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第二十七章检测卷
时间：120分钟 满分：150分
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
得分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．观察下列每组图形，相似图形是( )
2．已知＝，那么的值为( )
A. B. C. D.
3．已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
第4题图 第5题图 第6题图 第7题图
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，则DE的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB为( )
A．3∶5∶4 B．1∶3∶2 C．1∶4∶2 D．3∶6∶5
6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为( )
A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
8．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
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第 8题图 第9题图 第10题图
9．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B. C. D.
10．如图，在锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，且MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC，得矩形MPQN.设MN的长为x，矩形MPQN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是( )
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．比例尺为1∶4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为________km.
12．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是____________(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．
第12题图 第14题图
13．将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见，如：我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值，这个比值是________．
14．将三角形纸片(△ABC)按如图折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，那么CF的长是__________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求x，y的值和α的大小．
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16．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B，已知AD＝8cm，BD＝4cm，求AC的长．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2)．
(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，相似比为1∶2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出点C2的坐标.
18．如图，AB是半圆O的直径，点C在圆弧上，D是的中点，OD与AC相交于点E.求证：△ABC∽△COE.
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
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19．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段CE的长度．
20．如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，连接BE交AD于点F，且AF＝2FD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△CEB的面积为9，求▱ABCD的面积．
六、(本题满分12分)
21．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.
(1)求证：△CAE∽△CBF；
(2)若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
七、(本题满分12分)
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22．已知正方形ABCD，点E在边CD上，点F在线段BE的延长线上，连接FC，且∠FCE＝∠CBE.
(1)如图①，当点E为CD边的中点时，求证：CF＝2EF；
(2)如图②，当点F位于线段AD的延长线上时，求证：＝.
八、(本题满分14分)
23．如图①，P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫作△ABC的费马点．
(1)如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°.
①求证： △ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，求PB的长；
(2)如图②，已知锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于点P，连接AP.
①求∠CPD的度数；
②求证：点P为△ABC的费马点．
参考答案与解析
1．D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B
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10． B 解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D，交MN于点E.∵在锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，∴＝＝12，解得AD＝4.由MN∥BC，MP⊥BC，NQ⊥BC，AD⊥BC，易得四边形MPDE为矩形，∴MP＝ED.∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，解得AE＝，∴ED＝AD－AE＝4－，∴MP＝4－，∴矩形MPQN的面积y＝MN·MP＝x＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，∴y关于x的函数是二次函数，其函数图象的顶点坐标是(3，6)．故选B.
11．120
12．∠B＝∠DEC(答案不唯一)
13.
14.或2 解析：由折叠可得DF＝CF.设DF＝CF＝x，则BF＝BC－CF＝4－x.以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则＝，即＝，解得x＝；②若∠BFD＝∠A，则＝，即＝，解得x＝2.综上所述，CF的长为或2.
15．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴＝＝，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°，(4分)∴x＝12，y＝，α＝∠C＝360°－∠A－∠B－∠D＝360°－62°－75°－140°＝83°.(8分)
16．解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝.(4分)∵AD＝8cm，BD＝4cm，∴AB＝12cm，(6分)∴AC＝＝4(cm)．(8分)
17．解：(1)△A1BC1如图所示．(4分)
(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．(8分)
18．证明：∵AB为半圆O的直径，∴∠BCA＝90°.∵D是的中点，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝90°＝∠BCA.(4分)∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCE，∴△ABC∽△COE.(8分)
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19．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，而∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE，(5分)∴＝.∵AB＝8，BC＝6，BD＝2，∴DC＝BC－BD＝4，∴＝，∴CE＝1.(10分)
20．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB.(4分)
(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2＝4，S△CEB∶S△DEF＝BC2∶FD2＝AD2∶FD2＝9.又∵△CEB的面积为9，∴△DEF的面积为1，△ABF的面积为4，∴▱ABCD的面积为9－1＋4＝12.(10分)
21．(1)证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∴＝＝，∠ACB＝∠ECF＝45°.(3分)∵∠ACB＝∠ACE＋∠BCE，∠ECF＝∠BCF＋∠BCE，∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF.(6分)
(2)解：由(1)可知△CAE∽△CBF，∴∠CAE＝∠CBF，＝＝.又∵AE＝2，∴＝，∴BF＝.(9分)∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2＋BF2＝12＋()2＝3，∴EF＝，∴CE＝EF＝.(12分)
22．证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC.∵点E为CD边的中点，∴CE＝CD＝BC.(2分)∵∠FCE＝∠CBE，∠F＝∠F，∴△FCE∽△FBC，∴＝.又∵CE＝BC，∴＝，∴CF＝2EF.(6分)
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴DE∥AB，AD∥BC，AD＝CD，∴＝，∴＝.(8分)∵AF∥BC，∴∠DFE＝∠CBE.∵∠FCE＝∠CBE，∴∠DFE＝∠FCE.又∵∠FDE＝∠CDF，∴△FDE∽△CDF，∴＝，∴＝.(12分)
23．(1)①证明：∵∠PAB＋∠PBA＝180°－∠APB＝60°，∠PBC＋∠PBA＝∠ABC＝60°，∴∠PAB＝∠PBC.又∵∠APB＝∠BPC＝120°，∴△ABP∽△BCP.(4分)
②解：由①可知△ABP∽△BCP，∴＝，∴PB2＝PA·PC＝12，∴PB＝2.(6分)
(2)①解：如图，∵△ABE和△ACD是正三角形，∴AE＝AB，AC＝AD，∠EAB＝∠5＝60°.∵∠EAC＝∠EAB＋∠BAC，∠BAD＝∠BAC＋∠5，∴∠EAC＝∠BAD，∴△ACE≌△ADB，∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4，∴∠CPD＝∠5＝60°.(10分)
②证明：由①可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△ADF∽△PCF，∴AF∶PF＝DF∶CF，∴AF∶DF＝PF∶CF.∵∠AFP＝∠CFD，∴△AFP∽△DFC，∴∠APF＝∠ACD＝60°.由①可知∠CPD＝60°，∴∠APC＝∠CPD＋∠APF＝120°，∠BPC＝180°－∠CPD＝120°，∴∠APB＝360°－∠BPC－∠APC＝120°，∴点P为△ABC的费马点．(14分)
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