B．120° C．115° D．135°‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（　　）个 ‎（1） （2） （3） （4）．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③m＞2，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．（3分）小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是　 　米．‎ ‎10．（3分）若=2，则=　 　．‎ ‎11．（3分）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：　 　．‎ ‎12．（3分）如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1m，从C处继续往前走3m达到E处时，测得影子EF的长为2m，已知小明的身高时1.5m，那么路灯A的高度AB等于　 　m．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎13．（3分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表：‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣3‎ ‎﹣4‎ ‎﹣3‎ ‎0‎ ‎…‎ 若点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，且3＜x1＜x2，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2，．（填写“＜”，“＞”或“=”）‎ ‎14．（3分）如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分78分）‎ ‎15．（4分）如图，有一块三角形的铁皮 求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．‎ ‎16．（8分）解方程 ‎（1）x2﹣2x﹣2=0‎ ‎（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎17．（6分）小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢；这个一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．‎ ‎18．（6分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）‎ ‎19．（6分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度γ（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系 ‎（1）求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）‎ ‎（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎20．（8分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行附近的B地，已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC的长（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈ ）‎ ‎21．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．‎ ‎（1）求证：四边形AEBD是矩形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．‎ ‎22．（10分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：‎ 销售量n（件）‎ n=50﹣x 销售单价m（元/件）‎ m=20+x ‎（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？‎ ‎（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；‎ ‎（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎23．（10分）探究活动一：‎ 如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是　 　．（不必证明，直接给出结论即可）‎ 探究活动二：‎ 如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；‎ 探究活动三：‎ 根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．‎ ‎24．（12分）如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）‎ ‎（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由 ‎（2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2017-2018学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1．（3分）太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是（　　）‎ A．与窗户全等的矩形 B．平行四边形 C．比窗户略小的矩形 D．比窗户略大的矩形 ‎【解答】解：太阳光照射一扇矩形的窗户，投在平行于窗户的墙上的影子的形状是与窗户全等的矩形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）将方程x2+8x+9=0配方后，原方程可变形为（　　）‎ A．（x+4）2=7 B．（x+4）2=25 C．（x+4）2=﹣9 D．（x+8）2=7‎ ‎【解答】解：x2+8x=﹣9，‎ x2+8x+16=7，‎ ‎（x+4）2=7．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：从上往下看，可以看到选项C所示的图形．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）如果两个相似五边形的面积和等于65cm2，其中一组对应边的长分别为3cm和4.5cm，那么较大五边形的面积为（　　）‎ A．26cm2 B．39cm2 C．20cm2 D．45cm2‎ ‎【解答】解：设较大五边形与较小五边形的面积分别是m，n．则=（）2=．‎ 因而n=m．‎ 根据面积之和是65cm2．得到m+m=65，‎ 解得：m=45，‎ 即较大五边形的面积为45cm2．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）‎ A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3‎ ‎【解答】解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），‎ 当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），‎ 则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，当△ACP∽△PDB时，∠APB的度数为（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．100° B．120° C．115° D．135°‎ ‎【解答】解：∵△ACP∽△PDB，‎ ‎∴∠A=∠BPD，‎ ‎∵△PCD是等边三角形，‎ ‎∴∠PCD=∠CPD=60°，‎ ‎∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，‎ ‎∴∠APC+∠BPD=60°，‎ ‎∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有（　　）个 ‎（1） （2） （3） （4）．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，‎ ‎∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，‎ ‎∴∠A=∠BCD，‎ ‎∴cosA===，‎ 故（1），（2），（4）正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则下列结论：①b2﹣4ac＞0；②ac＜0；③‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 m＞2，其中正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故①正确，‎ 由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知a＜0，c＞0，则ac＜0，故②正确，‎ 由二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可知该函数有最大值，最大值是y=2，‎ ‎∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则m＞2，故③正确，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎9．（3分）小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是　1.92　米．‎ ‎【解答】解：根据题意知，小红的身高为175﹣7=168（厘米），‎ 设小红的影长为x厘米 则=，‎ 解得：x=192，‎ ‎∴小红的影长为1.92米，‎ 故答案为：1.92．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）若=2，则=　2　．‎ ‎【解答】解：两边都乘（x﹣y），得 x=2x﹣2y，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 两边都减x，都加2y，‎ 得 ‎2y=x，‎ 两边都除以y，得 ‎=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，则可列方程：　2（1+x）+2（1+x）2=8　．‎ ‎【解答】解：∵去年对实验器材的投资为2万元，该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为x，‎ ‎∴今年的投资总额为2（1+x）；明年的投资总额为2（1+x）2；‎ ‎∵预计今明两年的投资总额为8万元，‎ ‎∴2（1+x）+2（1+x）2=8．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）如图，小明晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影长CD的长为1m，从C处继续往前走3m达到E处时，测得影子EF的长为2m，已知小明的身高时1.5m，那么路灯A的高度AB等于　6　m．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵=，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 当小明在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即=，‎ 当小明在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即==，‎ ‎∴=，‎ ‎∵CG=EH=1.5米，CD=1米，CE=3米，EF=2米，‎ 设AB=x，BC=y，‎ ‎∴=，‎ 解得y=3，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ 解得x=6米，‎ 即路灯A的高度AB=6米．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x和因变量y的对应值表：‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎12‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣3‎ ‎﹣4‎ ‎﹣3‎ ‎0‎ ‎…‎ 若点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在这个二次函数的图象上，且3＜x1＜x2，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2，．（填写“＜”，“＞”或“=”）‎ ‎【解答】解：∵当﹣3＜x＜1时，﹣4＜y＜12，y随x增大而减小；当1＜x＜3时，﹣4＜y＜0，y随x增大而增大，‎ ‎∴当3＜x1＜x2时，y1＜y2，‎ 故答案为：＜‎ ‎　‎ ‎14．（3分）如图，10个边长为1的正方形摆放在平面直角坐标系中，经过A（1，0）点的一条直线1将这10个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为　y=x﹣　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：将由图中1补到2的位置，‎ ‎∵10个正方形的面积之和是10，‎ ‎∴梯形ABCD的面积只要等于5即可，‎ ‎∴设BC=4﹣x，则[（4﹣x）+3]×3÷2=5，‎ 解得，x=，‎ ‎∴点B的坐标为（，3），‎ 设过点A和点B的直线的解析式为y=kx+b，‎ ‎，‎ 解得，，‎ 即过点A和点B的直线的解析式为y=，‎ 故答案为：y=．‎ ‎　‎ 三、解答题（共10小题，满分78分）‎ ‎15．（4分）如图，有一块三角形的铁皮 求作：以∠C为一个内角的菱形CEFG，使顶点F在AB边上 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：如图所示，菱形CEFD即为所求．‎ ‎　‎ ‎16．（8分）解方程 ‎（1）x2﹣2x﹣2=0‎ ‎（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2=0，‎ x2﹣2x+1=2+1，‎ ‎（x﹣1）2=3，‎ x﹣1=，‎ x=1，‎ x1=1，x2=1﹣，‎ ‎（2）（x+1）2=4（x﹣1）2．‎ ‎（x+1）2﹣4（x﹣1）2=0．‎ ‎（x+1）2﹣[2（x﹣1）]2=0．‎ ‎（x+1）2﹣（2x﹣2）2=0．‎ ‎（x+1﹣2x+2）（x+1+2x﹣2）=0．‎ ‎（﹣x+3）（3x﹣1）=0．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 x1=3，x2=．‎ ‎　‎ ‎17．（6分）小明和小刚做游戏一个不透明的布袋里装有4个大小、质地均相同的乒乓球，球上分别标有数字1，2，3，4，随机从布袋中摸出一个乒乓球，记下数字后放回布袋里，再随机从布袋中摸出一个乒乓球，若这两个乒乓球上的数字之和能被4整除则小明赢；若两个乒乓球上的数字之和能被5整除则小刚赢；这个一个对游戏双方公平的游戏吗？请列表格或画树状图说明理由．‎ ‎【解答】解：列表如下：‎ 共有16种可能，其中和能被4整除的有4种，能被5整除的有4种，‎ ‎∴P（小明胜）=，P（小刚胜）=，‎ ‎∵P（小明胜）=P（小刚胜）‎ ‎∴游戏是公平的．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．‎ ‎∵α+∠DAF=180°﹣∠BAD=180°﹣90°=90°，‎ ‎∠ADF+∠DAF=90°，‎ ‎∴∠ADF=α=36°．‎ 根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．‎ 在Rt△ABE中，sin，‎ ‎∴AB==40（mm）．‎ 在Rt△ADF中，cos∠ADF=，‎ ‎∴AD==60（mm）．‎ ‎∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200（mm）．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度γ（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度γ与时间x成反比例关系 ‎（1）求整改过程中硫化物的浓度γ与时间x的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）‎ ‎（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内（含15天）排污达标？为什么？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）分情况讨论：‎ ‎①当0≤x≤3时，‎ 设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；‎ 把A（0，10），B（3，4）代入得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴y=﹣2x+10；‎ ‎②当x＞3时，设y=，‎ 把（3，4）代入得：m=3×4=12，‎ ‎∴y=；‎ 综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=；‎ ‎（2）能；理由如下：‎ 令y==1，则x=12，‎ ‎3＜12＜15，‎ 故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行附近的B地，已知B地位于A地的北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏西30°方向，若要打通穿山隧道建高铁，求线段AC的长（结果保留整数）（参考数据：≈1.73，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈ ）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：如图，‎ 过点B作BD⊥AC于点D，‎ ‎∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，‎ ‎∴∠ABD=67°，‎ ‎∴AD=AB•sin67°=520×==480km，‎ BD=AB•cos67°=520×==200km．‎ ‎∵C地位于B地南偏东30°方向，‎ ‎∴∠CBD=30°，‎ ‎∴CD=BD•tan30°=200×=，‎ ‎∴AC=AD﹣CD=480﹣≈480﹣115=365（km）．‎ 答：A地到C地之间高铁线路的长为365km．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D、O分别为BC、AB的中点，连接并延长DO到点E，使AE∥BC．‎ ‎（1）求证：四边形AEBD是矩形；‎ ‎（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？证明你的结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵AE∥BC，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠EAO=∠DBO、∠AEO=∠BDO，‎ ‎∵O是AB的中点，‎ ‎∴AO=BO，‎ 在△AOE和△BOD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△AOE≌△BOD（AAS），‎ ‎∴AE=BD，‎ ‎∴四边形AEBD是平行四边形，‎ ‎∵AB=AC、D是BC中点，‎ ‎∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，‎ ‎∴四边形AEBD是矩形；‎ ‎（2）当∠BAC=90°时，‎ 理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是BC边的中线，‎ ‎∴AD=BD=CD，‎ ‎∵由（1）得四边形AEBD是矩形，‎ ‎∴矩形AEBD是正方形．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：‎ 销售量n（件）‎ n=50﹣x 销售单价m（元/件）‎ m=20+x ‎（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？‎ ‎（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；‎ ‎（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：（1）当m=25时，20+x=25，‎ 解得：x=10，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以第10天时该商品的销售单价为25元/件；‎ ‎（2）y=n（m﹣10）‎ ‎=（50﹣x）（20+x﹣10）‎ ‎=﹣x2+15x+500；‎ ‎（3）y=﹣x2+15x+500‎ ‎=﹣（x﹣15）2+，‎ ‎∴当x=15时，y最大=，‎ 答：这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是元．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）探究活动一：‎ 如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，线段ME与线段MF的数量关系是　ME=MF　．（不必证明，直接给出结论即可）‎ 探究活动二：‎ 如图2，将上题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变（矩形ABCD和矩形QMNP，∠M=∠B，M是矩形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E），探究并证明线段ME与线段MF的数量关系；‎ 探究活动三：‎ 根据前面的探索和图3，平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，若AB=mBC，∠M=∠B，M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E，请探究并证明线段ME与线段MF的数量关系．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解答】解：（1）ME=MF．‎ 理由：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，‎ 则∠MHF=∠MGE=90°，‎ ‎∵M是正方形ABCD的对称中心，‎ ‎∴AM平分∠BAD，‎ ‎∴MH=MG，‎ 在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，‎ ‎∴∠EMF=∠HMG=90°，‎ ‎∴∠FMH=∠EMG，‎ 在△MHF和△MGE中，‎ ‎∴△MHF≌△MGE（ASA），‎ ‎∴MF=ME，‎ 故答案为：MF=ME；‎ ‎（2）ME=mMF．‎ 理由：如图2，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，‎ 则∠MHE=∠MGF=90°，‎ 在矩形ABCD中，∠A=90°，‎ ‎∴在四边形GMHA中，∠GMH=90°，‎ 又∵∠EMF=90°，‎ ‎∴∠HME=∠GMF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵∠MGF=∠MHE=90°，‎ ‎∴△MGF∽△MHE，‎ ‎∴=，‎ 又∵M是矩形ABCD的对称中心，‎ ‎∴MG=BC，MH=AB，‎ ‎∵AB=mBC，‎ ‎∴==m，‎ ‎∴ME=mMF；‎ ‎（3）ME=mMF．‎ 理由：如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，‎ 则∠MHE=∠MGF=90°，‎ 在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，‎ ‎∴∠A+∠EMF=180°，‎ 又∵在四边形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，‎ ‎∴∠EMF=∠GMF，‎ 又∵∠MGF=∠MHE=90°，‎ ‎∴△MGF∽△MHE，‎ ‎∴=，‎ 又∵M是矩形ABCD的对称中心，‎ ‎∴MG=BC，MH=AB，‎ ‎∵AB=mBC，‎ ‎∴===m，‎ ‎∴ME=mMF．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎24．（12分）如图1，正方形ABCD中，AB=4cm，点P从点D出发沿DA向点A匀速运动，速度是1cm/s，同时，点Q从点A出发沿AB方向，向点B匀速运动，速度是2cm/s，连接PQ、CP、CQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2）‎ ‎（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥BD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由 ‎（2）设△PQC的面积为s（cm2），求s与t之间的函数关系式；‎ ‎（3）如图2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使S△QCM：S△PCM=3：5？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AB=BC=CD=AD=4，‎ 由运动知，DP=t，AQ=2t，‎ ‎∴AP=4﹣t，BQ=4﹣2t，‎ ‎（1）连接BD，如图1，‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB，‎ ‎∵PQ∥BD，‎ ‎∴∠ABD=∠AQP，∠APQ=∠ADB，‎ ‎∴∠APQ=∠AQP，‎ ‎∴AQ=AP，‎ ‎∴2t=4﹣t，‎ ‎∴t=；‎ ‎（2）S=S正方形ABCD﹣S△APQ﹣S△BCQ﹣S△CDP ‎=AB2﹣AQ×AP﹣BQ×BC﹣DP×CD ‎=16﹣×2t×（4﹣t）﹣×（4﹣2t）×4﹣t×4‎ ‎=16+t2﹣4t﹣8+4t﹣2t ‎=t2﹣2t+8（0＜t＜2）；‎ ‎（3）如图2，‎ 过点C作CN⊥PQ于N，‎ ‎∴S△MCQ=MQ×CN，S△MCP=MP×CN，‎ ‎∵S△QCM：S△PCM=3：5，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，‎ ‎∵点M是正方形ABCD的对角线AC上的一点，‎ ‎∴MG=MH，‎ ‎∴S△AMQ=AQ×MG，S△APM=AP×MH，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费