四川省宜宾市2017届九年级上期末数学试卷含答案解析.doc

2016-2017 学年四川省宜宾市九年级（上）期末数学试卷 　 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上．（ 注意：在试题卷上作答无效）． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 2．已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则 m 的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 3．已知 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 4．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　） A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 cosB 的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交于 点 O，若 S△DOE：S△COA=1：25，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．已知 m、n 是方程 x2+3x﹣2=0 的两个实数根，则 m2+4m+n+2mn 的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣9 8．如图 1，在三角形纸片 ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的 虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 　 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.请把答案直接填在答题 卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 9．二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　　． 10．计算 的结果为　　． 11．将方程 x2﹣4x﹣3=0 配方成（x﹣h）2=k 的形式为　　． 12．如图，在△ABC 中，G 是重心．如果 AG=6，那么线段 DG 的长为　　． 13．为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某区加大了教育经费的投入，2014 年该区投入教育经费 7000 万元，2016 年投入教育经费 8470 万元．设该区这两 年投入教育经费的年平均增长率为 x，则可列方程为　　． 14．如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，ME⊥AD 于点 E，NF⊥AB 于点 F． 若 ME=3，NM=NF=2，则 AN 的长为　　． 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x 经过点 A，作 AB⊥x 轴于点 B ，将△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△CBD，若点 B 的坐标为（2，0），则点 C 的坐标为　　．16．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，DE⊥AC，垂足为点 F，连接 BF， 下列四个结论：①△CEF∽△ACD；② =2；③sin∠CAD= ；④AB=BF．其中正 确的结论有　　（写出所有正确结论的序号）． 　 三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 17．（10 分）（1）计算： ﹣2sin60°+（1﹣ ）0﹣|﹣ |． （2）解方程：x2+6x﹣1=0． 18．（8 分）若 x= ﹣ ，y= + ，求 x2y+xy2 的值． 19．（8 分）我市某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字 经》，《弟子规》（分别用字母 A、B、C 依次表示这三个诵读材料），将 A、B、 C 这三个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面 朝上洗匀后放在桌面上．小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从中随机抽取 一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机抽取一张卡片 ，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小华诵读《弟子规》的概率是　　； （2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率． 20．（8 分）如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其 中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边有 宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？21．（8 分）如图，已知 AB∥CD，AD、BC 相交于点 E，点 F 在 ED 上，且∠CBF= ∠D． （1）求证：FB2=FE•FA； （2）若 BF=3，EF=2，求△ABE 与△BEF 的面积之比． 22．（8 分）关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0． （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）设 x1，x2 分别是方程的两个根，且满足 x12+x22=x1x2+10，求实数 m 的值． 23．（10 分）如图，已知斜坡 AB 长为 80 米，坡角（即∠BAC）为 30°，BC⊥AC ，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE． （1）若修建的斜坡 BE 的坡角为 45°，求平台 DE 的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物 GH 距离 A 处 36 米远（即 AG 为 36 米），小明在 D 处测得建 筑物顶部 H 的仰角（即∠HDM）为 30°．点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，求建筑物 GH 的高度．（结果保留根 号） 24．（12 分）已知：如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥ AB．△ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到△PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点C 出发，沿着 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s；当△PNM 停止平移时，点 Q 也 停止移动，如图②．设移动时间为 t（s）（0＜t＜4）．连接 PQ、MQ、MC．解 答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥AB？ （2）当 t=3 时，求△QMC 的面积； （3）是否存在某一时刻 t，使 PQ⊥MQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说 明理由． 　2016-2017 学年四川省宜宾市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题卡对应题目上．（ 注意：在试题卷上作答无效）． 1．下列二次根式中，是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【考点】最简二次根式． 【分析】根据各个选项中的式子，进行化简，则不能化简的选项中式子即为所求 ． 【解答】解： 是最简二次根式，故选项 A 正确， ，故选项 B 错误， ，故选项 C 错误， ，故选项 D 错误， 故选 A． 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是明确二次根式化简的方法． 　 2．已知方程 x2+mx+3=0 的一个根是 1，则 m 的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 【考点】一元二次方程的解． 【分析】根据一元二次方程的解把 x=1 代入一元二次方程得到还有 m 的一次方 程，然后解一次方程即可． 【解答】解：把 x=1 代入 x2+mx+3=0 得 1+m+3=0， 解得 m=﹣4． 故选 B． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 　 3．已知 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】比例的性质． 【分析】根据分比性质，可得答案． 【解答】解： ，则 = = ， 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，利用分比性质是解题关键． 　 4．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（　　） A．确定事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．不确定事件 【考点】随机事件． 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确 定事件， 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在 一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事 件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 　 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 cosB 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】锐角三角函数的定义． 【分析】根据余弦函数的定义即可求解． 【解答】解：cosB= = ． 故选 A． 【点评】本题考查了余弦的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边．　 6．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，且 DE∥AC，AE、CD 相交于 点 O，若 S△DOE：S△COA=1：25，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性 质定理得到答案． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA，又 S△DOE：S△COA=1：25， ∴ = ， ∵DE∥AC， ∴ = = ， ∴ = ， 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于 相似比的平方是解题的关键． 　 7．已知 m、n 是方程 x2+3x﹣2=0 的两个实数根，则 m2+4m+n+2mn 的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣5 D．﹣9 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据根与系数的关系以及一元二次方程的解即可得出 m+n=﹣3、 mn=﹣2、m2+3m=2，将其代入 m2+4m+n+2mn 中即可求出结论． 【解答】解：∵m、n 是方程 x2+3x﹣2=0 的两个实数根， ∴m+n=﹣3，mn=﹣2，m2+3m=2， ∴m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2﹣3﹣2×2=﹣5．故选 C． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握x1+x2=﹣ 、x1x2= 是解题的关键． 　 8．如图 1，在三角形纸片 ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的 虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【考点】相似三角形的判定． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故选 B． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此 题的关键． 　 二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分.请把答案直接填在答题 卡对应题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效） 9．二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　x≥5　． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0， 解得 x≥5． 故答案为：x≥5． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 　 10．计算 的结果为　2 　． 【考点】二次根式的乘除法． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则求出答案． 【解答】解：原式= = =2 ． 故答案为：2 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键． 　 11．将方程 x2﹣4x﹣3=0 配方成（x﹣h）2=k 的形式为　（x﹣2）2=7　． 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得． 【解答】解：∵x2﹣4x=3， ∴x2﹣4x+4=3+4，即（x﹣2）2=7， 故答案为：（x﹣2）2=7． 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步 骤是解题的关键． 　 12．如图，在△ABC 中，G 是重心．如果 AG=6，那么线段 DG 的长为　3　． 【考点】三角形的重心． 【分析】根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的 2 倍，直接求得结果． 【解答】解：∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的 2 倍， ∴DG= AG=3． 故答案为：3．【点评】此题考查三角形重心问题，掌握三角形的重心的性质：三角形的重心到 顶点的距离是其道对边中点的距离的 2 倍．运用三角形的中位线定理即可证明此 结论． 　 13．为进一步发展基础教育，自 2014 年以来，某区加大了教育经费的投入，2014 年该区投入教育经费 7000 万元，2016 年投入教育经费 8470 万元．设该区这两 年投入教育经费的年平均增长率为 x，则可列方程为　7000（1+x）2=8470　． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本 题，如果教育经费的年平均增长率为 x，根据 2014 年投入 7000 万元，预计 2016 年投入 8470 万元即可得出方程． 【解答】解：设教育经费的年平均增长率为 x， 则 2015 的教育经费为：7000×（1+x） 2016 的教育经费为：7000×（1+x）2． 那么可得方程：7000（1+x）2=8470． 故答案为：7000（1+x）2=8470． 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不 同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程． 　 14．如图，菱形 ABCD 中，点 M，N 在 AC 上，ME⊥AD 于点 E，NF⊥AB 于点 F． 若 ME=3，NM=NF=2，则 AN 的长为　4　． 【考点】菱形的性质． 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN 和△ AEM 相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可． 【解答】解：在菱形 ABCD 中，∠1=∠2， 又∵ME⊥AD，NF⊥AB，∴∠AEM=∠AFN=90°， ∴△AFN∽△AEM， ∴ = ， 即 = ， 解得 AN=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，相似三角形的判定与性 质，关键在于得到△AFN 和△AEM 相似． 　 15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x 经过点 A，作 AB⊥x 轴于点 B ，将△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△CBD，若点 B 的坐标为（2，0），则点 C 的坐标为　（﹣1， ）　． 【考点】坐标与图形变化-旋转． 【分析】在RT△AOB 中，求出 AO 的长，根据旋转的性质可得 AO=CD=4、OB=BD 、△OBD 是等边三角形，进而可得 RT△COE 中∠COE=60°、CO=2，由三角函数可 得 OE、CE． 【解答】解：过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，∵OB=2，AB⊥x 轴，点 A 在直线 y= x 上， ∴AB=2 ，OA= =4， ∴RT△ABO 中，tan∠AOB= = ， ∴∠AOB=60°， 又∵△CBD 是由△ABO 绕点 B 逆时针旋转 60°得到， ∴∠D=∠AOB=∠OBD=60°，AO=CD=4， ∴△OBD 是等边三角形， ∴DO=OB=2，∠DOB=∠COE=60°， ∴CO=CD﹣DO=2， 在 RT△COE 中，OE=CO•cos∠COE=2× =1， CE=CO•sin∠COE=2× = ， ∴点 C 的坐标为（﹣1， ）， 故答案为：（﹣1， ）． 【点评】本题主要考查在旋转的情况下点的坐标变化，熟知旋转过程中图形全等 即对应边相等、对应角相等、旋转角都相等的应用是解题的切入点也是关键． 　 16．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，DE⊥AC，垂足为点 F，连接 BF， 下列四个结论：①△CEF∽△ACD；② =2；③sin∠CAD= ；④AB=BF．其中正 确的结论有　①②④　（写出所有正确结论的序号）．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形． 【分析】①正确．四边形ABCD 是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF= ∠CAB，于是△AEF∽△CAB． ②正确由 AE= AD= BC，又 AD∥BC，所以 = = ． ③错误．设 CF=a，AF=2a，由 DF2=AF•CF=2a2，得 DF= a，AD= = a， 可得 sinCAD= = = ． ④正确．连接 AE，由∠ABE+∠AFE=90°，推出 A、B、E、F 四点共圆，推出∠AFB= ∠AEB，由△ABE≌△CDE，推出∠AEB=∠CED，由∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠ CED=180°，推出∠BAF=∠CED，推出∠BAF=∠BFA，即可证明． 【解答】解：过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∠ADC=90°，AD=BC，BE⊥AC 于点 F， ∴∠DAC=∠ECF，∠ADC=∠CFE=90°， ∴△CEF∽△ADC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△CEF∽△ADF， ∴ = ， ∵CE= BC= AD， ∴ = =2， ∴AF=2CE，故②正确， 设 CF=a，AF=2a，由 DF2=AF•CF=2a2，得 DF= a，AD= = a ∴sinCAD= = = ，故③错误． 连接 AE，∵∠ABE+∠AFE=90°，∴A、B、E、F 四点共圆， ∴∠AFB=∠AEB， ∵AB=CD，BE=EC，∠CDE， ∴△ABE≌△CDE， ∴∠AEB=∠CED， ∵∠BAF+∠BEF=180°，∠BEF+∠CED=180°， ∴∠BAF=∠CED， ∴∠BAF=∠BFA， ∴BA=BF，故④正确． 故答案为①②④． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定 和性质、四点共圆等知识，正确的作出辅助线是解题的关键，学会利用此时解决 问题，属于中考常考题型． 　 三、解答题：本大题共 8 小题，共 72 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤． 17．（10 分）（2016 秋•宜宾期末）（1）计算： ﹣2sin60°+（1﹣ ）0﹣|﹣ |． （2）解方程：x2+6x﹣1=0． 【考点】解一元二次方程-公式法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数 值． 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算； （2）利用公式法解方程． 【解答】解：（1）原式=2 ﹣2× +1﹣ =2 ﹣ +1﹣=1； （2）△=62﹣4×1×（﹣1）=40， x= =﹣3± ， 所以 x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方 法是公式法．也考查了实数的运算． 　 18．若 x= ﹣ ，y= + ，求 x2y+xy2 的值． 【考点】二次根式的化简求值． 【分析】利用二次根式的混合运算法则求出 x+y、xy，利用提公因式法把原式变 形，代入计算即可． 【解答】解：∵x= ﹣ ，y= + ， ∴x+y=（ ﹣ ）+（ + ）=2 ，xy=（ ﹣ ）（ + ）=1， ∴x2y+xy2=xy（x+y）=2 ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、提 公因式法的应用是解题的关键． 　 19．我市某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》，《三字经》，《 弟子规》（分别用字母 A、B、C 依次表示这三个诵读材料），将 A、B、C 这三 个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝上洗 匀后放在桌面上．小华和小敏参加诵读比赛，比赛时小华先从中随机抽取一张卡 片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小敏从中随机抽取一张卡片，选手 按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛． （1）小华诵读《弟子规》的概率是　 　； （2）请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）直接根据概率公式求解； （2）利用列表法展示所有 9 种等可能性结果，再找出小华和小敏诵读两个不同 材料的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）小华诵读《弟子规》的概率= ； 故答案为 ． （2）列表得： 小华 小敏 A B C A （A，A） （A，B） （A，C） B （B，A） （B，B） （B，C） C （C，A） （C，B） （C，C） 由表格可知，共有 9 种等可能性结果，其中小华和小敏诵读两个不同材料的结果 有 6 种， 所以 P（小华和小敏诵读两个不同材料）= ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能 的结果 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事 件 A 或事件 B 的概率． 　 20．如图，某小区有一块长为 30m，宽为 24m 的矩形空地，计划在其中修建两 块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等 的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？ 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设人行通道的宽度为 x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m ，宽为（24﹣2x）m，根据矩形绿地的面积为 480m2，即可列出关于 x 的一元二 次方程，解方程即可得出 x 的值，经检验后得出 x=20 不符合题意，此题得解． 【解答】解：设人行通道的宽度为x 米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x ）m，宽为（24﹣2x）m，由已知得：（30﹣3x）•（24﹣2x）=480， 整理得：x2﹣22x+40=0， 解得：x1=2，x2=20， 当 x=20 时，30﹣3x=﹣30，24﹣2x=﹣16， 不符合题意， 故人行通道的宽度为 2 米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x 的一元二次 方程是解题的关键． 　 21．如图，已知 AB∥CD，AD、BC 相交于点 E，点 F 在 ED 上，且∠CBF=∠D． （1）求证：FB2=FE•FA； （2）若 BF=3，EF=2，求△ABE 与△BEF 的面积之比． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】（1）要证明 FB2=FE•FA，只要证明△FBE∽△FAB 即可，根据题目中的 条件可以找到两个三角形相似的条件，本题得以解决； （2）根据（1）中的结论可以得到 AE 的长，然后根据△ABE 与△BEF 如果底边 分别为 AE 和 EF，则底边上的高相等，面积之比就是 AE 和 EF 的比值． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠A=∠D． 又∵∠CBF=∠D， ∴∠A=∠CBF， ∵∠BFE=∠AFB， ∴△FBE∽△FAB， ∴ ∴FB2=FE•FA；（2）∵FB2=FE•FA，BF=3，EF=2 ∴32=2×（2+AE） ∴ ∴ ， ∴△ABE 与△BEF 的面积之比为 5：4． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求 问题需要的条件． 　 22．关于 x 的一元二次方程 x2﹣（2m﹣1）x+m2+1=0． （1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围； （2）设 x1，x2 分别是方程的两个根，且满足 x12+x22=x1x2+10，求实数 m 的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立 关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围； （ 2 ） 利 用 根 与 系 数 的 关 系 可 以 得 到 x1+x2=2m﹣1 ， x1•x2=m2+1 ， 再 把 x12+x22=x1x2+10 利用完全平方公式变形为（x1+x2）2﹣3x1•x2=10，然后代入计算即 可求解． 【解答】解：（1）由题意有△=（2m﹣1）2﹣4（m2+1）≥0， 解得 m≤﹣ ， 所以实数 m 的取值范围是 m≤﹣ ； （2）由根与系数的关系得：x1+x2=2m﹣1，x1•x2=m2+1， ∵x12+x22=x1x2+10， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=x1x2+10， ∴（2m﹣1）2﹣3（m2+1）=10， ∴2m2+9m﹣5=0， 解得 m1=6，m2=﹣2， ∵m≤﹣ ，∴m=6 舍去， ∴m=﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得 出的结果必须满足△≥0 的条件． 　 23．（10 分）（2016 秋•宜宾期末）如图，已知斜坡 AB 长为 80 米，坡角（即∠ BAC）为 30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点 D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修 建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE． （1）若修建的斜坡 BE 的坡角为 45°，求平台 DE 的长；（结果保留根号） （2）一座建筑物 GH 距离 A 处 36 米远（即 AG 为 36 米），小明在 D 处测得建 筑物顶部 H 的仰角（即∠HDM）为 30°．点 B、C、A、G、H 在同一个平面内， 点 C、A、G 在同一条直线上，且 HG⊥CG，求建筑物 GH 的高度．（结果保留根 号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问 题． 【分析】（1）根据题意得出∠BEF=45°，解直角△BDF，求出 BF，DF，进而得出 EF 的长，即可得出答案； （2）利用在 Rt△DPA 中，DP= AD，以及 PA=AD•cos30°进而得出 DM 的长，利 用 HM=DM•tan30°得出即可． 【解答】解：（1）∵修建的斜坡 BE 的坡角为 45°， ∴∠BEF=45°， ∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=40， ∴BF=EF= BD=20，DF= ， ∴DE=DF﹣EF=20 ﹣20，∴平台 DE 的长为（20 ﹣20）米； （2）过点 D 作 DP⊥AC，垂足为 P． 在 Rt△DPA 中，DP= AD= ×40=20，PA=AD•cos30°=20 ， 在矩形 DPGM 中，MG=DP=20，DM=PG=PA+AG=20 +36． 在 Rt△DMH 中，HM=DM•tan30°=（20 +36）× =20+12 ， 则 GH=HM+MG=20+12 +20=40+12 ． 答：建筑物 GH 高为（40+12 ）米． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及仰角俯角问 题，根据图形构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键． 　 24．（12 分）（2016 秋•宜宾期末）已知：如图①，在平行四边形 ABCD 中， AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB．△ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到△PNM，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s；当△PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图②．设移动时间为 t（s）（0＜t＜4）．连 接 PQ、MQ、MC．解答下列问题： （1）当 t 为何值时，PQ∥AB？ （2）当 t=3 时，求△QMC 的面积； （3）是否存在某一时刻 t，使 PQ⊥MQ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说 明理由．【考点】四边形综合题；一元二次方程的解；三角形的面积；相似三角形的判定 与性质． 【分析】（1）根据勾股定理求出 AC，根据 PQ∥AB，得出关于 t 的比例式，求 解即可； （2）过点 P 作 PD⊥BC 于 D，根据△CPD∽△CBA，列出关于 t 的比例式，表示 出 PD 的长，再根据 S△QMC= QC•PD，进行计算即可； （3）过点 M 作 ME⊥BC 的延长线于点 E，根据△CPD∽△CBA，得出 ， ，再根据△PDQ∽△QEM，得到 ，即 PD•EM=QE•DQ，进 而得到方程 = ，求得 或 t=0（舍去），即可 得出当 时，PQ⊥MQ． 【解答】解：（1）如图所示，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB， ∴Rt△ABC 中，AC=4， 若 PQ∥AB，则有 ， ∵CQ=PA=t，CP=4﹣t，QB=5﹣t， ∴ ， 即 20﹣9t+t2=t2， 解得 ， 当 时，PQ∥AB； （2）如图所示，过点 P 作 PD⊥BC 于点 D， ∴∠PDC=∠A=90°， ∵∠PCD=∠BCA ∴△CPD∽△CBA， ∴ ， 当 t=3 时，CP=4﹣3=1， ∵BA=3，BC=5，∴ ， ∴ ， 又∵CQ=3，PM∥BC， ∴ ； （3）存在时刻 ，使 PQ⊥MQ， 理由如下：如图所示，过点 M 作 ME⊥BC 的延长线于点 E， ∵△CPD∽△CBA， ∴ ， ∵BA=3，CP=4﹣t，BC=5，CA=4， ∴ ， ∴ ， ． ∵PQ⊥MQ， ∴∠PDQ=∠QEM=90°，∠PQD=∠QME， ∴△PDQ∽△QEM， ∴ ，即 PD•EM=QE•DQ． ∵ ， ， ， ∴ = ， 即 2t2﹣3t=0， ∴ 或 t=0（舍去）， ∴当 时，PQ⊥MQ．【点评】此题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定 理、平行线的性质、三角形的面积计算的综合应用，解决问题的关键是根据题意 画出图形，作出辅助线，构造相似三角形．