江苏2017年中考《第六章圆与圆有关的证明及计算》集训含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ 与圆有关的证明及计算巩固集训 ‎1. (2016上海)已知：⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD.‎ ‎(1)求证：AD＝CE；‎ ‎(2)如果点G在线段DC上(不与点D重合)，且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．‎ ‎　第1题图 ‎2. (2016沈阳)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.‎ ‎(1)求证：DF⊥AC；‎ ‎(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求的长．(结果保留π)‎ ‎　第2题图 ‎3. (2016盐城射阳县二模)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，D是劣弧AC上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E.‎ ‎(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；‎ ‎(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋，求⊙O的面积．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　第3题图 ‎4. (2016南京一模)如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.‎ ‎(1)求证：∠CAD＝∠BAC；‎ ‎(2)如图②，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在点G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．‎ ‎　第4题图 ‎5. (2016南通启东市二模)如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝120°，弦AB＝2，点M是上任意一点(与端点A、B不重合)，ME⊥AB于点E，以点M为圆心、ME长为半径作⊙M，分别过点A、B作⊙M的切线，两切线相交于点C.‎ ‎(1)求的长；‎ ‎(2)试判断∠ACB的大小是否随点M的运动而改变？若不变，请求出∠ACB的大小；若改变，请说明理由．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎　第5题图 ‎6. (2016曲靖)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E.‎ ‎(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半径．‎ ‎(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F＝2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．‎ ‎　第6题图 ‎7. (2016呼和浩特)如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC.‎ ‎(1)求证：∠FBC＝∠FCB；‎ ‎(2)已知FA·FD＝12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA＝2，求CD的长．‎ ‎　第7题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎8. (2016昆明)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.‎ ‎(1)求证：CF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠F＝30°，EB＝4，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．‎ ‎　第8题图 ‎9. (2016徐州模拟)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，点D是BC边上一动点，以AD为直径的⊙O分别交AB、AC于点E、F.2‎ ‎(1)如图①，若∠AEF＝∠C，求证：BC与⊙O相切；‎ ‎(2)如图②，若∠BAC＝90°，BD长为多少时，△AEF与△ABC相似．‎ ‎　 第9题图 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎10. (2016包头)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.‎ ‎(1)求证：AE＝BF；‎ ‎(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF；‎ ‎(3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．‎ ‎　第10题图 答案 ‎1. 证明：(1)在⊙O中，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴AB＝AC，‎ ‎∵∠B＝∠ACB，‎ ‎∵AE∥BC，‎ ‎∴∠EAC＝∠ACB，‎ ‎∴∠B＝∠EAC，‎ 在△ABD和△CAE中，‎ ，‎ ‎∴△ABD≌△CAE(SAS)，‎ ‎∴AD＝CE；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ (2)如解图，连接AO并延长，交BC于点H，在BC上找一点G，连接AG，使AG＝AD，‎ 第1题解图 ‎∵＝，OA为半径，‎ ‎∴AH⊥BC，‎ ‎∴BH＝CH，‎ ‎∵AD＝AG，‎ ‎∴DH＝HG，‎ ‎∴BH－DH＝CH－GH，即BD＝CG，‎ ‎∵BD＝AE，‎ ‎∴CG＝AE，‎ ‎∵CG∥AE，‎ ‎∴四边形AGCE是平行四边形．‎ ‎2. (1)证明：如解图，连接OD，‎ 第2题解图 ‎∵DF是⊙O的切线，D为切点，‎ ‎∴OD⊥DF，‎ ‎∴∠ODF＝90°，‎ ‎∵BD＝CD，OA＝OB，‎ ‎∴OD是△ABC的中位线，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠CFD＝∠ODF＝90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴DF⊥AC；‎ ‎(2)解：∵∠CDF＝30°，‎ 由(1)得∠ODF＝90°，‎ ‎∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ ‎∴∠BOD＝60°，‎ ‎∴的长＝＝＝π.‎ ‎3. (1)证明：∵A，B，C，D四点共圆，‎ ‎∴∠ABC＋∠ADC＝180°，‎ 又∵∠ADC＋∠CDF＝180°，‎ ‎∴∠CDF＝∠ABC，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB，‎ ‎∵∠ADB＝∠ ACB，‎ ‎∴∠ADB＝∠CDF，‎ ‎∵∠ADB＝∠EDF，‎ ‎∴∠EDF＝∠CDF，‎ 即AD的延长线DF平分∠CDE；‎ ‎(2)解：如解图，连接AO并延长交BC于点H，交⊙O于点M，连接OC，‎ 第3题解图 ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AH⊥BC，‎ ‎∴∠OAC＝∠OAB＝BAC＝×30°＝15°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠COH＝2∠OAC＝30°，‎ 设⊙O的半径为r，‎ 在Rt△OCH中，‎ 则OH＝OC·cos30°＝r，‎ ‎∵△ABC中BC边上的高为2＋，‎ ‎∴AH＝OA＋OH＝r＋r＝2＋，‎ 解得r＝2.‎ ‎∴S＝πr2＝4π.‎ ‎∴△ABC的外接圆的面积为4π.‎ ‎4. (1)证明：如解图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，易得∠OCA＝∠OAC，‎ ‎∵AD⊥EF，OC⊥EF，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴∠OCA＝∠CAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠OAC，‎ 即∠CAD＝∠BAC；‎ 第4题解图 ‎(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.‎ 证明如下：‎ 如解图②，连接BG.‎ ‎∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，‎ ‎∴∠ABG＋∠ACG＝180°，‎ ‎∵D，C，G三点共线，‎ ‎∴∠ACD＋∠ACG＝180°，‎ ‎∴∠ACD＝∠ABG，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AGB＝90°，‎ ‎∴∠BAG＋∠ABG＝90°，‎ ‎∵AD⊥EF，‎ ‎∴∠CAD＋∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAG.‎ ‎5. 解：(1)过点O作OH⊥AB于点H，如解图，‎ 则AH＝AB＝，‎ ‎∵∠AOB＝120°，‎ ‎∴∠OAH＝30°，‎ ‎∴AO＝＝2，‎ ‎∴l＝＝；‎ 第5题解图 ‎(2)如解图，连接AM、BM，‎ ‎∵ME⊥AB，‎ ‎∴AB是⊙M的切线，‎ ‎∵AC、BC是⊙M的切线，‎ ‎∴⊙M是△ABC的内切圆，‎ ‎∴AM、BM是∠CAB、∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝180°－(∠CAB＋∠ABC)＝180°－(180°－∠ACB)，‎ ‎∴∠AMB＝90°＋∠ACB，‎ ‎∵∠AOB＝120°，‎ ‎∴∠AMB＝120°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ACB＝60°，‎ 即∠ACB的大小不变，为60°.‎ ‎6. (1)解：如解图，连接OE，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r.‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB＝＝＝12，‎ 第6题解图 ‎∵⊙O与BC边相切于点E，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∴∠OEB＝∠CAB＝90°，‎ 又∵∠B＝∠B，‎ ‎∴△BOE∽△BCA，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，解得r＝.‎ 所以⊙O的半径为.‎ ‎(2)证明：分别连接OE、OF，如解图，‎ ‎∵BC⊥OE，‎ ‎∴∠B＋∠BEF＝∠OEF＋∠BEF，‎ ‎∴∠B＝∠OEF，‎ ‎∵OE＝OF，‎ ‎∴∠OFE＝∠OEF＝∠B，‎ ‎∵∠F＝2∠B，‎ ‎∴∠OFA＝∠AFE－∠OFE＝2∠B－∠B＝∠B，‎ 又∵OA＝OF，‎ ‎∴∠OAF＝∠OFA＝∠B，‎ ‎∴AF∥CB，‎ ‎∵CA⊥AB，EF⊥AB，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CA∥EF，‎ ‎∴四边形AFEC是平行四边形．‎ 连接OC，如解图，‎ ‎∵AO＝EO，∠CAO＝∠CEO＝90°，CO＝CO，‎ ‎∴Rt△AOC∽Rt△EOC.‎ ‎∴CA＝CE，‎ ‎∴平行四边形AFEC是菱形．‎ ‎7. (1)证明：∵四边形AFBC是圆的内接四边形，‎ ‎∴∠FBC＋∠FAC＝180°，‎ 又∵∠CAD＋∠FAC＝180°，‎ ‎∴∠FBC＝∠CAD，‎ ‎∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，‎ ‎∴∠EAD＝∠CAD＝∠FBC，‎ 又∵∠EAD＝∠FAB，‎ ‎∴∠FAB＝∠CAD＝∠FBC，‎ 又∵∠FAB＝∠FCB，‎ ‎∴∠FBC＝∠FCB.‎ ‎(2)解：由(1)知∠FBC＝∠FCB，‎ 又∵∠FCB＝∠FAB，‎ ‎∴∠FAB＝∠FBC，‎ 又∵∠BFA＝∠BFD，‎ ‎∴△AFB∽△BFD，‎ ‎∴＝，‎ 即BF2＝FA·FD＝12，‎ 解得：BF＝2，‎ ‎∵FA＝2，‎ ‎∴FD＝6，AD＝4，‎ ‎∵AB为圆的直径，‎ ‎∴∠BFA＝∠BCA＝90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴tan∠FBA＝＝＝，‎ ‎∴∠FBA＝30°，‎ 由△AFB∽△BFD得，∠FBA＝∠FDB，‎ ‎∴∠FDB＝30°，‎ ‎∴CD＝AD·cos30°＝2.‎ ‎8. (1)证明：如解图，连接OD，‎ 第8题解图 ‎∵四边形OBEC是平行四边形，‎ ‎∴OC∥BE，‎ ‎∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB，‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠OBD＝∠ODB，‎ ‎∴∠DOC＝∠AOC，‎ 在△COD和△COA中，‎ ，‎ ‎∴△COD≌△COA(SAS)，‎ ‎∴∠CAO＝∠CDO＝90°，‎ ‎∴CF⊥OD，‎ ‎∵OD是⊙O的半径，‎ ‎∴CF是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，‎ ‎∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，‎ ‎∵OD＝OB，‎ ‎∴△OBD是等边三角形，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠DBO＝60°，‎ ‎∵∠DBO＝∠F＋∠FDB，‎ ‎∴∠FDB＝∠EDC＝30°，‎ ‎∵EC∥OB，‎ ‎∴∠E＝180°－∠OBD＝120°，‎ ‎∴∠ECD＝180°－∠E－∠EDC＝30°，‎ ‎∴EC＝ED＝BO＝DB，‎ ‎∵EB＝4，‎ ‎∴OB＝OD＝OA＝2，‎ 在Rt△AOC中，∵∠OAC＝90°，OA＝2，∠AOC＝60°，‎ ‎∴AC＝OA·tan60°＝2，‎ ‎∴S阴＝2S△OAC－S扇形OAD＝2××2×2－＝4－.‎ ‎9. (1)证明：如解图，连接DF，在⊙O中∠AEF＝∠ADF，‎ 第9题解图 又∵∠AEF＝∠C，‎ ‎∴∠ADF＝∠C，‎ ‎∵AD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFD＝90°，‎ ‎∴∠CFD＝90°，‎ ‎∴∠C＋∠CDF＝90°，‎ ‎∴∠ADF＋∠CDF＝90°，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ 又∵AD为⊙O的直径，‎ ‎∴BC与⊙O相切；‎ ‎(2)解：分两种情况：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎①若△AEF∽△ACB，则∠AEF＝∠C，由(1)知BC与⊙O相切，‎ ‎∴设BD＝x，‎ ‎∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，‎ ‎∴由勾股定理得BC＝10，‎ ‎∴DC＝10－x，‎ ‎∴根据勾股定理得＝，‎ 解得x＝3.6，‎ ‎∴BD＝3.6；‎ ‎②若△AEF∽△ABC，‎ ‎∴∠AEF＝∠B，‎ ‎∴EF∥BC，‎ ‎∵∠EAF为直角，‎ ‎∴EF为直径，‎ ‎∴△AEO∽△ABD，‎ ‎∴＝＝＝，‎ ‎∴BD＝2EO＝EF，‎ ‎∵△AEF∽△ABC，‎ ‎∴＝＝，‎ 即BD＝2EO＝EF＝BC＝5.‎ ‎10. (1)证明：如解图，连接BD，‎ 第10题解图 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，‎ AB＝BC，‎ ‎∴∠A＝∠C＝45°，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，‎ ‎∴AD＝DC＝BD＝AC，∠CBD＝∠C＝45°，‎ ‎∴∠A＝∠FBD，‎ ‎∵DF⊥DG，‎ ‎∴∠FDG＝90°，‎ ‎∴∠FDB＋∠BDG＝90°，‎ ‎∵∠EDA＝∠BDG＝90°，‎ ‎∴∠EDA＝∠FDB，‎ 在△AED和△BFD中，‎ ，‎ ‎∴△AED≌△BFD(ASA)，‎ ‎∴AE＝BF；‎ ‎(2)证明：如解图，连接EF，BG，‎ ‎∵△AED≌△BFD，‎ ‎∴DF＝DE，‎ ‎∵∠EDF＝90°，‎ ‎∴△EDF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DEF＝45°，‎ ‎∵∠G＝∠A＝45°，‎ ‎∴∠G＝∠DEF，‎ ‎∴GB∥EF；‎ ‎(3)解：∵AE＝BF，AE＝1，‎ ‎∴BF＝1，‎ 在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，‎ ‎∴根据勾股定理得：EF2＝EB2＋BF2，‎ ‎∵EB＝2，BF＝1，‎ ‎∴EF＝＝，‎ ‎∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴cos∠DEF＝，‎ ‎∵EF＝，‎ ‎∴DE＝×＝，‎ ‎∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，‎ ‎∴△GEB∽△AED，‎ ‎∴＝，即GE·ED＝AE·EB，‎ ‎∴·GE＝2，即GE＝，‎ 则GD＝GE＋ED＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费