2017—2018学年度高三期中考试
高三数学(理)试题
2017．11
1．答题前。先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答。答案必须写在答题纸指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
A． B． C． D．
2．已知函数
A．1 B． C． D．0
3．设向量的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设的大小关系为
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．a >c>b
5．已知，且角终边上一点[KS5UKS5UKS5U]
A． B． C． D．
6．已知实数x，y满足约束条件的最大值是
A． C．4 C． D.7
7．中，，则BC边上中线AD的长为
A． B． C． D．
8．已知函数是R上的偶函数，在上是单调递减函数．下列命题：
命题上单调递增且的最大值；[KS5UKS5U]
命题，则实数a的取值范围是．
则下列命题为真的是：
A． B． C． D．
9．关于函数的单调性和零点情况说法正确的是
A．在定义域上恒为单调递增函数；在上无零点；
B．在定义域上有增也有减；在上有零点；
C．在定义域上恒为单调递增函数；在(1，e)上有唯一零点；
D．在定义域上有增也有减；在上有零点．
10．成等比数列，则的形状为
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
11．若方程仅有一个实数根，则实数k的取值集合是
A． B． C．[0，1) D．
12．已知是定义在R上的奇函数，，则
等于
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13．等差数列的前n项和为，且的通项公式__________.
14．在上任取实数，方程有实根的概率为_________．
15．函数上的极大值为___________．
16．若在在处的切线方程为___________.[KS5UKS5U.KS5U
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明.
17．(本题满分12分)已知.
(I)若时，恰取得最值，求角和此时的最值；
(Ⅱ)若的值.
18．(本题满分12分)
中，角A、B、C对应的边分别为.
(I)若的面积S；
(Ⅱ)若的值.
19．(本题满分12分)已知数列的前n项和为恰为等比数列的连续前后两项，b2=27．[KS5UKS5U]
(I)求数列、的通项公式；
(Ⅱ)设的前n项和为，请分析，是否存在正整数，使？若有，求出n；若没有，请分析给出理由．
20．(本题满分12分)
某体检中心开展综合身体指标检查的同时，可以按一定的测算公式对受检人身体综合素质情况进行综合评价赋分(百分制)，为单位和个人作为参考使用．现选取某单位拟招录的同一年龄段的n名新员工身体素质综合得分作为样本，按照得分分布分成5组，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，得分分布情况绘制为频率分布直方图如下表所示：现已知得分在50—60之间被淘汰的人数为2．
(I)求出a和n的值；[KS5UKS5U.KS5U
(Ⅱ)若成绩落在[80，100]中的来自城市和乡村的人数比为1：2，，现从申选择6名作为飞行员培养人选，求飞行员培养人选中来自城市的人选不多于按分层抽样应有的人数的概率．
21．(本题满分12分)
已知函数.
(I)分析函数在定义域上的单调性；
(Ⅱ)已知上有实根，求实数a的取值范围.
22．(本题满分10分)
已知函数.
(I)若，解不等式；
(Ⅱ)若，试证明，不存在对任意都恒成立．
2017-2018学年度高三期中考试
高三数学（理）试题参考答案及评分标准 2017.11
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5．BAACD 6-10 BCCCD 11-12 DB
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．
13． 14． 15． 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，
17．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)
…………………………3分
所以
因为，所以…………………………4分
可以看出只有当时，有最小值，
即时取得最小值…………………6分
此时
所以，，有最小值………………………7分
(Ⅱ)
所以(*)…………………….8分
因为
………………………10分
将(*)式代入上式得:
…………………12分
18．（本题满分12分）
解: (Ⅰ)因为与的夹角为的补角, ,
所以 [KS5UKS5U.KS5U
所以,因为
所以…………………………2分[KS5UKS5UKS5U]
所以……………………4分
(Ⅱ)
所以
因为,所以
所以………………………………7分
所以
所以………………………………9分
,所以…………10分
由正弦定理:
所以,解得:………………………………12分
19．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)由
(i)时，得………………2分
(ii)时，由…………5分
可以看出时也符合上式
所以，对任意，都有…………………6分[KS5UKS5U]
(Ⅱ) 设等比数列的首项，公比为，计算可得：
恰为等比数列的连续前后两项，所以……7分
，所以[KS5UKS5UKS5U]
所以
………………………9分
可以看出，随着的增大而增大
计算得
时,,且总有
所以,不存在正整数,使 ……………………………12分
20．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)由频率分布直方图的特点：
可得：
解得……3分
之间的人数为人，频率为
所以…………………6分
(Ⅱ) 设飞行员培养人选中来自城市的人选不多于按分层抽样应有的人数为事件,
成绩落在[80，100]中的总人数为人
其中来自城市和乡村的人数比为,所以人中,有来自城市人,来自乡村的人.
从中选择的6名作为飞行员培养人选中,若按分层抽样应该得到的人数分别为名和名……………………………8分
由题意,要求来自城市的不多于按分层抽样应有的人数,人中来自城市的人数
可能为或人,或人……………………………9分
从人中选取人的总方法种数为种,
来自城市的人数为的方法种数为种, 来自城市的人数为的方法种数为种
来自城市的人数为的方法种数为种
由等可能性事件的概率,
所以
所以飞行员培养人选中来自城市的人选不多于按分层抽样应有的人数的概率为…12分
21．（本题满分12分）
解：(Ⅰ)函数 的定义域为
…………………1分
令，为开口向上的二次函数，，
（1）当时，，二次函数图像与轴无交点
对所有，恒成立，所以恒成立
所以时，函数 在定义域上
恒为单调递增函数…………………………2分
（2）当或时，，二次函数图像与轴有两交点，令
得两交点横坐标分别为
(i)如果，二次函数对称轴，位于轴左侧，由
所以在上，函数恒成立
所以在上,
所以时，函数定义域上恒为单调递增函数…………………4分
（ii）当时，次函数对称轴，位于轴右侧，由
由二次函数的性质，可以得到：
当时，，所以；
当时，，所以
当时，，所以
所以，当时，函数在区间上为单调递增函数；[KS5UKS5U]
在区间上为单调递减函数；
在区间上为单调递增函数…………………5分
综上可得：时，函数 在定义域上恒为单调递增函 数；当时，函数在区间上为单调递增函数；
在区间上为单调递减函数；
在区间上为单调递增函数.
(其中 )……………6分
(Ⅱ)
由,得:…………………………7分
令
令,得……………………8分
列出在的变化情况如下表：
…………………11分
由题意可知，有解，即存在，使成立，
所以…………………………………12分
22．（本题满分10分）
解: (Ⅰ) 时,
当时,,所以
当时, ,所以
当时,,所以
综上,有……………………………3分
(i)当时,
得: ,即,解得:
由,得:
(ii) 当时, ,由
得: ,即,解得:
由,得
(iii)当时,
即:,解得:
考虑条件,所以此时无解.
综合(i)(ii)(iii) 可得：不等式的解集合为
即的解集为…………………6分
(Ⅱ)因为，所以
(i) 当，
等号当且仅当成立
即对任意，当且仅当时，
又,对任意,
对任意，都有恒成立
所以必有
即
得,与矛盾,所以这时不存在…………………8分
(ii) 当，
等号当且仅当成立
即对任意，当且仅当时，
对任意，都有恒成立
所以必有
即
得,与矛盾,所以这时不存在.
综合（i）(ii)可得：不存在，使对任意都恒成立……………………………10分
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