豫南九校2017—2018学年上期第三次联考
高二数学（理）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1—5 DBBAA 6—10 CDCBA 11—12 AB
1．D
【解析】抛物线y＝－x2的标准方程为x2＝－4y开口向下p＝2，＝1，故焦点为．
2．B
【解析】cos B＝＝＝．所以B＝60°，所以A＋C＝120°． 故选B．
3．B
【解析】双曲线离心率知，，只有选项B符合．
4．A
【解析】因为，所以=11，因为=143，=，所以=2，所以===，故选A．
5．A
【解析】取可知命题正确，又，所以命题正确． 故选A．
6．C
【解析】由题意得每段重量构成等差数列，且，所以5段重量之和为,故原有的金箠的重量为15斤． 故选C．
7．D
【解析】用“点差法”容易求出直线方程为，但若将代入
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整理得方程，易知，所以满足题设的直线不存在．
8．C
【解析】由可知，即；而
，所以，即等差数列前6项为负，最小值为．故选C．
9．B
【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，
则，
当且仅当，即x＝80 (负值舍去)时取等号，故选B．
10．A
【解析】由正弦定理得
而（当且仅当时取等号）．所以 即，又，故，
．故选A．
11．A
【解析】 法一：设联立与消元可得 ，所以，由得即 ，而所以．由教材中 结论知通径最短；故选A．
法二：当时，由抛物线性质的“二级结论”知：过两点的直线必过定点，易得．
12． B
【解析】设公差为，由题可知已知 求的取值范围；可转化
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为已知求的取值范围．作出 不等式所对应的平面区域（如图所示），易得目 标函数过，过 ．故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15． 16．⑤
【解析】
13．由题意得，，所以双曲线方程为．
14．设两数为x，y，则，故
，当且仅当，即x＝6，y＝4时等号 成立，故积应为．
15．由题意知AB＝2，AC＝AD＝1．设BD＝DC＝m．
在△ADB与△ADC中，由余弦定理得:
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，
AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC．
即1＋m2－2mcos∠ADB＝4，①
1＋m2＋2mcos∠ADB＝1． ②
①＋②得m2＝，所以m＝，即BC＝．
又cos∠BAC＝＝＝－，
所以sin ∠BAC＝，所以．
16．①不正确，应为≥0；
②不正确，若为椭圆则需满足；
③不正确，边化角：，即三角形 必为等腰三角形;
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④不正确，当数列是常数列时不成立；
⑤正确，由题得恒成立,令
数形结合易知时有最小值，即有最大值，故正确．
综上命题中正确的是⑤．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分10分）
18．解：
（1）设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根 据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x． …………………4分
（2）由（1）可得点A的坐标是(4，4)，……………………5分
由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－． ……………………8分
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为，②……………………10分
联立①②，解得x＝，y＝，……………………11分
所以点N的坐标为．…………………………12分
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19．解：
（1）因为，
所以，解得，．
当时，，显然当时，也满足．
所以．…………6分
（2）＝＋＋＋…＋，
＝＋＋＋…＋，
所以 即
又当
综上：…………12分
20．解：
（1）在坐标系中作出区域(如图)，圆的圆心为
，半径为，通过左右平移圆可观察到圆 与直线和相 切是取值的临界条件．当圆与 相切时，则，由圆心 位置可得；当圆与相切时，，
所以．…………………6分
（2）若命题为真命题 ,则，解得．因为命题为假命题， 为真命题,所以中一真一假,
若真假,则;若假真,则,
综上，实数的取值范围为． ……………………12分
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21．解：
（）∵
,
．……………3分
∵，∴，，
又∵是锐角三角形，∴，…………………………4分
又∵，，，解出或．…5分
又∵由正弦定理，∴，
∴在锐角中，，………………………6分
∴，∵在中，，
∴，∴．综上．…………………7分
（2）∵，，
∴或，在中，，…………8分
又∵
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．……………10分
令，原式
．……11分
∵在中，．∴，，
，∴．
所以原式的取值范围是．……………12分
22．解：
（1）由左焦点(－c,0)，上顶点(0，b)关于直线y＝－x对称，得b＝c，
将点P(，)代入椭圆得＋＝1，
又a2＝b2＋c2，联立解得a2＝2，b2＝1，
故椭圆E的标准方程为＋y2＝1． …………………………4分
（2）证明：联立直线l和椭圆E的方程，得
消去y并整理，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，………………………6分
因为直线l和椭圆E有且仅有一个交点，
所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，
化简并整理，得m2＝2k2＋1． ……………………………7分
因为直线MQ与l垂直，
所以直线MQ的方程为y＝－(x－1)，
联立解得……………………9分
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所以x2＋y2＝
＝＝＝，………………………11分
把m2＝2k2＋1代入上式得x2＋y2＝2．所以点Q总在定圆上．………12分
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