黄冈中学2016届九年级上月考数学试卷（9月份）含答案解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年湖北省黄冈中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） ‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）‎ A．点P B．点Q C．点R D．点M ‎3．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，且∠AOC=70°，则∠A等于（　　）‎ A．145° B．140° C．135° D．120°‎ ‎4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=140°，那么∠A等于（　　）‎ A．70° B．110° C．140° D．220°‎ ‎5．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（　　）‎ A．12 B． C．8 D．10.5‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6．使式子有意义的x的取值范围是（　　）‎ A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2‎ ‎7．设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　　）‎ A．﹣4 B．0 C．4 D．2‎ ‎8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0‎ ‎9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（　　）‎ A．R=2r B．R= C．R=3r D．R=4r ‎10．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B．C点都在第一象限内，且AO=AC，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OC所在的直线相切，则t=（　　）‎ A．2﹣1 B．2+1 C．5 D．7‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，那么直线l与⊙O的关系是　　．‎ ‎12．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为　　m．‎ ‎13．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=　　cm．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．在边长为3cm、4cm、5cm的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为　　cm．‎ ‎15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为　　．‎ ‎16．如图，在直角坐标系中，点A（0，5），点P（2，3），将△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则点P'的坐标为　　．‎ ‎17．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为　　．‎ ‎18．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　　．‎ ‎　‎ 三、解答与证明（共66分）‎ ‎19．解方程：‎ ‎（1）（2x﹣1）2=9‎ ‎（2）（x+1）（x+2）=2x+4‎ ‎（3）3x2﹣4x﹣1=0‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（4）+=1．‎ ‎20．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=，求证：AB=AD．‎ ‎21．“六一”儿童节前，玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．第一、二批玩具每套的进价分别是多少元？‎ ‎22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PD=1，求⊙O的直径．‎ ‎23．某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．‎ ‎（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若某用户该月应交水费42元，则该月用水多少吨？‎ ‎24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E．‎ ‎（1）求证：AE=BE；‎ ‎（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎25．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．‎ ‎（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；‎ ‎（2）写出每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系式；‎ ‎（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；‎ ‎（3）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2015-2016学年湖北省黄冈中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．如图，⊙O的直径AB=4，点C在⊙O上，∠ABC=30°，则AC的长是（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．‎ ‎【分析】先根据圆周角定理证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的性质求出AC的长．‎ ‎【解答】解：∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°；‎ Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=4；‎ ‎∴AC=AB=2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　）‎ A．点P B．点Q C．点R D．点M ‎【考点】垂径定理．‎ ‎【分析】作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，根据弦的垂直平分线经过圆心，即可确定这条圆弧所在圆的圆心为Q点．‎ ‎【解答】解：连结BC，‎ 作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．‎ 故选B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎3．如图，以平行四边形ABCD的一边AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，且∠AOC=70°，则∠A等于（　　）‎ A．145° B．140° C．135° D．120°‎ ‎【考点】圆周角定理；平行四边形的性质．‎ ‎【分析】先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求出∠ABC，再用平行四边形的邻角互补，求出∠A．‎ ‎【解答】解：∵AB为直径作⊙O，若⊙O过点C，‎ ‎∴∠ABC=∠AOC=×70°=35°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A+∠ABC=180°，‎ ‎∴∠A=180°﹣∠ABC=145°，‎ 故选A ‎　‎ ‎4．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠α=140°，那么∠A等于（　　）‎ A．70° B．110° C．140° D．220°‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】根据周角可以计算360°﹣∠α=220°，再根据圆周角定理，得∠A=220°÷2=110°．‎ ‎【解答】解：∵∠1=360°﹣∠α=220°，‎ ‎∴∠A=∠1=220°÷2=110°．‎ 故选B．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎5．点P为⊙O内一点，且OP=4，若⊙O的半径为6，则过点P的弦长不可能为（　　）‎ A．12 B． C．8 D．10.5‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】过点P最长的弦是圆的半径，最短的弦是与OP垂直的弦，所以过点P的弦最长是12，最短是．‎ ‎【解答】解：如图所示，OP⊥AB，‎ 则AB是过点P最短的弦，‎ ‎∴AP=BP，‎ OA=6，OP=4，‎ 在Rt△AOP中，AP=，‎ 所以AB=．‎ 由于8＜，所以过点P的弦长不可能为8．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．使式子有意义的x的取值范围是（　　）‎ A．x≤1 B．x≤1且x≠﹣2 C．x≠﹣2 D．x＜1且x≠﹣2‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．‎ ‎【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意得，1﹣x≥0且2+x≠0，‎ 解得x≤1且x≠﹣2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．设方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，那么（α﹣2）（β﹣2）的值等于（　　）‎ A．﹣4 B．0 C．4 D．2‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=﹣1、α•β=﹣2，将（α﹣2）（β﹣2）展开后代入数据即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵方程x2+x﹣2=0的两个根为α，β，‎ ‎∴α+β=﹣1，α•β=﹣2，‎ ‎∴（α﹣2）（β﹣2）=α•β﹣2（α+β）+4=﹣2﹣2×（﹣1）+4=4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．‎ ‎【解答】解：∵△=b2﹣4ac=22﹣4×k×（﹣1）≥0，‎ 解上式得，k≥﹣1，‎ ‎∵二次项系数k≠0，‎ ‎∴k≥﹣1且k≠0．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（　　）‎ A．R=2r B．R= C．R=3r D．R=4r ‎【考点】弧长的计算．‎ ‎【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．‎ ‎【解答】解：扇形的弧长是： =，‎ 圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，‎ 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： =2πr，‎ ‎∴=2r，‎ 即：R=4r，‎ r与R之间的关系是R=4r．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B．C点都在第一象限内，且AO=AC，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OC所在的直线相切，则t=（　　）‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．2﹣1 B．2+1 C．5 D．7‎ ‎【考点】切线的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．‎ ‎【分析】先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．‎ ‎【解答】解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，‎ ‎∴经过t秒后，‎ ‎∴OA=1+t，‎ ‎∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴OC=1+t，‎ ‎∵⊙P恰好与OC所在的直线相切，‎ ‎∴PC⊥OC，‎ ‎∵AO=AC=OC，‎ ‎∴∠AOC=60°，∠COP=30°，‎ 在Rt△OPC中，‎ OC=OP•cos30°=×=6，‎ ‎∴1+t=6，‎ ‎∴t=5．‎ 故答案选C．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP=3，那么直线l与⊙O的关系是　相切或相交　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】据垂线段最短，得圆心到直线的距离小于或等于3，再根据数量关系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．‎ ‎【解答】解：根据题意可知，圆的半径r=3．‎ 因为OP=3，当OP⊥l时，直线和圆是相切的位置关系；‎ 当OP与直线l不垂直时，则圆心到直线的距离小于3，所以是相交的位置关系．‎ 所以L与⊙O的位置关系是：相交或相切，‎ 故答案为：相切或相交．‎ ‎　‎ ‎12．如图，有一圆弧形门拱的拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个门拱的半径为　　m．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】垂径定理的应用；勾股定理．‎ ‎【分析】连接OC，设这个门拱的半径为r，则OB=r﹣1，根据垂径定理得到BC=BD=×CD，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC2=BC2+OB2，然后即可得到关于r的方程，解方程即可求出r．‎ ‎【解答】解：如图，连接OC，‎ 设这个门拱的半径为r，则OB=r﹣1，‎ ‎∴BC=BD=×CD=×4=2m 在Rt△OBC中，BC=2m，OB=r﹣1‎ 由勾股定理得：OC2=BC2+OB2‎ 即r2=4+（r﹣1）2‎ ‎∴r=m．‎ 这个门拱的半径为m．‎ ‎　‎ ‎13．如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=　5　cm．‎ ‎【考点】垂径定理；矩形的性质．‎ ‎【分析】根据轴对称性易求CD长，AB=CD．‎ ‎【解答】解：∵DE=1，∴CF=1，‎ ‎∵EF=3，∴DC=5，‎ ‎∴AB=5．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎14．在边长为3cm、4cm、5cm的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为　1　cm．‎ ‎【考点】三角形的内切圆与内心．‎ ‎【分析】由三角形的三边长可判断出此三角形是直角三角形；已知了直角三角形三边的长，可直接利用直角三角形内切圆半径公式求出此圆的半径．‎ ‎【解答】解：根据勾股定理的逆定理，边长为3cm、4cm、5cm的三角形是直角三角形；‎ 若设该直角三角形的内切圆的半径为r，则有：‎ r==1．‎ 故此圆的半径为1cm．‎ ‎　‎ ‎15．如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，若∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为　9﹣3π　．‎ ‎【考点】扇形面积的计算；切线长定理．‎ ‎【分析】阴影部分的面积等于四边形OAPB的面积减去扇形AOB的面积．‎ ‎【解答】解：连接OA，OB，OP．‎ 根据切线长定理得∠APO=30°，‎ ‎∴OP=2OA=6，AP=OP•cos30°=3，∠AOP=60°．‎ ‎∴四边形的面积=2S△AOP=2××3×3=9；扇形的面积是=3π，‎ ‎∴阴影部分的面积是9﹣3π．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在直角坐标系中，点A（0，5），点P（2，3），将△AOP绕点O顺时针方向旋转，使OA边落在x轴上，则点P'的坐标为　（3，﹣2）　．‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转．‎ ‎【分析】如图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点F，证△POE≌△P′OF可得P′F=PE=3，OF=OE=2，从而可得点P′的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点P′作P′F⊥y轴于点F，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠PEO=∠P′FO=90°，‎ 由旋转可知∠POP′=90°，即∠POE+∠P′OA′=90°，OP=OP′，‎ 又∵∠P′OA′+∠P′OF=90°，‎ ‎∴∠POE=∠P′OF，‎ 在△POE和△P′OF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△POE≌△P′OF（AAS），‎ ‎∴P′F=PE=3，OF=OE=2，‎ ‎∴点P′坐标为（3，﹣2），‎ 故答案为：（3，﹣2）．‎ ‎　‎ ‎17．圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形圆心角的度数为　180°　．‎ ‎【考点】圆锥的计算．‎ ‎【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积等于其底面积的2倍，得到圆锥底面半径和母线长的关系，然后利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．‎ ‎【解答】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r，‎ ‎∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面积=×2πr×R=πRr=2×πr2，‎ ‎∴R=2r，‎ ‎∵=2πr=πR，‎ ‎∴n=180°．‎ 故答案为：180°．‎ ‎　‎ ‎18．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为　12π　．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【考点】轨迹；矩形的性质．‎ ‎【分析】如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=8，BC=6，‎ ‎∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC（BD）=10．‎ ‎∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=6，‎ ‎∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为： =3π．‎ 同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为： =4π．‎ 点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为： =5π．‎ 则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为：3π+4π+5π=12π．‎ 故答案是：12π．‎ ‎　‎ 三、解答与证明（共66分）‎ ‎19．解方程：‎ ‎（1）（2x﹣1）2=9‎ ‎（2）（x+1）（x+2）=2x+4‎ ‎（3）3x2﹣4x﹣1=0‎ ‎（4）+=1．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-公式法；解分式方程．‎ ‎【分析】（1）利用直接开平方法解方程得出答案；‎ ‎（2）直接利用提取公因式法分解因式进而解方程得出答案；‎ ‎（3）直接利用公式法解方程得出答案；‎ ‎（4）利用分式方程解法去分母进而解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）（2x﹣1）2=9‎ 则2x﹣1=±3，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3，‎ 解得：x1=2，x2=﹣1；‎ ‎（2）（x+1）（x+2）=2x+4‎ ‎（x+1）（x+2）﹣2（x+2）=0，‎ 则（x+2）（x+1﹣2）=0，‎ 故x+2=0或x﹣1=0，‎ 解得：x1=﹣2，x2=1；‎ ‎（3）3x2﹣4x﹣1=0‎ b2﹣4ac=16+12=28＞0，‎ 则x=，‎ 解得：x1=，x2=；‎ ‎（4）去分母得：3+x（x+3）=x2﹣9，‎ 解得：x=﹣4，‎ 经检验：x=﹣4是原方程的根．‎ ‎　‎ ‎20．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且=，求证：AB=AD．‎ ‎【考点】圆心角、弧、弦的关系．‎ ‎【分析】连接BD、CE．由已知条件得到，∴=，推出∠ACE=∠AEC，根据等腰三角形的性质得到AC=AE．于是得到结论．‎ ‎【解答】证明：连BD、CE．‎ ‎∵=，‎ ‎∴，∴=，‎ ‎∴∠ACE=∠AEC，‎ ‎∴AC=AE．‎ ‎∵=，‎ ‎∴BC=DE．‎ ‎∴AC﹣BC=AE﹣DE，‎ 即AB=AD．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　‎ ‎21．“六一”儿童节前，玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．第一、二批玩具每套的进价分别是多少元？‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元，根据“所购数量是第一批数量的1.5倍”得到等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数×1.5，据此列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：设第一批玩具每套的进价是x元，则第二批玩具每套的进价是（x+10）元，‎ 由题意，×1.5=，‎ 解得x=50，‎ 经检验x=50是分式方程的解，符合题意．‎ 答：第一批玩具每套的进价是50元，第二批玩具每套的进价是60元．‎ ‎　‎ ‎22．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若PD=1，求⊙O的直径．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理首先求得∠AOC的度数，然后根据等腰三角形的性质求得∠OAP=90°，从而求解；‎ ‎（2）根据直角三角形的性质，直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，即可求解．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OA，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴∠AOC=2∠B=120°，‎ 又∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA=30°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵AP=AC，‎ ‎∴∠P=∠ACP=30°，‎ ‎∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，‎ ‎∴OA⊥PA，‎ ‎∴PA是⊙O的切线．‎ ‎（2）设该圆的半径为x．‎ 在Rt△OAP中，∵∠P=30°，‎ ‎∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，‎ ‎∴1+x=2x，‎ 解得：x=1‎ ‎∴OA=PD=1，‎ 所以⊙O的直径为2．‎ ‎　‎ ‎23．某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．‎ ‎（1）分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式；‎ ‎（2）若某用户该月应交水费42元，则该月用水多少吨？‎ ‎【考点】一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式．‎ ‎【分析】先根据待定系数法求得OA和AB的解析式；再将y=42代入AB的解析式求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当0≤x≤15时，OA过点（0，0），（15，27），‎ 设y=kx，‎ ‎∴27=15k，‎ ‎∴k=，‎ ‎∴y=x（0≤x≤15）；‎ 当x≥15时，AB过点A（15，27），B（20，39.5），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 设y=k1x+b，‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴y=2.5x﹣10.5（x≥15）；‎ ‎（2）∵42＞27，‎ ‎∴令y=42，则42=2.5x﹣10.5，‎ 解得x=21，‎ 故该月用水21吨．‎ ‎　‎ ‎24．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，，BF与AD交于E．‎ ‎（1）求证：AE=BE；‎ ‎（2）若A，F把半圆三等分，BC=12，求AE的长．‎ ‎【考点】圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．‎ ‎【分析】（1）连AC，要证明AE=BE，只要证∠ABE=∠BAE；BC为⊙O的直径，得到∠BAC=90°，而AD⊥BC，可得∠BAD=∠ACB，由，得∠ACB=∠ABF，这样就有∠ABE=∠BAE；‎ ‎（2）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．‎ ‎【解答】解：（1）连AC，如图，‎ ‎∵BC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ 又∵AD⊥BC，‎ ‎∴∠BAD=∠ACB，‎ 又∵，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ACB=∠ABF，‎ ‎∴∠ABE=∠BAE，‎ ‎∴AE=BE；‎ ‎（2）∵A，F把半圆三等分，‎ ‎∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，‎ ‎∴∠BAD=30°，‎ 在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=BC=6，‎ 在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=AB=3，‎ Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，‎ ‎∴DE===，‎ ‎∴BE=2，‎ 所以AE=2．‎ ‎　‎ ‎25．某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完、该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图（1）中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图（2）中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．‎ ‎（1）写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；‎ ‎（2）写出每件产品A的销售利润y与上市时间t的关系式；‎ ‎（3）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【分析】（1）根据0≤t≤30、30＜t≤40两种情况，利用待定系数法分别求解可得；‎ ‎（2）分0≤t≤20、20＜t≤40两种情况，分别求解可得；‎ ‎（3）分0≤t≤20、20＜t≤30、30＜t≤40三种情况，根据总利润=每件产品利润×日销售量，分别求出其最大值，比较后即可得．‎ ‎【解答】解：（1）由图1可得，‎ 当0≤t≤30时，设市场的日销售量y=kt，‎ ‎∵点（30，60）在图象上，∴60=30k，‎ ‎∴k=2，即y=2t；‎ 当30＜t≤40时，设市场的日销售量y=k1t+b，‎ ‎∵点（30，60）和（40，0）在图象上，‎ ‎∴‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解得k1=﹣6，b=240．‎ ‎∴y=﹣6t+240．‎ 故y=；‎ ‎（2）由图②可得：‎ 当0≤t≤20时，每件产品的日销售利润为y=3t；‎ 当20＜t≤40时，每件产品的日销售利润为y=60；‎ 故y=；‎ ‎（3）①当0≤t≤20时，‎ y=3t•2t=6t2．‎ t=20时，y的最大值为2400（万元）；‎ ‎②当20＜t≤30时，‎ y=2t•60=120t．‎ t=30时，y的最大值为3600（万元）；‎ ‎③当30＜t≤40时，‎ y=60（﹣6t+240）‎ ‎=﹣360t+14400‎ ‎∵k=﹣360＜0，‎ ‎∴y随t的增大而减小．‎ ‎∴y＜﹣360×30+14400‎ 即y＜3600（万元）‎ ‎∴第30天取最大利润3600万元．‎ ‎　‎ ‎26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左则，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．‎ ‎（1）求这个二次函数的表达式；‎ ‎（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；‎ ‎（3）连结PO、PC，在同一平面内把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，请直接写出Q点坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；‎ ‎（2）有点B、C的坐标可得出直线BC的表达式，过P作PD∥y轴，交BC于D，设出点P的坐标，由此即可得出点D的坐标，根据三角形的面积以及三角形的面积公式即可得出S四边形ABPC关于a的二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解决最值问题；‎ ‎（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，根据菱形的性质即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点P和点P′的坐标，此题得解；‎ ‎（4）设点Q的坐标为（m，m﹣3），结合点O、C的坐标即可得出OC、OQ、QC的长度，分OC=OQ、OC=QC以及OQ=QC三种情况考虑，由此即可得出关于m的方程，解方程求出m的值，将其代入点Q的坐标中即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）将点B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c中，‎ 得：，解得：，‎ ‎∴该二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3．‎ ‎（2）∵点B（3，0），点C（0，﹣3），‎ ‎∴直线BC：y=x﹣3．‎ 过P作PD∥y轴，交BC于D，如图1所示．‎ 设P（a，a2﹣2a﹣3），则点D（a，a﹣3），‎ 当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴点A（﹣1，0）．‎ 则S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC，‎ ‎=•AB•|yC|+•OB•DP，‎ ‎=×4×3+×3×[a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）]，‎ ‎=﹣+，‎ ‎∵﹣＜0，0＜a＜3，‎ ‎∴当a=时，四边形ABPC的面积取最大值，最大值为．‎ ‎（3）取OC的中点E，过E作OC的垂线交抛物线于P，在PE的延长线上取EP′=PE，连接P′O、P′C，如图2所示．‎ ‎∵OE=CE，EP=EP′，OC⊥PP′，‎ ‎∴四边形POP′C为菱形．‎ 当y=﹣，则有﹣=x2﹣2x﹣3，‎ 解得：x1=（舍去），x2=，‎ ‎∴存在点P（，﹣），使四边形POP′C为菱形．‎ ‎（4）设点Q的坐标为（m，m﹣3），‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵O（0，0），C（0，﹣3），‎ ‎∴OC=3，PC==|m|，PO=．‎ ‎△QOC为等腰三角形分三种情况：‎ ‎①当OC=PC时，3=|m|，‎ 解得：m=±，‎ 此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；‎ ‎②当OC=PO时，3=，‎ 解得：m=3或m=0（舍去），‎ 此时点Q的坐标为（3，0）；‎ ‎③当PC=PO时，有|m|=，‎ 解得：m=，‎ 此时点Q的坐标为（，﹣）．‎ 综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．‎ ‎　‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎2016年12月8日 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费