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二次函数
一、选择题
1．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；
②图象的顶点一定在第四象限；
③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧．
以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016
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的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题
5．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0；
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，y随着x的增大而增大．
正确的说法有 ．（请写出所有正确的序号）
6．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为 ．
三、解答题
7．已知：抛物线y=x2+（b﹣1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）
8．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
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9．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲=﹣x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙=﹣+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．
10．附加题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．
11．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式；
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（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
13．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
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（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
14．如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．
（1）求m的值；
（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．
15．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
[注：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．]．
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16．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．
17．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．
（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y2与x的函数关系；
（3）在图2中，设y1与y2的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别与y1、y2的图象交于点E、F．求△OMF面积的最大值．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②求△OMF面积的最大值．
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18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是 ，点C的坐标是 ；
（2）当t= 秒或 秒时，MN=AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
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二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．
【解答】解：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，
一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正确；
由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=﹣＞0，且a＞0，则b＜0，
但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．
故选：C．
【点评】应该识记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
2． 如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）
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A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【分析】主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力．
【解答】解：根据题意和图形可知：y=x2，0＜x≤10，所以y与x之间函数关系的大致图象是．
故选D．
【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
3．已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：
①图象的开口一定向上；
②图象的顶点一定在第四象限；
③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧．
以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
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【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵a＞0，故①正确；
∵顶点横坐标﹣＜0，故顶点不在第四象限，②错误，
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵c＜0，
∴抛物线与y轴负半轴相交，
故与x轴交点，必然一个在正半轴，一个在负半轴，故③正确．
故选C．
【点评】本题考查二次函数的草图的确定与二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
4．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】将（m，0）代入y=x2﹣x﹣1可得m2﹣m=1，直接整体代入代数式m2﹣m+2016求解．
【解答】解：将（m，0）代入y=x2﹣x﹣1．得：m2﹣m﹣1=0，即m2﹣m=1
∴m2﹣m+2016=1+2016=2017．
故选B．
【点评】本题不必求出m的值，对m2﹣m整体求解即可轻松解答．
二、填空题
5．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0；
②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；
③a+b+c＞0；
④当x＞1时，y随着x的增大而增大．
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正确的说法有 ①②④ ．（请写出所有正确的序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
【分析】①根据图象开口向上得到a＞0；由与y轴交点在负半轴得到c＜0，即ac＜0；
②由抛物线与x轴的交点横坐标分别是﹣1，3，可以得到方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；
③当x=1时，y＜0，可以得到a+b+c＜0；
④由于对称轴是x=1，所以得到x＞1时，y随着x的增大而增大．
【解答】解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交点在负半轴，
故c＜0，
即ac＜0；
②∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是﹣1，3，
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=3；
③当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
④对称轴是x=1，
∴x＞1时，y随着x的增大而增大，
故正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【点评】此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=﹣1时对应的y值．
6．（2008•白银）抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为 （0，﹣4） ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
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【分析】y轴上点的坐标横坐标为0，纵坐标为y=﹣4，坐标为（0，﹣4）．
【解答】解：把x=0代入得，y=﹣4，即交点坐标为（0，﹣4）．
【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0．
三、解答题
7．已知：抛物线y=x2+（b﹣1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）因为抛物线y=x2+（b﹣1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b），所以将点P代入解析式即可求得；
（2）因为b=3，所以求得c的值，即可求得抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点坐标；
（3）解此题的关键是首先确定函数的草图，即开口方向是向上，对称轴为x=，在y轴的左侧，根据题意确定点B的坐标；因为点P与点B关于对称轴对称，所以确定对称轴方程，从而求得b、c的值，求得函数解析式．
【解答】解：（1）依题意得：（﹣1）2+（b﹣1）（﹣1）+c=﹣2b，
∴b+c=﹣2．
（2）当b=3时，c=﹣5，
∴y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，
∴抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣6）．
（3）当b＞3时，抛物线对称轴x=
∴对称轴在点P的左侧
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因为抛物线是轴对称图形，P（﹣1，﹣2b）且BP=2PA
∴B（﹣3，﹣2b）
∴=﹣2，
∴b=5
又∵b+c=﹣2，
∴c=﹣7
∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x﹣7．
解法2：当b＞3时，﹣b＜﹣3，1﹣b＜﹣2，则x=﹣=＜﹣1，
∴对称轴在点P的左侧，因为抛物线是轴对称图形
∵P（﹣1，﹣2b），且BP=2PA，
∴B（﹣3，﹣2b）
∴（﹣3）2﹣3（b﹣1）+c=﹣2b
又∵b+c=﹣2，
解得b=5，c=﹣7
这条抛物对应的二次函数关系式为y=x2+4x﹣7．
解法3：（3）∵b+c=﹣2，
∴c=﹣b﹣2
∴y=x2+（b﹣1）x﹣b﹣2
BP∥x轴，
∴x2+（b﹣1）x﹣b﹣2=﹣2b
即x2+（b﹣1）x+b﹣2=0
解得：x1=﹣1，x2=﹣（b﹣2），即xB=﹣（b﹣2）
由BP=2PA，
∴﹣1+（b﹣2）=2×1
∴b=5，c=﹣7
∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x2+4x﹣7．
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【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的对称性，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．
8．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x2+3x+1的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）将二次函数化简为y=﹣（x﹣）2+，即可解出y最大的值．
（2）当x=4时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上．
【解答】解：（1）将二次函数y=x2+3x+1化成y=（x）2，（3分），
当x=时，y有最大值，y最大值=，（5分）
因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.75米．（6分）
（2）能成功表演．理由是：
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当x=4时，y=×42+3×4+1=3.4．
即点B（4，3.4）在抛物线y=x2+3x+1上，
因此，能表演成功．（12分）．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=x2+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p甲，p乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额﹣全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，P甲=﹣x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，P乙=﹣+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？
参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是．
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】依据年利润=年销售额﹣全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式及利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，分别求出x=18时，W甲和W乙的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做出选择．
【解答】解：（1）甲地当年的年销售额为（﹣x+14）•x=（﹣x2+14x）万元；
w甲=（﹣x2+14x）﹣（x2+5x+90）=﹣x2+9x﹣90．
（2）在乙地区生产并销售时，
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年利润：
w乙=﹣x2+nx﹣（x2+5x+90）
=﹣x2+（n﹣5）x﹣90．
由=，
解得n=15或﹣5．
经检验，n=﹣5不合题意，舍去，
∴n=15．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润
w乙=﹣x2+10x﹣90，
将x=18代入上式，得w乙=25.2（万元）；
将x=18代入w甲=﹣x2+9x﹣90，
得w甲=23.4（万元）．
∵W乙＞W甲，
∴应选乙地．
【点评】本题是一道最佳方案选择题，通过计算、比较同一个自变量的两个函数值的大小来选择最佳方案．
依据年利润=年销售额﹣全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式及利润W乙（万元）与x之间的函数关系式，分别求出x=18时，W甲和W乙的值，通过比较W甲和W乙大小就可以帮助投资商做出选择．
10．附加题：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）设AE=x，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式．
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【考点】梯形；平行四边形的判定．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）本题可分别证明四边形AEFD的两边平行，先求DF∥EA，也就是求∠BDC=90°，已知∠C是60°，可以通过等腰梯形的性质得出∠BAD=∠ADC=120°，在等腰三角形ABD中，AE是底边的高，根据等腰三角形三线合一的特点可得出∠BAE=∠EAD=60°，E是BD中点，那么∠ADB=30°，因此便可证得∠BDC=90°即可得出AE∥DF，下面证AD∥EF，EF是三角形DBC的中位线，EF∥BC∥AD，因此便可得出四边形AEFD是平行四边形．
（2）我们不难看出DG⊥EF，因此四边形EDFG的面积可用EF•DG来求．直角三角形AED中有AE的值，有∠ADB的度数，可以求出AD的长，也就求出了EF的长，同理可在三角形DGC中求出DG的长，这样就能求出四边形DEGF的面积了．
【解答】（1）证明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°．
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE为等腰△ABD的高，
∴E是BD的中点（等腰三角形三线合一）．
∵F是DC的中点，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
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∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=x，
∴AD=2x．
在Rt△DGC中∠C=60°，且DC=AD=2x，
∴DG=x．
由（1）知：在平行四边形AEFD中：EF=AD=2x，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF．
∴四边形DEGF的面积=EF•DG．
∴y=×2x•x=x2（x＞0）．
【点评】本题的关键是求出四边形AEFD是平行四边形，要根据已知条件选择比较容易的证法．
11．如图，已知A（﹣4，0），B（0，4），现以A点为位似中心，相似比为9：4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．
（1）求C点坐标及直线BC的解析式；
（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；
（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为的点P．
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【考点】位似变换；一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）利用相似及相似比，可得到C的坐标．把A，B代入一次函数解析式即可求得解析式的坐标．
（2）顶点落在x轴正半轴上说明此函数解析式与x轴有一个交点，那么△=0，再把B，C两点即可．
（3）到直线AB的距离为的直线有两条，可求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点P坐标．
【解答】解：（1）过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知△ABO∽△ACD，
∴．
由已知A（﹣4，0），B（0，4）可知
AO=4，BO=4．
∴AD=CD=9，
∴C点坐标为（5，9），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵A（﹣4，0），B（0，4）在一次函数解析式上，那么
﹣4k+b=0，b=4，
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解得k=1，
化简得y=x+4；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a＞0），由题意得，
解得，，
∴解得抛物线解析式为y1=x2﹣4x+4或y2=x2+x+4，
又∵y2=x2+x+4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去．
∴满足条件的抛物线解析式为y=x2﹣4x+4，
（准确画出函数y=x2﹣4x+4图象）
（3）将直线BC绕B点旋转与抛物线相交于另一点P，设P到直线AB的距离为h，
故P点应在与直线AB平行，且相距的上下两条平行直线l1和l2上．
由平行线的性质可得
两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为．
如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
在Rt△BEF中EF=h=，∠EBF=∠ABO=45°，
∴BE=6．
∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为（0，10），
同理可求得直线l2与y轴交点坐标为（0，﹣2），
∴两直线解析式l1：y=x+10；l2：y=x﹣2．
根据题意列出方程组：
（1）；（2），
解得；；；，
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∴满足条件的点P有四个，
它们分别是P1（6，16），P2（﹣1，9），P3（2，0），P4（3，1）．
【点评】本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比；到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线；平行直线的k的值相等．
12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．
（1）求直线BC及抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）依题意设直线BC的解析式为y=kx+
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3，把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式．然后又已知抛物线y=x2+bx+c过点B，C，代入求出解析式．
（2）由y=x2﹣4x+3求出点D，A的坐标．得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC，CB的值．过A点作AE⊥BC于点E，求出BE，CE的值．证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴，求出点P的坐标．
（3）本题要靠辅助线的帮助．作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（﹣1，0），求出A'C=AC，由勾股定理可得CD，A'D的值．得出△A'DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度．
【解答】解：（1）∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，
∴C（0，3）．
设直线BC的解析式为y=kx+3．
∵B（3，0）在直线BC上，
∴3k+3=0．
解得k=﹣1．
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．（1分）
∵抛物线y=x2+bx+c过点B，C，
∴
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．（2分）
（2）由y=x2﹣4x+3．
可得D（2，﹣1），A（1，0）．
∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2．
可得△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，CB=3．
如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，
∴AF=AB=1．
过点A作AE⊥BC于点E．
∴∠AEB=90度．
可得BE=AE=，CE=2．
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在△AEC与△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，
∴△AEC∽△AFP．
∴，．
解得PF=2．∵点P在抛物线的对称轴上，
∴点P的坐标为（2，2）或（2，﹣2）．（5分）
（3）解法一：
如图2，作点A（1，0）关于y轴的对称点A'，则A'（﹣1，0）．
连接A'C，A'D，
可得A'C=AC=，∠OCA'=∠OCA．
由勾股定理可得CD2=20，A'D2=10．
又∵A'C2=10，
∴A'D2+A'C2=CD2．
∴△A'DC是等腰直角三角形，∠CA'D=90°，
∴∠DCA'=45度．
∴∠OCA'+∠OCD=45度．
∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．（7分）
解法二：
如图3，连接BD．
同解法一可得CD=，AC=．
在Rt△DBF中，∠DFB=90°，BF=DF=1，
∴DB=．
在△CBD和△COA中，，，．
∴．
∴△CBD∽△COA．
∴∠BCD=∠OCA．
∵∠OCB=45°，
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∴∠OCA+∠OCD=45度．
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．（9分）
【点评】本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题3问之间层层递进，后两问集中研究角度问题．
中等层次的学生能够做出第（1）问，中上层次的学生可能会作出第（2）问，但第（2）问中符合条件的P点有两个，此时学生易忽视其中某一个，成绩较好的学生才可能作出第（3）问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题．
本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理．
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13．如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，可以知道四边形ADFB是正方形，因而BF=AB=OC=2，则CF=3﹣2=1，因而E、F的坐标就可以求出．
（2）顶点为F的坐标根据第一问可以求得是（1，2），因而抛物线的解析式可以设为y=a（x﹣1）2+2，以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，应分EF是腰和底边两种情况进行讨论．
当EF是腰，EF=PF时，已知E、F点的坐标可以求出EF的长，设P点的坐标是（0，n），根据勾股定理就可以求出n的值．得到P的坐标．
当EF是腰，EF=EP时，可以判断E到y轴的最短距离与EF的大小关系，只有当EF大于E到y轴的距离，P才存在．
当EF是底边时，EP=FP，根据勾股定理就可以得到关于n的方程，就可以解得n的值．
（3）作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．求出线段E′F′的长度，就是四边形MNFE的周长的最小值．
【解答】解：（1）E（3，1）；F（1，2）．
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（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=．
设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2（a≠0）．
①如图1，
当EF=PF时，EF2=PF2，
∴12+（n﹣2）2=5．
解得n1=0（舍去）；n2=4．
∴P（0，4）．
∴4=a（0﹣1）2+2．
解得a=2．
∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）2+2
②如图2，
当EP=FP时，EP2=FP2，
∴（2﹣n）2+1=（1﹣n）2+9．
解得（舍去）
③当EF=EP时，EP=，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x﹣1）2+2．
（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∴E′（3，﹣1），F′（﹣1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=．
又∵，
∴FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值是．
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【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．
14．如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC，O为原点，点A，C分别在x轴，y轴上，点B坐标为（m，）（其中m＞0），在BC边上选取适当的点E和点F，将△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再将△ABF沿AF翻折，恰好使点B与点G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．
（1）求m的值；
（2）求过点O，G，A的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点P的坐标（不要求写出求解过程）．
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【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】（1）根据折叠的性质可知：AB=AG=OG=，而OA=BC=m，那么在直角三角形OGA中即可用勾股定理求出m的值．
（2）由于△OGA是个等腰直角三角形，已知了OA的长，因此不难求出G点的坐标，根据O，A，G三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）本题要分情况进行讨论：
①当OP=PG，那么P点为OG的垂直平分线与抛物线对称轴的交点．因此P与H重合，P点坐标为（1，0）
②当OP=OG，那么△OPG为等腰直角三角形因此GH=PH=1，P点坐标为（1，﹣1）．
③当GP=OG时，GP=，因此P点的坐标为（1，1+），（1，1﹣）．（在G点上下各有一点）
【解答】解：（1）解法一：∵B（m，），
由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m（2分）
∵∠OGA=90°，
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∴OG2+AG2=OA2
∴2+2=m2．
又∵m＞0，
∴m=2．
解法二：∵B（m，），
由题意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m
∵∠OGA=90°，
∴∠GOA=∠GAO=45°
∴m=OA==2．
（2）解法一：过G作直线GH⊥x轴于H，
则OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c
∵抛物线过原点，
∴c=0．
又∵抛物线过G，A两点，
∴，
解得，
∴所求抛物线为y=﹣x2+2x，
它的对称轴为x=1．
解法二：过G作直线GH⊥x轴于H，
则OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
∴点A，O关于直线l对称，
∴点G为抛物线的顶点．
于是可设过O，G，A三点的抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，
∵抛物线过点O（0，0），
∴0=a（0﹣1）2+1，
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解得a=﹣1，
∴所求抛物线为y=（﹣1）（x﹣1）2+1=﹣x2+2x
它的对称轴为x=1．
（3）答：存在
满足条件的点P有（1，0），（1，﹣1），（1，1﹣），（1，1+）．
【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、三角形全等等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
15．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．
[注：抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．]．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得；
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（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1）2+b×（﹣1）﹣2=0，b=﹣
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2
y=x2﹣x﹣2=（x2﹣3x﹣4）=（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为（，﹣）．（4分）
（2）当x=0时y=﹣2，
∴C（0，﹣2），OC=2．
当y=0时， x2﹣x﹣2=0，
∴x1=﹣1，x2=4，
∴B（4，0）．（6分）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是直角三角形． （8分）
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小． （9分）
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
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∴
∴，
∴m=12分
解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，
则，
解得n=2，k=﹣．
∴y=﹣x+2．
∴当y=0时，﹣ x+2=0，x=．
∴m=． （12分）
【点评】此题考查了待定系数法求解析式，考查了二次函数与一次函数的综合应用，解题时要注意数形结合思想的应用．
16．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR∥BA交AC于点R，连接PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ．
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【考点】相似三角形的性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质；解直角三角形．
【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）当t=2时，可分别计算出BP、BQ的长，再对△BPQ的形状进行判断；
（2）∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；
（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．
【解答】解：（1）△BPQ是等边三角形
当t=2时
AP=2×1=2，BQ=2×2=4
∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4
∴BQ=BP
又∵∠B=60°
∴△BPQ是等边三角形；
（2）过Q作QE⊥AB，垂足为E
由QB=2t，得QE=2t•sin60°=t
由AP=t，得PB=6﹣t
∴S△BPQ=×BP×QE=（6﹣t）×t=﹣t
∴S=﹣t；
（3）∵QR∥BA
∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°
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∴△QRC是等边三角形
∴QR=RC=QC=6﹣2t
∵BE=BQ•cos60°=×2t=t
∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t
∴EP∥QR，EP=QR
∴四边形EPRQ是平行四边形
∴PR=EQ=t
又∵∠PEQ=90°，
∴∠APR=∠PRQ=90°
∵△APR∽△PRQ，
∴∠QPR=∠A=60°
∴tan60°=
即
解得t=
∴当t=时，△APR∽△PRQ．
【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的判定及性质、三角形相似、移动的特征、解直角三角形、函数等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
17．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，点D在AC上，CD=3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒是k厘米；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒（0＜x＜8），△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．
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（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求k的值和y2与x的函数关系；
（3）在图2中，设y1与y2的图象的交点为M，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6），过G作EF垂直于x轴，分别与y1、y2的图象交于点E、F．求△OMF面积的最大值．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②求△OMF面积的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题．
【分析】（1）直接根据三角形的面积公式可得y1=x；
（2）先设y2=x（12﹣kx）=﹣x2+6x，把x=12时，y2=12代入解析式可求得k=，即y2=﹣x2+6x；
（3）①线段是长EF=y2﹣y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积），由x=﹣x2+6x得点M（6，9），过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=3EF=3（﹣x2+6x﹣x）=（x﹣3）2+，所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为．
【解答】解：（1）y1=x
画图正确（2分）
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（2）y2=x（12﹣kx）=﹣x2+6x （4分）
由题设：当x=4时，y2=12，
所以﹣8k+24=12，
解得k=（5分）
从而y2=﹣x2+6x （6分）
（3）①线段是长EF=y2﹣y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ的面积）（7分）
②解法一：由x=﹣x2+6x
得点M（6，9）
过点M做MH⊥EF于点H，则S△OMF=S△OEF+S△MEF=EF．
OG+EF．MH=EF×6=3EF（9分）
=3（﹣x2+6x﹣x）=（x﹣3）2+（10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为（12分）
解法二：由x=﹣x2+6x得点M（6，9）
过点M做MH⊥x轴于点N，则
S△OMF=S四边形ONMF﹣S△ONM=S△OGF+S梯形FGNM﹣S△ONM（9分）
=﹣x2+x （10分）
所以当x=3时，△OMF的面积有最大值为．（12分）
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【点评】本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用，函数和几何图形的综合题目，要利用三角形的性质和二次函数的性质把数与形有机的结合在一起，利用图形间的“和差“关系求解．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．
（1）点A的坐标是 （4，0） ，点C的坐标是 （0，3） ；
（2）当t= 2 秒或 6 秒时，MN=AC；
（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【分析】（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标．
（2）当MN=AC时，有两种情况，①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2；
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②当MN是△ABC的中位线时，OM=OA=6，因此t=6；
（3）本题要分类进行讨论：
①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，可根据△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式．
②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，可用矩形OABC的面积﹣三角形BMN的面积﹣三角形OCN的面积﹣三角形OAM的面积来求得．（也可过O作直线m的垂线设垂足为F，那么在直角三角形OMF中，可根据OD的长和∠ODE的正弦值求出OF的长，求MN的方法一样）．
（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．
【解答】解：（1）（4，0），（0，3）；
（2）当MN=AC时，有两种情况，
①MN是△OAC的中位线，此时OM=OA=2，因此t=2；
②当MN是△ABC的中位线时，
∴AM=AB=，OA=4，
∴AD===2
∴OD=OA+AD=4+2=6，因此t=6；
（3）当0＜t≤4时，OM=t
∵由△OMN∽△OAC，得=，
∴ON=，S=t2
当4＜t＜8时，
如图，∵OD=t，
∴AD=t﹣4
方法一：
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由△DAM∽△AOC，可得AM=（t﹣4）
∴BM=6﹣
由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8﹣t
∴CN=t﹣4
S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积
=12﹣（t﹣4）﹣（8﹣t）（6﹣）﹣=t2+3t
方法二：
易知四边形ADNC是平行四边形，
∴CN=AD=t﹣4，BN=8﹣t．
由△BMN∽△BAC，可得BM=BN=6﹣，
∴AM=（t﹣4）
以下同方法一．
（4）有最大值．
方法一：
当0＜t≤4时，
∵抛物线S=t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大
∴当t=4时，S可取到最大值×42=6；（11分）
当4＜t＜8时，
∵抛物线S=t2+3t的开口向下，它的顶点是（4，6），
∴S≤6．
综上，当t=4时，S有最大值6．
方法二：
∵S=
∴当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图象
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如图所示．
显然，当t=4时，S有最大值6．
【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
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