2016-2017 学年江苏省无锡市羊尖中学八年级（上）月考数学试
卷（12 月份）
一、选择题
1．点 P（m+3，m+1）在 x 轴上，则点 P 的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（0，﹣2） C．（4，0） D．（0，﹣4）
2．如图字母 B 所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
3．下列计算正确的是（ ）
A．2 +4 =6 B．3 ﹣2 =1 C． ÷ =4 D． × =
4．在直角坐标系中，点 A（3，1），点 B（3，3），则线段 AB 的中点坐标是（
）
A．（2，3） B．（3，2） C．（6，2） D．（6，4）
5．点 A（﹣3，﹣4）到原点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
6．下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．如果梯子的底端离建筑物 5m，那么长为 13m 梯子可以达到该建筑物的高度
是（ ）
A．12mB．14m C．15m D．13m
8．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．3，4，5 D．3，5，7
9．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5 或
10．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，1），在 x 轴上确定点 P，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 的个数共有（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
二、填空题
11．若使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 ．
12．（8 分）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c
．
（1）若 a=2，b=4，则 c= ；
（2）若 a=2，c=4，则 b= ；
（3）若 c=26，a：b=5：12，则 a= ，b= ．
13．若实数 x、y 满足 +（y+3）2=0，则 x﹣y= ．
14．点 P（﹣3，2）关于 x 轴对称的点 P′的坐标是 ．
15．直角坐标系中，点 A（2，1）向左平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位
长度后的坐标为 ．
16．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a= ．
17．（6 分）直接写出结果：（﹣ ）2= ； = ； = ．
18．如果点 P 在第二象限内，点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，那么
点 P 的坐标为 ．
19．已知点 M（a，3﹣a）是第四象限的点，则 a 的取值范围是 ．
20．已知直角三角形两直角边的长分别为 3cm，4cm，第三边上的高为 ．
21．已知点 A（0，﹣3），B（0，﹣6），点 C 在 x 轴上，若△ABC 的面积为 15，
则点 C 的坐标为 ．
22．已知边长为 a 的正三角形 ABC，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、
y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第一象限，连接 OC，则 OC 的长的最大值是 ．
三、解答题（共 56 分）
23．（6 分）计算：
（1）5 + ﹣7
（2） ×（ +3 ﹣ ）
24．（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的位置如图所示．
（1）分别写出△ABC 各个顶点的坐标；
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）请在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A′B′C′．
25．如图，在 6×6 的网格中，请你画出一个格点正方形 ABCD，使它的面积是 10
．
（2）如图，A、B 是 4×5 的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单
位 1，请在图中清晰地标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格
点 C 的位置．
26．（8 分）如图所示，已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为 A（﹣4，0），B（
2，0）．
（1）用尺规作图作出点 C，并求出点 C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．
27．（8 分）已知：如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为长方形，A（10，0），
C（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动．
（1）当△ODP 是等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标；
（2）求△ODP 周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）
28．（10 分）如图，直角三角形纸片 ACB，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，将其折叠
，使点 C 落在斜边上的点 C′，折痕为 AD；再沿 DE 折叠，使点 B 落在 DC′的延长
线上的点 B′处．
（1）求∠ADE 的度数；
（2）求折痕 DE 的长．
29．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，已知 A，B，C 三点的坐标分别为（0
，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中 a，b，c 满足关系式（a﹣2）2+
=0，|c﹣4|≤0．
（1）求 a，b，c 的值；（2）如果在第二象限内有一点 P（m，1），请用含 m 的代数式表示△AOP 的面
积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使△AOP 的面积与△ABC 的面积相等？
若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2016-2017 学年江苏省无锡市羊尖中学八年级（上）月考
数学试卷（12 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．点 P（m+3，m+1）在 x 轴上，则点 P 的坐标为（ ）
A．（2，0） B．（0，﹣2） C．（4，0） D．（0，﹣4）
【考点】点的坐标．
【分析】根据x 轴上点的纵坐标为 0 列出方程求解得到 m 的值，然后解答即可．
【解答】解：∵点 P（m+3，m+1）在 x 轴上，
∴m+1=0，
∴m=﹣1，
∴点 P（m+3，m+1）的坐标为（2，0）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记 x 轴上点的纵坐标为 0 是解题的关键．
2．如图字母 B 所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
【考点】勾股定理．
【分析】由图可知在直角三角形中，已知斜边和一直角边，求另一直角边的平方
，用勾股定理即可解答．
【解答】解：由题可知，在直角三角形中，斜边的平方=169，一直角边的平方=25
，
根据勾股定理知，另一直角边平方=169﹣25=144，即字母 B 所代表的正方形的面积是 144．
故选 C．
【点评】此题比较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平
方和等于斜边的平方．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2 +4 =6 B．3 ﹣2 =1 C． ÷ =4 D． × =
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、2 和 4 不能合并，故本选项错误；
B、结果是 ，故本选项错误；
C、结果是 2，故本选项错误；
D、结果是 ，故本选项正确；
故选 D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确求出每个式子的值是解此题的
关键．
4．在直角坐标系中，点 A（3，1），点 B（3，3），则线段 AB 的中点坐标是（
）
A．（2，3） B．（3，2） C．（6，2） D．（6，4）
【考点】坐标与图形性质．
【分析】由题意AB 的中点在线段 AB 上，即中点的横坐标为 3，再根据中点的性
质确定纵坐标即可．
【解答】解：∵点 A（3，1），点 B（3，3），线段 AB 的中点坐标在线段 AB 上
，
∴中点的横坐标为 3，纵坐标为（3+1）÷2=2，即中点的坐标为（3，2）．故选
B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的位置的确定，涉及到中点的性质
等知识点．
5．点 A（﹣3，﹣4）到原点的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【考点】勾股定理；坐标与图形性质．
【分析】根据点A 的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾
股定理求解即可．
【解答】解：∵点 A 的坐标为（﹣3，﹣4）到原点 O 的距离：OA= =5，
故选 C
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6．下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与2 被开方数相同
的二次根式．
【解答】解： =2 ；
A、 =3 ，被开方数是 2；故本选项错误；
B、 是最简二次根式，被开方数是 30；故本选项错误；
C、 =4 被开方数是 3；故本选项错误；
D、 =3 ，被开方数是 6；故本选项正确．
故选 D．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，
被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
7．如果梯子的底端离建筑物 5m，那么长为 13m 梯子可以达到该建筑物的高度
是（ ）
A．12mB．14m C．15m D．13m
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：如图所示， AB=13m ，BC=5m ，根据勾股定理 AC= =
=12m．
故选 A．
【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，熟记勾股定理是解答此题的关键
．
8．下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．3，4，5 D．3，5，7
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方
，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
【解答】解：A、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，；
B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，；
C、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+52≠72，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选 D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真
分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的
平方之间的关系，进而作出判断．
9．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长是（ ）
A．5 B．25 C． D．5 或
【考点】勾股定理．
【分析】分为两种情况：①斜边是 4 有一条直角边是 3，②3 和 4 都是直角边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：
分为两种情况：①斜边是 4 有一条直角边是 3，由勾股定理得：第三边长是
= ；
②3 和 4 都是直角边，由勾股定理得：第三边长是 =5；
即第三边长是 5 或 ，
故选 D．
【点评】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边a
、b 的平方和等于斜边 c 的平方．
10．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，1），在 x 轴上确定点 P，
使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点 P 的个数共有（ ）
A．6 个 B．5 个 C．4 个 D．3 个
【考点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定．
【分析】本题应该分情况讨论．以 OA 为腰或底分别讨论．当 A 是顶角顶点时，
P 是以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点，共有 1 个，若 OA 是底边时，
P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点，有 1 个，共有 4 个．
【解答】解：（1）若 AO 作为腰时，有两种情况，
当 A 是顶角顶点时，P 是以 A 为圆心，以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点，共有 1
个，
当 O 是顶角顶点时，P 是以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与 x 轴的交点，有 2 个
；
（2）若 OA 是底边时，P 是 OA 的中垂线与 x 轴的交点，有 1 个．
以上 4 个交点没有重合的．故符合条件的点有 4 个．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的
等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
二、填空题
11．若使二次根式 有意义，则 x 的取值范围是 x≥2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出 x 的取值范围
即可．
【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得 x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0．
12．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c．
（1）若 a=2，b=4，则 c= 2 ；
（2）若 a=2，c=4，则 b= 2 ；
（3）若 c=26，a：b=5：12，则 a= 10 ，b= 24 ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，
（1）∵a=2，b=4，
∴c= = =2 ．
故答案为：2 ；
（2）∵a=2，c=4，
∴b= = =2 ．
故答案为：2 ；
（3）∵c=26，a：b=5：12，
∴设 a=5x，则 b=12x，
∵a2+b2=c2，即（5x）2+（12x）2=262，解得 x=2，∴a=10，b=24．
故答案为：10，24．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长
的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
13．若实数 x、y 满足 +（y+3）2=0，则 x﹣y= 5 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式进行计算即可
得解．
【解答】解：由题意得，x﹣2=0，y+3=0，
解得，x=2，y=﹣3，
所以，x﹣y=2﹣（﹣3）=2+3=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0 时，这几个非负数都为
0．
14．点 P（﹣3，2）关于 x 轴对称的点 P′的坐标是 （﹣3，﹣2） ．
【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】本题须根据关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标的特点和点 P 的坐标即可求
出点 P'的坐标．
【解答】解：∵P（﹣3，2）关于 x 轴对称的点 P'的坐标是（﹣3，﹣2）
故答案为（﹣3，﹣2）．
【点评】本题主要考查了关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标的特点，解题时要结合
已知条件得出结果是本题的关键．
15．直角坐标系中，点 A（2，1）向左平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位
长度后的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【考点】坐标与图形变化-平移．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可
．
【解答】解：点A（2，1）向左平移 4 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后
的坐标为（2﹣4，1﹣2），
即（﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
16．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a= 2 ．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：由题意，得
7a﹣1=6a+1，
解得 a=2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式
后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
17．直接写出结果：（﹣ ）2= 2 ； = 3 ； = 2 ．
【考点】分母有理化；二次根式的乘除法．
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解；
乘二次根式本身即可求解．
【解答】解：：（﹣ ）2=2； =3 ； =2 ．
故答案为：2；3 ；2 ．
【点评】考查了二次根式的性质，分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本
身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
18．如果点 P 在第二象限内，点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，那么
点 P 的坐标为 （﹣3，4） ．
【考点】点的坐标．
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x 轴的距离等
于纵坐标的长度，到 y 轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：∵点P 在第二象限内，点 P 到 x 轴的距离是 4，到 y 轴的距离是 3，
∴点 P 的横坐标是﹣3，纵坐标是 4，
∴点 P 的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到 y 轴
的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
19．已知点 M（a，3﹣a）是第四象限的点，则 a 的取值范围是 a＞3 ．
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．
【分析】根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵点 M（a，3﹣a）是第四象限的点，
∴ ，
解得：a＞3，
故答案为：a＞3．
【点评】本题考查了点的坐标和解一元一次不等式组，能得出关于a 的不等式组
是解此题的关键．
20．已知直角三角形两直角边的长分别为 3cm，4cm，第三边上的高为 2.4cm ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直
接解答．
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为 3cm，4cm，∴斜边为 =5cm，
设斜边上的高为 h，
则直角三角形的面积为 ×3×4= ×5h，h=2.4cm，
这个直角三角形斜边上的高为 2.4cm．
故答案为：2.4cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常
见的题目，需同学们认真掌握．
21．已知点 A（0，﹣3），B（0，﹣6），点 C 在 x 轴上，若△ABC 的面积为 15，
则点 C 的坐标为 （10，0）或（﹣10，0） ．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】由 A、B 的坐标得出 AB 的长，设点 C（x，0），由△ABC 的面积为 15
知 ×3•|x|=15，解之求得 x 的值可得答案．
【解答】解：∵A（0，﹣3），B（0，﹣6），
∴OA=3，OB=6，
设点 C（x，0），
∵△ABC 的面积为 15，
∴ ×（OB﹣OA）×OC=15，即 ×3•|x|=15，
解得：x=10 或 x=﹣10，
∴点 C 的坐标为（10，0）或（﹣10，0），
故答案为：（10，0）或（﹣10，0）．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，设出点C 的坐标，列出关于 x 的方程
式解题的关键．
22．已知边长为 a 的正三角形 ABC，两顶点 A、B 分别在平面直角坐标系的 x 轴、
y 轴的正半轴上滑动，点 C 在第一象限，连接 OC，则 OC 的长的最大值是
．【考点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理．
【分析】根据题意可知，当 AB 的中点 D、O、C 三点共线时 OC 最长，再结合等
边三角形的性质即可得出本题的答案．
【解答】解：取 AB 中点 D，连 OD，DC，有 OC≤OD+DC，当 O、D、C 共线时，
OC 有最大值，最大值是 OD+CD．
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=AC=a，根据三角形的性质可知：OD= a，CD= = a．
∴OC= a
故答案为： a．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质；要注意直角三角形斜边中点到三顶点
距离相等，即等于斜边的一半．
三、解答题（共 56 分）
23．计算：
（1）5 + ﹣7
（2） ×（ +3 ﹣ ）
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算．
【解答】解：（1）原式=5 +2 ﹣21
=﹣14 ；
（2）原式=2 ×（5 + ﹣4 ）
=2 ×2
=12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然
后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合
题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
24．在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的位置如图所示．
（1）分别写出△ABC 各个顶点的坐标；
（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（3）请在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A′B′C′．
【考点】作图-轴对称变换；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）根据平面直角坐标系可得△ABC 各个顶点的坐标；
（2）首先利用勾股定理计算出 AB、AC、BC 长，再利用勾股定理逆定理可证出△
ABC 为等腰直角三角形；
（3）首先确定 A、B、C 三点关于 y 轴对称的对称点位置，然后再连接即可．
【解答】解：（1）A（﹣1，5），B（﹣2，0），C（﹣4，3）．
（2）△ABC 为等腰直角三角形． 理由如下：由勾股定理有： ， ，
∴AC=BC，AC2+BC2=AB2
∴△ABC 为等腰直角三角形．
（3）如图所示．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，以及勾股定理和勾股定理逆定理
，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边
长的平方；如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直
角三角形．
25．（1）如图，在 6×6 的网格中，请你画出一个格点正方形 ABCD，使它的面
积是 10．
（2）如图，A、B 是 4×5 的网格中的格点，网格中每个小正方形的边长都是单
位 1，请在图中清晰地标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格
点 C 的位置．
【考点】勾股定理．
【分析】（1）根据面积求出正方形的边长为 ，再勾股定理画出符合的图形
即可；（2）分为三种情况：①AC=BC，②AB=BC，③AC=AB，找出符合的点即可．
【解答】解：（1）使 4 条边长为 ，如图所示：
；
（2）如图 2 所示：
共 7 个点．
【点评】本题考查了正方形，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学
生的动手操作能力，比较容易出错．
26．如图所示，已知等边△ABC 的两个顶点的坐标为 A（﹣4，0），B（2，0）．
（1）用尺规作图作出点 C，并求出点 C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积．
【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质．
【分析】（1）作 CH⊥AB 于 H．根据点 A 和 B 的坐标，得 AB=6．根据等腰三角
形的三线合一的性质，得 AH=BH=3，再根据勾股定理求得 CH=3 ，从而写出点C 的坐标；
（2）根据三角形的面积公式进行计算．
【解答】解：（1）作 CH⊥AB 于 H．
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB=6．
∵△ABC 是等边三角形，
∴AH=BH=3．
根据勾股定理，得 CH=3 ，∴C（﹣1，3 ）；同理，当点 C 在第三象限时，C
（﹣1，﹣3 ）．
故 C 点坐标为：C（﹣1，3 ）或（﹣1，﹣3 ）；
（2）S△ABC= ×6×3 =9 ．
【点评】此题考查了等边三角形的性质和勾股定理，熟练运用三角形的面积公式
．x 轴上两点间的距离等于两点的横坐标的差的绝对值．
27．已知：如图，O 为坐标原点，四边形 OABC 为长方形，A（10，0），C（0，
4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动．
（1）当△ODP 是等腰三角形时，请直接写出点 P 的坐标；
（2）求△ODP 周长的最小值．（要有适当的图形和说明过程）
【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的
性质．【分析】（1）当 P1O=OD=5 或 P2O=P2D 或 P3D=OD=5 或 P4D=OD=5 时分别作 P2E
⊥OA 于 E，DF⊥BC 于 F，P4G⊥OA 于 G，利用勾股定理 P1C，OE，P3F，DG 的值
，就可以求出 P 的坐标；
（2）作点 D 关于 BC 的对称点 D′，连接 OD′交 BC 于 P，则这时的△POD 的周长
最小，即△POD 的周长=OD′+OD，根据勾股定理得到 OD′= = ，于
是得到结论．
【解答】解：（1）当 P1O=OD=5 时，由勾股定理可以求得 P1C=3，
P2O=P2D 时，作 P2E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当 P3D=OD=5 时，作 DF⊥BC，由勾股定理，得 P3F=3，
∴P3C=2；
当 P4D=OD=5 时，作 P4G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）；
（2）作点 D 关于 BC 的对称点 D′，连接 OD′交 BC 于 P，
则这时的△POD 的周长最小，
△POD 的周长=OD′+OD，
∵点 D 是 OA 的中点，
∴OD=5，DD′=8，
∴OD′= = ，
∴△POD 的周长= +5．【点评】本题考查了轴对称﹣最小距离问题，矩形的性质，坐标与图形的性质，
等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理的
运用．
28．（10 分）（2015 秋•乳山市期末）如图，直角三角形纸片 ACB，∠ACB=90°，
AB=5，AC=3，将其折叠，使点 C 落在斜边上的点 C′，折痕为 AD；再沿 DE 折叠，
使点 B 落在 DC′的延长线上的点 B′处．
（1）求∠ADE 的度数；
（2）求折痕 DE 的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）根据折叠的性质可得 DA 和 DE 分别是∠CDC′和∠BDB′的角平分线
，据此即可求解；
（2）在直角△ABC 中利用勾股定理求得 BC 的长，设 DC=DC′=x，则 BD=4﹣x，在
直角△ABC 和直角△BDC′分别利用三角函数即可得到关于 x 的方程，求得 x 的值，再在直角△ACD 中利用勾股定理求得 AD 的长，再根据∠CAD=∠BAD，则函数
值相等，据此列方程求解．
【解答】解：（1）∵∠ADC=∠ADC′，∠BDE=∠B′DE，
又∵∠ADC+∠ADC′+∠BDE+∠B′DE=180°，
∴∠ADE=90°；
（2）∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
∴BC= = =4．
由折叠可知，∠ACD′=∠ACD=90°，DC=DC′，AC′=AC=3，BC′=5﹣3=2．
设 DC=DC′=x，则 BD=4﹣x．
∵在直角△ABC 中，tan∠B= = ，
又∵在直角△BDC′中，tan∠B= = ．
∴ = ．
∴x= ，
∴AD= = ．
∵∠CAD=∠BAD，
∴tan∠CAD= =tan∠BAD= ，
∴ = ，
∴DE= ．
【点评】本题考查了图形的折叠与三角函数，角度相等则对应的三角函数值相等
，据此求得 DC 的长度是本题的关键．
29．（10 分）（2016 春•福清市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知 A，B，
C 三点的坐标分别为（0，a）（b，0）（b，c）（如图所示），其中 a，b，c 满
足关系式（a﹣2）2+ =0，|c﹣4|≤0．
（1）求 a，b，c 的值；
（2）如果在第二象限内有一点 P（m，1），请用含 m 的代数式表示△AOP 的面
积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使△AOP 的面积与△ABC 的面积相等？
若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】坐标与图形性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非
负数的性质：算术平方根；三角形的面积．
【分析】（1）由非负数的性质可求得结论；
（2）由 P 到线段 A0 的距离为|m|，由三角形的面积公式可求得结论；
（3）根据△AOP 的面积与△ABC 的面积相等激发出即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+ =0，
∴a=2，b=3，
∵|c﹣4|≤0，
∴c=4；
（2）由（1）得 A（0，2），
∵点 P（m，1）在第二象限，
∴P 到线段 A0 的距离为|m|，
∴S△AOP= ×2•|m|=|m|，
∵m＜0，
∴S△AOP=﹣m；（3）存在点 P（﹣6，1），使△AOP 的面积与△ABC 的面积相等，
理由如下：由（1）得，B（3，0），C（3，4），
∴|BC|=4，点 A 到 BC 的距离为 3，
∴S△ABC= ×3×4=6，
∵△AOP 的面积与△ABC 的面积相等，
∴﹣m=6，解得 m=﹣6，
∴存在点 P（﹣6，1），使△AOP 的面积与△ABC 的面积相等．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，三角形的面积，熟练掌
握各性质是解题的关键．
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