由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
九年级二轮专题复习材料
专题九、三角形（含等腰三角形）、多边形问题
【近3年临沂市中考试题】
1．(2014•临沂)将一个n边形变成n+1边形，内角和将
（A）减少180°． （B）增加90°．
（C）增加180°． （D）增加360°．
2．(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ， A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是
（A） . (B) . (C) . (D) .
3． 一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一外角等于
(A) 108°. (B) 90°. (C) 72°. (D) 60°.
【知识点】
三角形的概念，边的关系、内角和定理、外角定理、内心、外心.
等腰三角形的性质定理及推论：即等边对等角、“三线合一”、等边三角形的各角都相等，并且都是60°；
等腰三角形的判定定理及推论：即等角对等边、三个角都相等的三角形是等边三角形、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的一半。
多边形内角和：（n-2）180°；多边形的外角和是360°；各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
【规律方法】
1．等腰三角形是复杂几何图形的基本构成部分，要学会将其分离出来。
2．“等边对等角”常用于证明两角相等，“等角对等边”是证明线段相等比较常用的方法。
3．重视“三线合一”这一性质的运用，常根据“三线合一”做底边上的高线（中线、顶角的平分线）。
4．在运用多边形的内角和公式与外角和的性质求值时，常与方程思想相结合。在解正多边形问题时，通常转化为等腰三角形或直角三角形来解决。
【中考集锦】
一、选择题
1．（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形
的周长为（ ）
A．
12
B．
15
C．
12或15
D．
18
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2．(2013年武汉)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，
则∠DBC的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
3．（2013四川南充）△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（ ）
A.70° B. 55° C. 50° D. 40°
4．（2014•威海）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的
延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，
下列结论中不正确的是（ ）
A．
∠BAC=70°
B．
∠DOC=90°
C．
∠BDC=35°
D．
∠DAC=55°
5．（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）
A．
4
B．
5
C．
6
D．
8
6．(2015年湖南衡阳，7，3分)已知等腰三角形的两边长分别为5和６，则这个等腰三角形的周长为
A.11 B.16 C.17 D.16或17
二、填空题
1．（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= ．
2．（2013•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为
3．（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是 ．
4．（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，
使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
5．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xoy中，A(0，2)，
B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形
是等腰三角形，则点C的个数是 。
6. (2015浙江省绍兴市，13，5分)由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。如图1，衣架杆OA=OB=18cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是 cm。
三、解答题
1.（2015•广东）如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，AC=4，求BE的长．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2. （2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
3.（2012吉林长春）如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，求弧所对的圆周角∠FPG的度数。
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
4、（2013•绥化压轴题）如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
【特别提醒】
1、 等腰三角形的“三线合一”及相应辅助线使用的频率较高。
2、 有关等腰三角形的选择及填空题常是双解题。
3、注意数形结合思想及方程思想在解多边形问题中的应用。
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
答案
【中考集锦】
选择题答案：1、B 2、A 3、D 4、B 5、C 6、D
填空题答案：1、650 2、5 3、12°4、 5、3.6 .18
解答题答案：
1、（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：设BE=x，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABE=60°，
∴AE=tan60°•x=x，
∵△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45°，
∴∠BCA=∠DCA=90°，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=x，
∴x+x=4，
∴x=2﹣2，
∴BE=2﹣2．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
2、证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
3、解：∵六边形OABCDE是正六边形，∴∠AOE=，即∠FOG=120°。
∴根据同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，∠FPG=∠FOG=60°。
4、解：（1）解方程x2﹣14x+48=0得
x1=6，x2=8．
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根，
∴OC=6，OA=8．
∴C（0，6）；
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．
由（1）知，OA=8，则A（8，0）．
∵点A、C都在直线MN上，
∴，
解得，，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+6；
（3）∵A（8，0），C（0，6），
∴根据题意知B（8，6）．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
∵点P在直线MNy=﹣x+6上，
∴设P（a，﹣a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（﹣a+6﹣6）2=64，
解得，a=，则P2（﹣，），P3（，）；
③当PB=BC时，（a﹣8）2+（﹣a+6﹣6）2=64，
解得，a=，则﹣a+6=﹣，∴P4（，﹣）．
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付