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2016 年江苏省无锡市滨湖区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共计 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）
1． 的相反数是（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．（a2）3=a5 C．a+2=2a D．（ab）3=a3b3
3．已知某种纸一张的厚度约为 0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．8.9×103 B．8.9×10﹣4 C．8.9×10﹣3 D．89×10﹣2
4．已知一次函数y=kx﹣2k+3 的图象与 x 轴交于点 A（3，0），则该图象与 y 轴的交点的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（0，1） C．（0，3） D．（0，9）
5．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了 30 名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 1 2 3 4 5
人数 2 5 8 9 6
则这 30 名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．4，3 B．4，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，4
6．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
7．十边形的内角和为（ ）
A．360° B．1440° C．1800° D．2160°
8．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的
个数，则这个几何体的左视图是（ ）第 2 页（共 35 页）
A． B． C． D．
9．如图，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，且 AB 为⊙O 的直径，若 OC=5，AC=6，则 BC 长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．无法确定
10．如图，A 在 O 的正北方向，B 在 O 的正东方向，且 OA=OB．某一时刻，甲车从 A 出发，以 60km/h
的速度朝正东方向行驶，与此同时，乙车从 B 出发，以 40km/h 的速度朝正北方向行驶．1 小时后，
位于点 O 处的观察员发现甲、乙两车之间的夹角为 45°，即∠COD=45°，此时，甲、乙两人相距的
距离为（ ）
A．90km B．50 km C．20 km D．100km
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共计 16 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
）
11．若分式 的值为 0，则 x= ．
12．分解因式：2x2﹣8= ．
13．某公司 2 月份的利润为 160 万元，4 月份的利润 250 万元，若设平均每月的增长率 x，则根据题
意可得方程为 ．
14．已知△ABC 中，AC=BC，∠A=80°，则∠B= °．
15．如图，已知 A（4，0），B（3，3），以 OA、AB 为边作▱OABC，则若一个反比例函数的图象经过
C 点，则这个反比例函数的表达式为 ．第 3 页（共 35 页）
16．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点 O 为位似中心
，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段 AC 的中点 P 变换后在第一象限对应点的坐标为 ．
17．甲、乙两工程队分别同时开挖两条 600 米长的管道，所挖管道长度 y（米）与挖掘时间 x（天）
之间的关系如图所示，则下列说法中：
①甲队每天挖 100 米；
②乙队开挖两天后，每天挖 50 米；
③甲队比乙队提前 3 天完成任务；
④当 x=2 或 6 时，甲乙两队所挖管道长度都相差 100 米．
正确的有 ．（在横线上填写正确的序号）
18．在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，A、B、C 三点的坐标为（ ，0）、（3 ，0）、（0
，5），点 D 在第一象限，且∠ADB=60°，则线段 CD 的长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共 10 小题，共计 84 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤．）第 4 页（共 35 页）
19．计算：（ ）0+ ﹣|﹣3|+tan45°；
（2）计算：（x+2）2﹣2（x﹣1）．
20．解方程组：
（2）解不等式： ＜x．
21．如图，在▱ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接 DE，若 AD=2AB，求证：DE⊥AF．
22．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，
让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部
分同学就餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）补全条形统计图；
（3）计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数；
（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用一餐．据
此估算，该校 20000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
23．某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先
在三个笔试题（题签分别用代码 B1、B2、B3 表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码 J1第 5 页（共 35 页）
、J2、J3 表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机
地抽取一个题签．
（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结果；
（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标为“1”）为一个奇数一
个偶数的概率．
24．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切线 AE 交 CD 的延长线于点 E
，DA 平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知 AE=4cm，CD=6cm，求⊙O 的半径．
25．旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅游社的包机费为 15000 元，旅游团中每人的飞机票按
以下方式与旅行社结算；若旅游团的人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若旅游团
的人数多于 30 人，则给予优惠，每多 1 人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人数最多有 75 人．
设旅游团的人数为 x 人，每张飞机票价为 y 元，旅行社可获得的利润为 W 元．
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）写出 W 与 x 之间的函数关系式；
（3）当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？最大利润为多少元？
26．【问题】如图 1、2 是底面半径为 1cm，母线长为 2cm 的圆柱体和圆锥体模型．现要用长为 2πcm
，宽为 4cm 的长方形彩纸（如图 3）装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱和一个圆锥模型为一
套 ， 长 方 形 彩 纸 共 有 122 张 ， 用 这 些 纸 最 多 能 装 饰 多 少 套 模 型 呢 ？
【对话】老师：“长方形纸可以怎么裁剪呢？”
学生甲：“可按图 4 方式裁剪出 2 张长方形．”第 6 页（共 35 页）
学生乙：“可按图 5 方式裁剪出 6 个小圆．”
学生丙：“可按图 6 方式裁剪出 1 个大圆和 2 个小圆．”
老师：尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三位同学的裁剪方法！
【解决】（1）计算：圆柱的侧面积是 cm2，圆锥的侧面积是 cm2．
（2）1 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个圆锥模型；5 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 个
圆柱体模型．
（3）求用 122 张彩纸对多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．
27．如图（1），∠AOB=45°，点 P、Q 分别是边 OA，OB 上的两点，且 OP=2cm．将∠O 沿 PQ 折叠，
点 O 落在平面内点 C 处．
（1）①当 PC∥QB 时，OQ= ；
②当 PC⊥QB 时，求 OQ 的长．
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求 OQ 的长．
28．如图，经过原点的抛物线 y=﹣x2+2mx 与 x 轴的另一个交点为 A．点 P 在一次函数 y=2x﹣2m 的图
象上，PH⊥x 轴于 H，直线 AP 交 y 轴于点 C，点 P 的横坐标为 1．（点 C 不与点 O 重合）
（1）如图 1，当 m=﹣1 时，求点 P 的坐标．
（2）如图 2，当 时，问 m 为何值时 ？
（3）是否存在 m，使 ？若存在，求出所有满足要求的 m 的值，并定出相对应的点 P 坐标；若
不存在，请说明理由．第 7 页（共 35 页）
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2016 年江苏省无锡市滨湖区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 题，每小题 3 分，共计 30 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项
是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．）
1． 的相反数是（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【考点】相反数．
【专题】计算题．
【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
【解答】解：根据相反数的定义，得 的相反数是﹣ ．
故选 A．
【点评】本题主要考查了相反数的求法，比较简单．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4 B．（a2）3=a5 C．a+2=2a D．（ab）3=a3b3
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．
【分析】分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则和积的乘方运算法则化简，进而求出答案．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项错误；
B、（a2）3=a6，故此选项错误；
C、a+2 无法计算，故此选项错误；
D、（ab）3=a3b3，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项和积的乘方运算等知识，正确应用运算法则
是解题关键．
3．已知某种纸一张的厚度约为 0.0089cm，用科学记数法表示这个数为（ ）
A．8.9×103 B．8.9×10﹣4 C．8.9×10﹣3 D．89×10﹣2第 9 页（共 35 页）
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学
记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个
数所决定．
【解答】解：0.0089=8.9×10﹣3；
故选 C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原
数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
4．已知一次函数y=kx﹣2k+3 的图象与 x 轴交于点 A（3，0），则该图象与 y 轴的交点的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（0，1） C．（0，3） D．（0，9）
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先把点 A（3，0）代入一次函数 y=kx﹣2k+3 求出 k 的值，故可得出函数解析式，再令 x=0，
求出 y 的值即可．
【解答】解：∵一次函数 y=kx﹣2k+3 的图象与 x 轴交于点 A（3，0），
∴3k﹣2k+3=0，解得 k=﹣3，
∴一次函数的解析式为 y=﹣3x+9．
∵令 x=0，则 y=9，
∴该图象与 y 轴的交点的坐标为（0，9）．
故选 D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解答此题的关键．
5．为调查某班学生每天使用零花钱的情况，张华随机调查了 30 名同学，结果如下表：
每天使用零花钱（单位：元） 1 2 3 4 5
人数 2 5 8 9 6
则这 30 名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．4，3 B．4，3.5 C．3.5，3.5 D．3.5，4
【考点】众数；中位数．
【分析】利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于张华随机调查了 20 名同学，根据表格数据可第 10 页（共 35 页）
以知道中位数是按从小到大排序，第 15 个与第 16 个数的平均数．
【解答】解：∵4 出现了 9 次，它的次数最多，
∴众数为 4．
∵张华随机调查了 30 名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数=（3+4）÷2=3.5，即中位数为 3.5．
故选 B．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往
往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺
序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果
是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．下列命题中，是真命题的为（ ）
A．四个角相等的四边形是矩形
B．四边相等的四边形是正方形
C．对角线相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【分析】利用矩形的判定定理、平行四边形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定方法分别
判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，正确，为真命题；
B、四边相等的四边形是菱形，故错误，是假命题；
C、对角线相等的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误，是假命题，
故选 A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定定理、平行四边形的判定定
理、菱形的判定定理及正方形的判定方法，难度不大．
7．十边形的内角和为（ ）
A．360° B．1440° C．1800° D．2160°
【考点】多边形内角与外角．第 11 页（共 35 页）
【分析】根据多边形的内角和计算公式（n﹣2）×180°进行计算即可．
【解答】解：十边形的内角和等于：（10﹣2）×180°=1440°．
故选 B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和的计算公式．
8．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的
个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】压轴题．
【分析】由俯视图易得此组合几何体有 3 层，三列，2 行．找从左面看所得到的图形，应看俯视图
有几行，每行上的小正方体最多有几个．
【解答】解：从左面看可得到 2 列正方形从左往右的个数依次为 2，3，故选 D．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
9．如图，已知⊙O 为△ABC 的外接圆，且 AB 为⊙O 的直径，若 OC=5，AC=6，则 BC 长为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．无法确定
【考点】三角形的外接圆与外心．
【分析】先根据圆周角定理判断出△ABC 是直角三角形，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°．
∵OC=5，AC=6，第 12 页（共 35 页）
∴AB=2OC=10，
∴BC= = =8．
故选 C．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
10．如图，A 在 O 的正北方向，B 在 O 的正东方向，且 OA=OB．某一时刻，甲车从 A 出发，以 60km/h
的速度朝正东方向行驶，与此同时，乙车从 B 出发，以 40km/h 的速度朝正北方向行驶．1 小时后，
位于点 O 处的观察员发现甲、乙两车之间的夹角为 45°，即∠COD=45°，此时，甲、乙两人相距的
距离为（ ）
A．90km B．50 km C．20 km D．100km
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】根据旋转的性质结合全等三角形的判定与性质得出△COD≌△B′OC（SAS），则 B′C=DC 进
而求出即可．
【解答】解：由题意可得：AB′=BD=40km，AC=60km，
将△OBD 顺时针旋转 270°，则 BO 与 AO 重合，
在△COD 和△B′OC 中，
∵ ，
∴△COD≌△B′OC（SAS），
∴B′C=DC=40+60=100（km），
∴甲、乙两人相距的距离为 100km；
故选：D．第 13 页（共 35 页）
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是勾股定理的应用以及全等三角形的
判定与性质，根据题意得出△COD≌△B′OC 是解题关键．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共计 16 分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
）
11．若分式 的值为 0，则 x= 1 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【解答】解：由题意得，x﹣1=0，
解得，x=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．分解因式：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2） ．
【考点】因式分解-提公因式法．
【分析】观察原式，找到公因式 2，提出即可得出答案．
【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，是基础题．
13．某公司 2 月份的利润为 160 万元，4 月份的利润 250 万元，若设平均每月的增长率 x，则根据题
意可得方程为 160（1+x）2=250 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】根据 2 月份的利润为 160 万元，4 月份的利润 250 万元，每月的平均增加率相等，可以列
出相应的方程，本题得以解决．第 14 页（共 35 页）
【解答】解：由题意可得，
160（1+x）2=250，
故答案为：160（1+x）2=250．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．
14．已知△ABC 中，AC=BC，∠A=80°，则∠B= 80 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【解答】解：∵△ABC 中，AC=BC，∠A=80°，
∴∠B=∠A=80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．
15．如图，已知 A（4，0），B（3，3），以 OA、AB 为边作▱OABC，则若一个反比例函数的图象经过
C 点，则这个反比例函数的表达式为 y=﹣ ．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质．
【专题】计算题；反比例函数及其应用；多边形与平行四边形．
【分析】过 B 作 BE⊥x 轴，过 C 作 CD⊥x 轴，可得∠BEA=∠CDO=90°，由四边形 ABCO 为平行四边形
，得到对边平行且相等，利用两直线平行得到一对同位角相等，利用 AAS 得到三角形 ABE 与三角形 OCD
全等，利用全等三角形对应边相等得到 AE=OD，BE=CD，确定出 C 坐标，利用待定系数法确定出反比
例解析式即可．
【解答】解：过 B 作 BE⊥x 轴，过 C 作 CD⊥x 轴，可得∠BEA=∠CDO=90°，
∵四边形 ABCO 为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠BAE=∠COD，第 15 页（共 35 页）
在△ABE 和△OCD 中，
，
∴△ABE≌△OCD（AAS），
∴BE=CD，AE=OD，
∵A（4，0），B（3，3），
∴OA=4，BE=OE=3，
∴AE=OA﹣OE=4﹣3=1，
∴OD=AE=1，CD=BE=3，
∴C（﹣1，3），
设过点 C 的反比例解析式为 y= ，
把 C（﹣1，3）代入得：k=﹣3，
则反比例解析式为 y=﹣ ．
故答案为：y=﹣
【点评】此题考查了待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，以及平行四边形的性质，
熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，2），B（4，2），C（6，4），以原点 O 为位似中心
，将△ABC 缩小为原来的一半，则线段 AC 的中点 P 变换后在第一象限对应点的坐标为 （2， ） ．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．第 16 页（共 35 页）
【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位
似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或﹣k，根据此题是线段 AC 的中点 P
变换后在第一象限对应点的坐标进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，2），B（4，2），C（6，4），
∴AC 的中点是（4，3），
∵将△ABC 缩小为原来的一半，
∴线段 AC 的中点 P 变换后在第一象限对应点的坐标为：（2， ）．
故答案为：（2， ）．
【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律，利用图形得出 AC 的中点坐标是解题关
键．
17．甲、乙两工程队分别同时开挖两条 600 米长的管道，所挖管道长度 y（米）与挖掘时间 x（天）
之间的关系如图所示，则下列说法中：
①甲队每天挖 100 米；
②乙队开挖两天后，每天挖 50 米；
③甲队比乙队提前 3 天完成任务；
④当 x=2 或 6 时，甲乙两队所挖管道长度都相差 100 米．
正确的有 ①②④ ．（在横线上填写正确的序号）
【考点】一次函数的应用．
【分析】①根据函数图象由工作效率=工作总量÷工作时间就可以得出结论；
②根据函数图象由工作效率=工作总量÷工作时间就可以得出结论；
③根据函数图象求出乙队完成的时间就可以求出结论；
④由甲的工作效率就可以求出 2 天时的工作量为 200 米，乙队是 300 米．6 天时甲队是 600 米，乙第 17 页（共 35 页）
队是 500 米得出 300﹣200=600﹣500=100 米故得出结论．
【解答】解：①根据函数图象得：
甲队的工作效率为：600÷6=100 米/天，故正确；
②根据函数图象，得
乙队开挖两天后的工作效率为：（500﹣300）÷（6﹣2）=50 米/天，故正确；
③乙队完成任务的时间为：2+（600﹣300）÷50=8 天，
∴甲队提前的时间为：8﹣6=2 天．
∵2≠3，
∴③错误；
④当 x=2 时，甲队完成的工作量为：2×100=200 米，
乙队完成的工作量为：300 米．
当 x=6 时，甲队完成的工作量为 600 米，乙队完成的工作量为 500 米．
∵300﹣200=600﹣500=100，
∴当 x=2 或 6 时，甲乙两队所挖管道长度都相差 100 米．故正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，工程问题的数量关系：工作总量=工作效率×工
作时间的运用，解答时分析清楚一次函数的图象的意义是关键．
18．在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，A、B、C 三点的坐标为（ ，0）、（3 ，0）、（0
，5），点 D 在第一象限，且∠ADB=60°，则线段 CD 的长的最小值为 2 ﹣2 ．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；垂径定理；圆周角定理．
【分析】作圆，求出半径和 PC 的长度，判出点 D 只有在 CP 上时 CD 最短，CD=CP﹣DP 求解．
【解答】解：作圆，使∠ADB=60°，设圆心为 P，连结 PA、PB、PC，PE⊥AB 于 E，如图所示：
∵A（ ，0）、B（3 ，0），
∴E（2 ，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2 ，1），
∵C（0，5），第 18 页（共 35 页）
∴PC= =2 ，
又∵PD=PA=2，
∴只有点 D 在线段 PC 上时，CD 最短（点 D 在别的位置时构成△CDP）
∴CD 最小值为：2 ﹣2．
故答案为：2 ﹣2．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点 D 只
有在 CP 上时 CD 最短．
三、解答题（本大题共 10 小题，共计 84 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（1）计算：（ ）0+ ﹣|﹣3|+tan45°；
（2）计算：（x+2）2﹣2（x﹣1）．
【考点】实数的运算；去括号与添括号；完全平方公式；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式（
）0+ ﹣|﹣3|+tan45°的值是多少即可．
（2）根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后计算减法，求出算式（x+2）2﹣2（x﹣1）
的值是多少即可．
【解答】解：（1）（ ）0+ ﹣|﹣3|+tan45°
=1+3 ﹣3+1
=3 ﹣1
（2）（x+2）2﹣2（x﹣1）第 19 页（共 35 页）
=x2+4x+4﹣2x+2
=x2+2x+6
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运
算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号
的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内
仍然适用．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②
00≠1．
（3）此题还考查了完全平方公式的应用，以及特殊角的三角函数值，要熟练掌握．
20．（1）解方程组：
（2）解不等式： ＜x．
【考点】解一元一次不等式；解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】（1）先利用加减消元法求出 x，然后利用代入法求出 y，从而得到方程组的解；
（2）先去分母得到 2x﹣1＜3x，然后移项、合并，然后把 x 的系数化为 1 即可．
【解答】解：（1） ，
①×3+②得 9x+2x=3+8，
解得 x=1，
把 x=1 代入①得 3﹣y=1，
解得 y=2，
所以方程组的解为 ；
（2）去分母得 2x﹣1＜3x，
移项得 2x﹣3x＜1，
合并得﹣x＜1，
系数化为 1 得 x＞﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一第 20 页（共 35 页）
元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为 1
．也考查了解二元一次方程组．
21．如图，在▱ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F．
（1）求证：AB=CF；
（2）连接 DE，若 AD=2AB，求证：DE⊥AF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由在▱ABCD 中，E 是 BC 的中点，利用 ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；
（2）由 AD=2AB，AB=FC=CD，可得 AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得 AE=EF，然后利用三线合一，证
得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠ABE=∠FCE，
∵E 为 BC 中点，
∴BE=CE，
在△ABE 与△FCE 中，
，
∴△ABE≌△FCE（ASA），
∴AB=FC；
（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，
∴AD=DF，
∵△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．第 21 页（共 35 页）
【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．某高校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，
让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部
分同学就餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 1000 名；
（2）补全条形统计图；
（3）计算在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数；
（4）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用一餐．据
此估算，该校 20000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据没有剩饭的人数是 400 人，所占的百分比是 40%，据此即可求得调查的总人数；
（2）利用（1）中求得结果减去其它组的人数即可求得剩少量饭的人数，从而补全直方图；
（3）利用 360°乘以对应的比例即可求解；
（4）利用 20000 除以调查的总人数，然后乘以 200 即可求解．
【解答】解：（1）被调查的同学的人数是 400÷40%=1000（名）；
（2）剩少量的人数是 1000﹣400﹣250﹣150=200（名），第 22 页（共 35 页）
；
（3）在扇形统计图中剩大量饭菜所对应扇形圆心角的度数是：360°× =54°；
（4） ×200=4000（人）．
答：校 20000 名学生一餐浪费的食物可供 4000 人食用一餐．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映
部分占总体的百分比大小．
23．某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容．规定：每位考生先
在三个笔试题（题签分别用代码 B1、B2、B3 表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码 J1
、J2、J3 表示）中抽取一个进行考试．小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机
地抽取一个题签．
（1）用树状图或列表法表示出所有可能的结果；
（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标为“1”）为一个奇数一
个偶数的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）中的树状图可求得小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标（例如“B1”的下标
为“1”）为一个奇数一个偶数的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图：第 23 页（共 35 页）
则共有 9 种等可能的结果；
（2）∵由树状图或表可知，所有可能的结果共有 9 种，其中笔试题和上机题的题签代码下标为一奇
一偶的有 4 种，
∴题签代码下标为一奇一偶的概率是 ．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
．
24．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，过点 A 作⊙O 的切线 AE 交 CD 的延长线于点 E
，DA 平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知 AE=4cm，CD=6cm，求⊙O 的半径．
【考点】切线的性质．
【分析】（1）欲证明 AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；
（2）过点 O 作 OF⊥CD，垂足为点 F．从而证得四边形 AOFE 是矩形，得出 OF=AE，根据垂径定理得
出 DF= CD，在 Rt△ODF 中，根据勾股定理即可求得⊙O 的半径．
【解答】（1）
证明：连接 OA．
∵AE 是⊙O 切线，
∴OA⊥AE，第 24 页（共 35 页）
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD；
（2）解：过点 O 作 OF⊥CD，垂足为点 F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形 AOFE 是矩形．
∴OF=AE=4cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF= CD=3cm．
在 Rt△ODF 中，OD= =5cm，
即⊙O 的半径为 5cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾
股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
25．旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅游社的包机费为 15000 元，旅游团中每人的飞机票按
以下方式与旅行社结算；若旅游团的人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若旅游团
的人数多于 30 人，则给予优惠，每多 1 人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人数最多有 75 人．
设旅游团的人数为 x 人，每张飞机票价为 y 元，旅行社可获得的利润为 W 元．
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）写出 W 与 x 之间的函数关系式；
（3）当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？最大利润为多少元？第 25 页（共 35 页）
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据自变量 x 的取值范围，分 0≤x≤30 或 30＜x≤75 列出函数解析式即可；
（2）利用所有人的费用减去包机费就是旅行社可获得的利润，结合（1）中自变量的取值范围解答
即可；
（3）利用（2）中的函数解析式，进一步结合自变量的取值范围和配方法解决问题．
【解答】解：（1）当 0≤x≤30 时，y=900；
当 30＜x≤75 时，y=900﹣10（x﹣30）=﹣10x+1200．
（2）当 0≤x≤30 时，W=900x﹣15000；
当 30＜x≤75 时，W=（﹣10x+1200）x﹣15000=﹣10x2+1200x﹣15000．
（3）当 0≤x≤30 时，W=900x﹣15000 随 x 的增大而增大，
所以，当 x=30 时，W 最大=900×30﹣15000=12000（元）；
当 30＜x≤75 时，W=﹣10x2+1200x﹣15000=﹣10（x﹣60）2+21000，
∵﹣10＜0，∴当 x=60 时，W 最大=21000（元）；
∵21000＞12000，
∴当 x=60 时，W 最大=21000（元）．
答：旅游团的人数为 60 人时，旅行社可获得的利润最大，最大利润为 21000 元．
【点评】此题主要考查利用基本数量关系求出二次函数解析式，运用配方法求二次函数的最值，以
及考查学生对实际问题分析解答能力．
26．【问题】如图 1、2 是底面半径为 1cm，母线长为 2cm 的圆柱体和圆锥体模型．现要用长为 2πcm
，宽为 4cm 的长方形彩纸（如图 3）装饰圆柱、圆锥模型表面．已知一个圆柱和一个圆锥模型为一
套 ， 长 方 形 彩 纸 共 有 122 张 ， 用 这 些 纸 最 多 能 装 饰 多 少 套 模 型 呢 ？
【对话】老师：“长方形纸可以怎么裁剪呢？”
学生甲：“可按图 4 方式裁剪出 2 张长方形．”第 26 页（共 35 页）
学生乙：“可按图 5 方式裁剪出 6 个小圆．”
学生丙：“可按图 6 方式裁剪出 1 个大圆和 2 个小圆．”
老师：尽管还有其他裁剪方法，但为裁剪方便，我们就仅用这三位同学的裁剪方法！
【解决】（1）计算：圆柱的侧面积是 4π cm2，圆锥的侧面积是 2π cm2．
（2）1 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 2 个圆锥模型；5 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 6
个圆柱体模型．
（3）求用 122 张彩纸对多能装饰的圆锥、圆柱模型套数．
【考点】圆锥的计算；一元一次不等式的应用；圆柱的计算．
【分析】（1）利用圆柱的侧面积公式以及扇形的面积公式即可求解；
（2）求得圆锥和圆柱的表面积，以及一张纸的面积，据此即可求得；
（3）设做 x 套模型，根据做圆柱和圆锥所用的纸的数不超过 122 张，即可列出不等式求解．
【解答】解：（1）圆柱的地面底面周长是 2π，则圆柱的侧面积是 2π×2=4πcm2，圆锥的侧面积
是 ×2π×2=2πcm2；
（2）圆柱的底面积是：πcm2，则圆柱的表面积是：6πcm2，圆锥的表面积是：3πcm2．
一张纸的面积是：4×2π=8π，
则 1 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 2 个圆锥模型；5 张长方形彩纸剪拼后最多能装饰 6 个圆柱体
模型，
（3）设做 x 套模型，则每套模型中做圆锥的需要 张纸，作圆柱需要 张纸，
∴ + ≤122，
解得：x≤ ，
∵x 是 6 的倍数，取 x=90，做 90 套模型后剩余长方形纸片的张数是 122﹣（45+75）=2 张，
2 张纸够用这三位同学的裁剪方法不能做一套模型．
∴最多能做 90 套模型．
故答案是：4π，2π；2，6．
【点评】考查了圆锥、圆柱的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本
题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．第 27 页（共 35 页）
27．如图（1），∠AOB=45°，点 P、Q 分别是边 OA，OB 上的两点，且 OP=2cm．将∠O 沿 PQ 折叠，
点 O 落在平面内点 C 处．
（1）①当 PC∥QB 时，OQ= 2cm ；
②当 PC⊥QB 时，求 OQ 的长．
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求 OQ 的长．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）①由平行线的性质得出∠O=∠CPA，由折叠的性质得出∠C=∠O，OP=CP，证出∠CPA=∠
C，得出 OP∥QC，证出四边形 OPCQ 是菱形，得出 OQ=OP=2cm 即可；
②当 PC⊥QB 时，分两种情况：设 OQ=xcm，证出△OPM 是等腰直角三角形，得出 OM= OP= ，QM=
﹣x，证出△CQM 是等腰直角三角形，得出 QC= QM，得出方程 x= （ ﹣x），解方程即可；
（ii）同（i）得出：OQ=2 +2；即可得出结论；
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点 Q 共有 5 个；点 C 在∠AOB 的内部或一边上
时，由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出 OQ 的长；点 C 在∠AOB 的外部时
，同理求出 OQ 的长即可．
【解答】解：（1）①当 PC∥QB 时，∠O=∠CPA，
由折叠的性质得：∠C=∠O，OP=CP，
∴∠CPA=∠C，
∴OP∥QC，
∴四边形 OPCQ 是平行四边形，
∴四边形 OPCQ 是菱形，
∴OQ=OP=2cm；
故答案为：2cm；
②当 PC⊥QB 时，分两种情况：
（i）如图 1 所示：设 OQ=xcm，第 28 页（共 35 页）
∵∠O=45°，
∴△OPM 是等腰直角三角形，
∴OM= OP= ，
∴QM= ﹣x，
由折叠的性质得：∠C=∠O=45°，CQ=OQ=x，
∴△CQM 是等腰直角三角形，
∴QC= QM
∴x= （ ﹣x），
解得：x=2 ﹣2，
即 OQ=2 ﹣2；
（ii）如图 2 所示：同（i）得：OQ=2 +2；
综上所述：当 PC⊥QB 时，OQ 的长为 2 ﹣2，或 2 +2．
（2）当折叠后重叠部分为等腰三角形时，符合条件的点 Q 共有 5 个；
①点 C 在∠AOB 的内部时，四边形 OPCQ 是菱形，OQ=OP=2cm；
②当点 C 在∠AOB 的一边上时，△OPQ 是等腰直角三角形，OQ= 或 2 ；
③当点 C 在∠AOB 的外部时，分两种情况：
（i）如图 3 所示：PM=PQ，则∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ，
由折叠的性质得：∠OPQ=∠MPQ，
设∠OPQ=∠MPQ=x，
则∠PMQ=∠PQM=45°+x，
在△OPM 中，由三角形内角和定理得：45°+x+x+45°+x=180°，
解得：x=30°，
∴∠OPQ=30°，
作 QN⊥OP 于 N，设 ON=a，
∵∠O=45°，
则 QN=ON=a，OQ= a，PN= QN= a，
∵ON+PN=OP，
∴a+ a=2，
解得：a= ﹣1，第 29 页（共 35 页）
∴OQ= （ ﹣1）= ﹣ ；
（ii）如图 4 所示：PQ=MQ，作 QN⊥OA 于 N，
同①得：OQ= + ；
综上所述：当折叠后重叠部分为等腰三角形时，OQ 的长为 2cm 或（2 ﹣2，）cm 或（2 +2）cm
或（ ﹣ ）cm 或（ + ）cm．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性
质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识；本题综合性强，有一定
难度，熟练掌握折叠的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键，注意分类讨论．
28．如图，经过原点的抛物线 y=﹣x2+2mx 与 x 轴的另一个交点为 A．点 P 在一次函数 y=2x﹣2m 的图第 30 页（共 35 页）
象上，PH⊥x 轴于 H，直线 AP 交 y 轴于点 C，点 P 的横坐标为 1．（点 C 不与点 O 重合）
（1）如图 1，当 m=﹣1 时，求点 P 的坐标．
（2）如图 2，当 时，问 m 为何值时 ？
（3）是否存在 m，使 ？若存在，求出所有满足要求的 m 的值，并定出相对应的点 P 坐标；若
不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）先将 m=﹣1 代入 y=2x﹣2m，得到 y=2x+2，再令 x=1，求出 y=4，即可求出点 P 的坐标
；
（2）先由 PH∥OC，得出△PAH∽△CAO，根据相似三角形对应边成比例得到 = ，由 =2，得出
OA= ，再解方程﹣x2+2mx=0，求出点 A 的坐标（2m，0），则 2m= ，m= ；
（3）分四种情况讨论：①当 0＜m＜ 时，由（2）得 m= ，将 m= 代入 y=2x﹣2m，得到 y=2x﹣ ，
再将 x=1 代入，求出 y 的值，得到点 P 的坐标；
②当 ≤m＜1 时，先由 PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到 = ，
由 =2，得出 OA= ，解方程 2m= ，得出 m= ，再同①；
③当 m≥1 时，同②，求出 m= 舍去；
④当 m≤0 时，先由 PH∥OC，得出△APH∽△ACO，根据相似三角形对应边成比例得到 = ，由
=2，得出 CP＞AP，而 CP＜AP，所以 m 的值不存在．
【解答】解：（1）如图 1，当 m=﹣1 时，y=2x+2，
令 x=1，则 y=4，第 31 页（共 35 页）
∴点 P 的坐标为（1，4）；
（2）如图 2，∵PH⊥x 轴，
∴PH∥OC，
∴△PAH∽△CAO，
∴ = ，
∵ =2，
∴ = =1，
∴OA= ．
令 y=0，则﹣x2+2mx=0，
∴x1=0，x2=2m，
∴点 A 的坐标（2m，0），
∴2m= ，
∴m= ；
（3）①当 0＜m＜ 时，由（2）得 m= ，
∴y=2x﹣ ，
令 x=1，则 y= ，
∴点 P 的坐标为（1， ）；
②如图 3，当 ≤m＜1 时，
∵PH⊥x 轴，
∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，
∴ = ，
∵ =2，第 32 页（共 35 页）
∴ = ，
∴OH= OA，
∵OH=1，
∴OA= ，
∴2m= ，m= ，
∴y=2x﹣ ，
令 x=1，则 y= ，
∴点 P 的坐标为（1， ）；
③如图 4，当 m≥1 时，
∵PH⊥x 轴，
∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，
∴ = ，
∵ =2，
∴ = ，
∴OH= OA，
∵OH=1，
∴OA= ，
∴2m= ，m= ，
∵m＞1，∴m= 舍去；
④如图 5，当 m≤0 时，
∵PH⊥x 轴，
∴PH∥OC，
∴△APH∽△ACO，第 33 页（共 35 页）
∴ = ，
∵ =2，
∴CP＞AP，
又∵CP＜AP，
∴m 的值不存在．第 34 页（共 35 页）
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有函数图象上点的坐标特征，二次函数
与一元二次方程的关系，相似三角形的判定与性质，难度适中．第（3）小问中运用分类讨论思想将
m 的取值划分范围并且画出相应图形，从而利用数形结合及方程思想解决问题是本小题的关键．
第 35 页（共 35 页）
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