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武汉市2016-2017高一上学期数学期末试卷(含解析人教A版)

时间:2017-02-09 11:19:57作者:佚名试题来源:网络
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2016-2017学年湖北省武汉市高一(上)期末数学试卷
 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.全集U={﹣1,0,1,2,3,4,5,6 },A={3,4,5 },B={1,3,6 },那么集合{ 2,﹣1,0}是(  )
A.  B.  C.∁UA∩∁UB D.
2.已知tan60°=m,则cos120゜的值是(  )
A.  B.  C.  D.﹣
3.下列函数是奇函数的是(  )
A.f(x)=x2+2|x| B.f(x)=x•sinx C.f(x)=2x+2﹣x D.
4.在平行四边形ABCD中,A(5,﹣1),B(﹣1,7),C(1,2),则D的坐标是(  )
A.(7,﹣6) B.(7,6) C.(6,7) D.(﹣7,6)
5.下列各命题中不正确的是(  )
A.函数f(x)=ax+1(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,1)
B.函数 在[0,+∞)上是增函数
C.函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上是增函数
D.函数f(x)=x2+4x+2在(0,+∞)上是增函数
6.若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后的图象的对称轴为(  )
A.x= ﹣ (k∈Z) B.x= + (k∈Z) C.x= ﹣ (k∈Z) D.x= + (k∈Z)
7.我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下的公式计算: (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1=70dB的声音强度为I1,η2=60dB的声音强度为I2,则I1是I2的(  )
A. 倍 B.10倍 C. 倍 D. 倍
8.△ABC中,D在AC上,且 ,P是BD上的点, ,则m的值是(  )
A.  B.  C.  D.1
9.函数 ,若f[f(﹣1)]=1,则a的值是(  )
A.2 B.﹣2 C.  D.
10.已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是(  )
A.  B.  C.  D.
11.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(x+1)=0,且在[﹣3,﹣2]上f(x)=2x+5,A、B是三边不等的锐角三角形的两内角,则下列不等式正确的是(  )
A.f(sinA)>f(sinB) B.f(cosA)>f(cosB) C.f(sinA)>f(cosB) D.f(sinA)<f(cosB)
12.已知函数 ,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围是(  )
A.(0,2) B.(2,+∞) C.(2,4) D.(4,+∞)
 
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数 的定义域是  .
14.已知tanα=2,则 =  .
15.已知 , ,则tanα的值为  .
16.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3, , ,若向量 ,则x+y=  .
 
三、解答题:本大题共6个小题,共70分.其中第17题10分,第18题至第22题每题12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)求值:(1) +log318﹣log36+
(2)A是△ABC的一个内角, ,求cosA﹣sinA.
18.(12分)(1)已知向量 , , ,若 ,试求x与y之间的表达式.

(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足 ,求证:A、B、C三点共线,并求 的值.
19.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)( )的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)函数y=f(x)的图象可以由y=sinx的图象变换后得到,请写出一种变换过程的步骤(注明每个步骤后得到新的函数解析式).
 
20.(12分)某同学在利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+t(其中A>0, )的图象时,列出了如表格中的部分数据.
x       
 
  
ωx+ϕ 0 
π 

f(x)    6                    ﹣2   
(1)请将表格补充完整,并写出f(x)的解析式.
(2)若 ,求f(x)的最大值与最小值.
21.(12分)已知函数 ,θ∈[0,2π)
(1)若函数f(x)是偶函数:①求tanθ的值;②求 的值.
(2)若f(x)在 上是单调函数,求θ的取值范围.
22.(12分)若函数f(x)对于定义域内的任意x都满足 ,则称f(x)具有性质M.
(1)很明显,函数 (x∈(0,+∞)具有性质M;请证明 (x∈(0,+∞)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
(2)已知函数g(x)=|lnx|,点A(1,0),直线y=t(t>0)与g(x)的图象相交于B、C两点(B在左边),验证函数g(x)具有性质M并证明|AB|<|AC|.
(3)已知函数 ,是否存在正数m,n,k,当h(x)的定义域为[m,n]时,其值域为[km,kn],若存在,求k的范围,若不存在,请说明理由.
 
 

2016-2017学年湖北省武汉市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.全集U={﹣1,0,1,2,3,4,5,6 },A={3,4,5 },B={1,3,6 },那么集合{ 2,﹣1,0}是(  )
A.  B.  C.∁UA∩∁UB D.
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】根据补集与交集的定义,即可得出{﹣1,0,2}=(∁UA)∩(∁UB).
【解答】解:全集U={﹣1,0,1,2,3,4,5,6 },
A={3,4,5 },B={1,3,6 },
∁UA={﹣1,0,1,2,6},
∁UB={﹣1,0,2,4,5},
∴(∁UA)∩(∁UB)={ 2,﹣1,0}.
故选:C.
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目.
 
2.已知tan60°=m,则cos120゜的值是(  )
A.  B.  C.  D.﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.
【分析】利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式求得cos120゜的值.
【解答】解:tan60°=m,则cos120°=cos260°﹣sin260°= = = ,
故选:B.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式的应用,属于基础题.
 
3.下列函数是奇函数的是(  )
A.f(x)=x2+2|x| B.f(x)=x•sinx C.f(x)=2x+2﹣x D.
【考点】函数奇偶性的判断.
【分析】运用奇偶性的定义,逐一判断即可得到结论.
【解答】解:A,f(x)=x2+2|x|,由f(﹣x)=x2+2|﹣x|=f(x),为偶函数;
B,f(x)=x•sinx,由f(﹣x)=﹣xsin(﹣x)=xsinx=f(x),为偶函数;
C,f(x)=2x+2﹣x,由f(﹣x)=2﹣x+2x=f(x),为偶函数;
D,f(x)= ,由f(﹣x)= =﹣ =﹣f(x),为奇函数.
故选:D.
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断,注意运用定义法,考查运算能力,属于基础题.
 
4.在平行四边形ABCD中,A(5,﹣1),B(﹣1,7),C(1,2),则D的坐标是(  )
A.(7,﹣6) B.(7,6) C.(6,7) D.(﹣7,6)
【考点】平面向量的坐标运算.
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等,得出向量则 = ,列出方程求出D点的坐标
【解答】解:▱ABCD中,A(5,﹣1),B(﹣1,7),C(1,2),设D点的坐标为(x,y),
则 = ,
∴(﹣6,8)=(1﹣x,2﹣y),
∴ ,
解得x=7,y=﹣6;
∴点D的坐标为(7,﹣6).
故选:A
【点评】本题考查了向量相等的概念与应用问题,是基础题目.
 
5.下列各命题中不正确的是(  )
A.函数f(x)=ax+1(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,1)
B.函数 在[0,+∞)上是增函数
C.函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在(0,+∞)上是增函数
D.函数f(x)=x2+4x+2在(0,+∞)上是增函数
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】A,由a0=1可判定;
B,根据幂函数的性质可判定;
C,函数f(x)=logax(a>1)在(0,+∞)上是增函数;
D,由函数f(x)=x2+4x+2的单调增区间为(﹣2,+∞)可判定;
【解答】解:对于A,∵a0=1∴函数f(x)=ax+1(a>0,a≠1)的图象过定点(﹣1,1),正确;
对于B,根据幂函数的性质可判定,函数 在[0,+∞)上是增函数,正确;
对于C,函数f(x)=logax(a>1)在(0,+∞)上是增函数,故错;
对于D,函数f(x)=x2+4x+2的单调增区间为(﹣2,+∞),故在(0,+∞)上是增函数,正确;
故选:C.
【点评】本考查了命题真假的判定,涉及了函数的性质,属于基础题.
 
6.若将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,则平移后的图象的对称轴为(  )
A.x= ﹣ (k∈Z) B.x= + (k∈Z) C.x= ﹣ (k∈Z) D.x= + (k∈Z)
【考点】正弦函数的对称性;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案.
【解答】解:将函数y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度,得到y=2sin2(x+ )=2sin(2x+ ),
由2x+ =kπ+ (k∈Z)得:x= + (k∈Z),
即平移后的图象的对称轴方程为x= + (k∈Z),
故选:B.
【点评】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质,属于中档题.
 
7.我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为I的声波,其音量的大小η可由如下的公式计算: (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1=70dB的声音强度为I1,η2=60dB的声音强度为I2,则I1是I2的(  )
A. 倍 B.10倍 C. 倍 D. 倍
【考点】对数的运算性质.
【分析】由题设中的定义,将音量值代入 ,计算出声音强度I1与声音强度I2的值,再计算出即可求出倍数
【解答】解:由题意,令70=10lg ,解得,I1=I0×107,令60=10lg ,解得,I2=I0×106,
所以 =10
故选:B.
【点评】本题考查对数的计算与对数性质在实际中的应用,熟练掌握对数运算性质是解答的关键
 
8.△ABC中,D在AC上,且 ,P是BD上的点, ,则m的值是(  )
A.  B.  C.  D.1
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】由已知可得 ,进而可得 = ,由P是BD上的点,可得m+ =1,即可得到m.
【解答】解:∵ ,
∴ ,
∴ = ,
∵P是BD上的点,
∴m+ =1.
∴m= .
故选:A
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,三点共线的充要条件,难度中档.
 
9.函数 ,若f[f(﹣1)]=1,则a的值是(  )
A.2 B.﹣2 C.  D.
【考点】分段函数的应用;函数的值.
【分析】由已知中函数 ,将x=﹣1代入,构造关于a的方程,解得答案.
【解答】解:∵函数 ,
∴f(﹣1)=2,
∴f[f(﹣1)]=  =  =1,
解得:a=﹣2,
故选:B
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数求值,难度不大,属于基础题.
 
10.已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是(  )
A.  B.  C.  D.
【考点】函数的图象.
【分析】先判断函数的奇偶性和,再令x= 时,f( )=﹣ <0,问题得以解决.
【解答】解:f(x)=x2•sin(x﹣π)=﹣x2•sinx,
∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2•sin(﹣x)=x2•sinx=﹣f(x),
∴f(x)奇函数,
∵当x= 时,f( )=﹣ <0,
故选:D
【点评】本题考查了函数图象的识别,关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点,属于基础题.
 
11.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(x+1)=0,且在[﹣3,﹣2]上f(x)=2x+5,A、B是三边不等的锐角三角形的两内角,则下列不等式正确的是(  )
A.f(sinA)>f(sinB) B.f(cosA)>f(cosB) C.f(sinA)>f(cosB) D.f(sinA)<f(cosB)
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】由题意可知:函数的周期为2,根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f(x)在[0,1]上为单调减函数,由A,B是锐角三角形的两个内角,求得A,B的取值范围,根据函数的单调性即可求得答案.
【解答】解:由f(x)+f(x+1)=0,
∴f(x+2)=f(x),
∴函数的周期为2,
∵f(x)在[﹣3,﹣2]上为增函数,
∴f(x)在[﹣1,0]上为增函数,
∵f(x)为偶函数,
∴f(x)在[0,1]上为单调减函数.
∵在锐角三角形中,π﹣A﹣B< ,
∴A+B> ,
∴ ﹣B<A,
∵A,B是锐角,
∴0< ﹣B<A< ,
∴sinA>sin( ﹣B)=cosB,
∴f(x)在[0,1]上为单调减函数.
∴f(sinA)<f(cosB),
故选D.
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和周期性的应用,以及三角函数的图象和性质,诱导公式的应用,综合性较强,涉及的知识点较多,属于中档题.
 
12.已知函数 ,若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则实数a的取值范围是(  )
A.(0,2) B.(2,+∞) C.(2,4) D.(4,+∞)
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求a的范围.
【解答】解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点
∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,
由于y=x2在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增,
要使函数f(x)在[0,+∞)不单调,
即有a2>2a,由g(a)=a2﹣2a,g(2)=g(4)=0,
可得2<a<4.即a∈(2,4),
故选C.
 
【点评】本题考查函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合的数学思想,属于中档题.
 
二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数 的定义域是 (﹣1,3)∪(3,+∞) .
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由x+1>0且x﹣3≠0,解不等式即可得到所求定义域.
【解答】解:由x+1>0且x﹣3≠0,
可得x>﹣1且x≠3,
则定义域为(﹣1,3)∪(3,+∞),
故答案为:(﹣1,3)∪(3,+∞),
【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意运用对数真数大于0,分式分母不为0,属于基础题.
 
14.已知tanα=2,则 =   .
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】利用诱导公式对所求的关系式进行化简,再弦化切即可得答案.
【解答】解:∵tanα=2,
∴ =
= .
故答案为: .
【点评】本题考查诱导公式与同角三角函数基本关系的运用,“弦”化“切”是关键,考查运算能力,属于基础题.
 
15.已知 , ,则tanα的值为   .
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】根据诱导公式,可得cosα= ,进而利用同角三角函数的基本关系公式,可得答案.
【解答】解:∵ ,
∴cosα= ,
∵ ,
∴sinα=﹣ =﹣ ,
∴tanα= = ,
故答案为: .
【点评】本题考查的知识点是诱导公式,同角三角函数的基本关系公式,难度基础.
 
16.矩形ABCD中,|AB|=4,|BC|=3, , ,若向量 ,则x+y=   .
【考点】向量在几何中的应用.
【分析】以B为坐标原点建立坐标系,求出各个向量的坐标,进而构造关于x,y的方程组,解得答案.
【解答】解:以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系:
 
∵|AB|=4,|BC|=3, , ,
∴ =(4,1), =(2,3), =(4,3),
∵ ,
∴ ,
两式相加得:5(x+y)=7,
故x+y= ,
故答案为: .
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,向量共线的充要条件,难度中档.
 
三、解答题:本大题共6个小题,共70分.其中第17题10分,第18题至第22题每题12分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(10分)(2016秋•武汉期末)求值:(1) +log318﹣log36+
(2)A是△ABC的一个内角, ,求cosA﹣sinA.
【考点】同角三角函数基本关系的运用;对数的运算性质.
【分析】(1)利用分数指数幂的运算法则,诱导公式求得所给式子的值.
(2)利用同角三角函数的基本关系,求得cosA﹣sinA的值.
【解答】解:(1) +log318﹣log36+ =3﹣2+log3 +(tan )•(﹣cos )
=3﹣2+1﹣sin =3﹣2+1﹣ = .
(2)解:∵A是△ABC的一个内角, ,∴cosA<0,
∴ = .
【点评】本题主要考查分数指数幂的运算法则、诱导公式的应用,同角三角函数的基本关系,属于基础题.
 
18.(12分)(2016秋•武汉期末)(1)已知向量 , , ,若 ,试求x与y之间的表达式.

(2)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足 ,求证:A、B、C三点共线,并求 的值.
【考点】向量在几何中的应用;平行向量与共线向量;向量的线性运算性质及几何意义.
【分析】(1)由可得已知 ,结合 ,可得x(y﹣2)=(x+4)y,整理可得答案;
(2)由已知可得: ,结合 有公共点C,可得:A、B、C三点共线,进而可得 的值.
【解答】(1)解:∵向量 , , ,

∵ ,
∴x(y﹣2)=(x+4)y,∴x=﹣2y;
(2)证明:∵ .
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ 有公共点C,
∴A、B、C三点共线
且 =2.
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,向量共线的充要条件,难度中档.
 
19.(12分)(2016秋•武汉期末)函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)( )的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)函数y=f(x)的图象可以由y=sinx的图象变换后得到,请写出一种变换过程的步骤(注明每个步骤后得到新的函数解析式).
 
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】(1)由函数图象得A=2, ,结合范围 ,可求ϕ,由 ,结合 ,可求ω,即可得解函数解析式.
(2)由题意利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.
【解答】解:(1)由函数图象可得:A=2,f(0)=﹣1,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,…
∴ ,
∵ ,
∴k=1,ω=3,…
∴ .…(6分)
(2)把y=sinx(x∈R)的图象向右平移 个单位,可得y=sin(x﹣ )的图象;
把所得图象上各点的横坐标变为原来的 倍,可得y=sin(3x+ )的图象;
再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,可得y=2sin(3x+ )的图象.
(三步每步表述及解析式正确各2分,前面的步骤错误,后面的正确步骤分值减半).
【点评】本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应用,属于基础题.
 
20.(12分)(2016秋•武汉期末)某同学在利用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)+t(其中A>0, )的图象时,列出了如表格中的部分数据.
x    
   
 
 
   

ωx+ϕ 0 
π 

f(x)  2  6                  2  ﹣2  2 
(1)请将表格补充完整,并写出f(x)的解析式.
(2)若 ,求f(x)的最大值与最小值.
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象.
【分析】(1)由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组,求得A、ω、φ的值,从而可求函数解析式.
(2)由 ,可求 ,利用正弦函数的图象和性质即可得解.
【解答】解:(1)将表格补充完整如下:

 
 
 
 

ωx+ϕ 0 
π 

f(x) 2 6 2 ﹣2 2
f(x)的解析式为: .…(6分)
(2)∵ ,
∴ ,…(8分)
∴ 时,即 时,f(x)最小值为 ,
∴ 时,即 时,f(x)最大值为6…(12分)
【点评】本题考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解函数解析式,考查了正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题.
 
21.(12分)(2016秋•武汉期末)已知函数 ,θ∈[0,2π)
(1)若函数f(x)是偶函数:①求tanθ的值;②求 的值.
(2)若f(x)在 上是单调函数,求θ的取值范围.
【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.
【分析】(1)运用偶函数的图形关于y轴对称,可得 ,求得θ,即可得到tanθ;再由同角的基本关系式,化为tanθ的式子,即可得到所求值;
(2)由题意可得 或 ,结合正弦函数的图形和性质,计算即可得到所求范围.
【解答】解:(1)∵函数f(x)是偶函数,∴ ∴ (1分)
①tanθ= (4分)
② = (7分)
(2)f(x)的对称轴为 ,
 或 ,
 或 (9分),
∵θ∈[0,2π),∴ ,
∴ ,∴ ,
∴ , ,
∴ (12分)
【点评】本题考查函数的奇偶性和三角函数的求值,考查函数的单调性的判断和运用,以及运算能力,属于中档题.
 
22.(12分)(2016秋•武汉期末)若函数f(x)对于定义域内的任意x都满足 ,则称f(x)具有性质M.
(1)很明显,函数 (x∈(0,+∞)具有性质M;请证明 (x∈(0,+∞)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
(2)已知函数g(x)=|lnx|,点A(1,0),直线y=t(t>0)与g(x)的图象相交于B、C两点(B在左边),验证函数g(x)具有性质M并证明|AB|<|AC|.
(3)已知函数 ,是否存在正数m,n,k,当h(x)的定义域为[m,n]时,其值域为[km,kn],若存在,求k的范围,若不存在,请说明理由.
【考点】抽象函数及其应用.
【分析】(1)根据函数单调性的定义进行证明即可,
(2)根据函数的性质利用作差法进行判断即可,
(3)根据 函数定义域和值域的关系建立方程,进行求解即可.
【解答】解:(1)∵f( )= + =x+ =f(x),∴函数f(x)具有性质M.
任取x1、x2且x1<x2,
则f(x1)﹣f(x2)=(x1+ )﹣(x2+ )=(x1﹣x2)+( ﹣ )=(x1﹣x2)• ,
若x1、x2∈(0,1),
则0<x1x2<1,x1x2>0,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,1)上是减函数.
若x1、x2∈(1,+∞),
则x1x2>1,x1﹣x2<0,
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在(1,+∞)上是增函数.
(2)∵ ,∴g(x)具有性质M   (4分)
由|lnx|=t得,lnx=﹣t或lnx=t,x=e﹣t或x=et,
∵t>0,∴e﹣t<et,
∴ ,
∴ ,∴ ,
∴|AB|2﹣|AC|2=(1﹣e﹣t)2﹣(1﹣et)2=[2﹣(e﹣t+et)](et﹣e﹣t)
由(1)知, 在x∈(0,+∞)上的最小值为1(其中x=1时)
而 ,故2﹣(e﹣t+et)<0,et﹣e﹣t>0,
|AB|<|AC|(7分)
(3)∵h(1)=0,m,n,k均为正数,
∴0<m<n<1或1<m<n(8分)
当0<m<n<1时,0<x<1,  = 是减函数,
值域为(h(n),h(m)),h(n)=km,h(m)=kn,
∴ ,∴ ,∴1﹣n2=1﹣m2
故不存在   (10分)
当1<m<n时,x>1,  = 是增函数,
∴h(m)=km,h(n)=kn,∴ ,
∴(1﹣k)m2=1,(1﹣k)n2=1, ,不存在
综合得,若不存在正数m,n,k满足条件.                 (12分)
【点评】本题主要考查函数与方程的应用,结合新定义,以及利用函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.
 

 

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