于都三中2015-2016学年高二下学期第一次月考
数学（理科）试卷
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.下列说法中正确的是 ( )
A.“”是“函数是奇函数”的充要条件；
B．若 .则 ；
C．若为假命题,则均为假命题；
D．“若,则”的否命题是“若,则”.
2. 若椭圆+=1的焦点在轴上，且离心率为，则（ ）.
A. B. C. 或 D. 或
3．设函数f(x)可导，则 等于( )．
A．f′(1) B．3f′(1) C.f′(1) D．f′(3)
4. 曲线过点的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
5．已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当|MA|+|MF|最小时，M点坐标是( )
A．（0，0） B．（3，2） C．（2，4） D．（3，﹣2）
6．观察下图：
1
2 3 4 则第( )行的各数之和等于20112.( )
3 4 5 6 7 A．2010 B．2009 C．1006 D．1005
4 5 6 7 8 9 10
…………
7.已知一个三角形的三边长分别是，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过的概率是（ ）
A． B． C． D．
8. 在正方体底面，
任一点，则直线所成角为（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．某几何体的三视图如右图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
10、已知函数f(x)＝在[1,＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤e B．00)的离心率为e＝2，过原点的直线与双曲线相交于两点，为双曲线上不同于的点，且直线的斜率分别为，则
三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. (10分）已知 的图象经过点，且在处的切线方程是.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间.
18．(12分）设a>0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
19. (12分）为选拔选手参加“汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在的数据）.
（1）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在分以上（含分）的学生中随机抽取名学生参加“汉字听写大会”，求所抽取的名学生中至少有一人得分在内的概
20.（12分）已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且过点.
（1） 求椭圆方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围.
21. （12分）如图，四棱柱中，底面ABCD是矩形，且，，，若O为AD的中点，且.
（1）求证：平面ABCD；
（2）线段BC上是否存在一点P，使得二面角为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由.
22.( 12分）已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点．证明：为定值；
（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理
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数学（理科）试卷答题卡
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：
13． 14.
15． 16.
三、解答题
17.
18．
19．
20.
21.
22.
于都三中2015-2016学年高二下学期第一次月考
数学（理科）试卷答案
一．选择题DBCDCC CCACAB
二．填空题：13. 14. 15. 16.3
三．解答题：
17.解：（1） 的图象经过点 ，则 ， 2分
4分
切点为 ，则 的图象经过点
得 5分
（2）
单调递增区间为 10分
18.(1)解 ∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝；
a3＝f(a2)＝；a4＝f(a3)＝.猜想an＝(n∈N*)．
(2)证明 (ⅰ)易知，n＝1时，猜想正确．
(ⅱ)假设n＝k时猜想正确，即ak＝，则ak＋1＝f(ak)＝
＝＝＝.
这说明，n＝k＋1时猜想正确．
由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n∈N*，都有an＝.
19.解：（1）由题意可知，样本容量，，
. .........6分
（2） 由题意可知，分数在内的学生有人，记这人分别为，，，，
，分数在内的学生有人，记这人分别为，.
抽取的名学生的所有情况有种，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
其中名同学的分数都不在内的情况有种，分别为：，，，，，，，，，.
∴所抽取的名学生中至少有一人得分在内的概率. ..12分
20.解：（1）双曲线的离心率.由题意椭圆的离心率.
∴，∴，∴，∴椭圆方程为. ....2分
又点在椭圆上，∴，∴，
∴椭圆的方程为. .............4分
（2） 设，
由消去并整理得，
∵直线与椭圆有两个交点，
，即， ......6分
又，
∴中点的坐标为，
设的垂直平分线方程：，
∴在上，即，， ..10分
将上式代入得，，或，
∴的取值范围为. ............12分
21.【解析】（1）证明：∵，且，，
∴，∴∴，
又，且，∴平面ABCD.
（2）解：过作，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则，，
设，平面的法向量为，
∵，，
且，
取，得.
又平面ABCD，且平面，
∴平面平面ABCD.
又，且平面平面ABCD，
∴平面，
不妨设平面的法向量为.
由题意得，解得或（舍去），
∴当BP的长为2时，二面角的值为.
22【解析】（1） ， ， 椭圆方程为 ,4分
（2） ，设 ，则 ,
直线 ： ，即 ，
代入椭圆 得 ,
， ，，
（定值）,8分
（3）设存在 满足条件，则 ,
从而得m=0，∴存在Q（0，0）满足条件.12分
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