2013-2014学年高中数学（北师大版选修1-1）2.2抛物线同步练习及答案解析.doc

‎2 抛物线同步练测（北师大版选修1-1）‎ 建议用时 实际用时 满分 实际得分 ‎45分钟 ‎100分 一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎1.已知直线与抛物线交于两点，为坐标原点，且，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点，由分别向准线引垂线，，垂足分别为，若为的中点，则=（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知抛物线上两点关于直线对称, 且－,那么的值等于（ ）‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎5.对于抛物线,我们称满足的点在抛物线的内部.若点在抛物线的内部,则直线与抛物线（ ）‎ A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点 C.有一个公共点也可能有两个公共点 D.没有公共点 ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）‎ ‎6.已知以原点为顶点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点．若为的中点，则抛物线的方程为 ．‎ ‎7.过点作抛物线的两条切线，切点分别为，若线段中点的纵坐标为6，则的值是 .‎ ‎8.已知直线与抛物线交于两点，且经过抛物线的焦点，点，则线段的中点到准线的距离为 .‎ ‎9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 ，灯深40 ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处.‎ 三、解答题（本题共4小题，共51分）‎ ‎10.(本小题满分12分)正方形的一条边在直线上，顶点，在抛物线上，求正方形的边长.‎ ‎11.(本小题满分13分)已知曲线上的任意一点到定点的距离与到定直线的距离相等．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若曲线上有两个定点分别在其对称轴的上、下两侧，且，，求原点到直线的距离 ‎12.(本小题满分13分)如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为 (图中为折痕，点也可以落在边上)．过作∥,交于点，求点的轨迹方程．‎ ‎‎ ‎13.(本小题满分13分)已知抛物线上两个动点及一个定点，是抛物线的焦点，且，，成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．‎ ‎（1）求点的坐标（用表示）；‎ ‎（2）过点作与垂直的直线交抛物线于两点，若，求△的面积 一、选择题 ‎1.A 解析：设，直线方程与抛物线方程联立，消去，得,‎ 所以，,.又，所以，解得（舍去）.‎ ‎2.C 解析：①与轴不垂直时，如图所示，‎ 由抛物线的定义，得．‎ ‎∴ .‎ 由题意可得，∴ ．‎ ‎∴ ，∴ ．‎ 过点作，交于点，则．‎ 在中，．‎ ‎∴．‎ ‎②当轴时，可得．‎ 综上可知．‎ ‎3.B 解析：抛物线的焦点为（1，0），准线方程为，‎ ‎∴ 以抛物线的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，‎ ‎∴ 以抛物线的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的方程是．‎ ‎4.B 解析：由已知条件得两点连线的斜率.‎ 由，得.又因为点在直线上，‎ 所以，即.‎ 因为，两点在抛物线上，‎ 所以.将代入，得.‎ ‎5.D 解析：将与联立，消去，得，‎ 所以．因为，所以，所以直线和抛物线无公共点.‎ 二、填空题 ‎6. 解析：设抛物线的标准方程为，，，则，.两式相减，得，则，所以，解得，即所求抛物线方程为.‎ ‎7.1或2 解析：设过点的抛物线的切线方程为，将其与抛物线的方程联立消去，得．①‎ 根据题意，得此方程的判别式等于0，∴ ．‎ 设切线的斜率分别为，则.‎ 此时，方程①有唯一解为，∴ ．‎ 设，则，‎ ‎∴ ，解得.‎ ‎8. 解析：由知，，焦点坐标为．‎ 由直线过焦点及点，得直线方程为.‎ 把点代入上式，得，解得，所以.‎ 所以线段的中点为，所以线段的中点到准线的距离为．‎ ‎9. 解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，点在抛物线上，所以，所以，所以.因此，光源的位置为灯轴上距顶点处.‎ 三、解答题 ‎10.解：设直线的方程为,由消去，得.‎ 设,,则,,所以.‎ 又与的距离,由四边形为正方形有,解得或，‎ 所以正方形的边长为或.‎ ‎11.解：（1）∵ 曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，‎ ‎∴ 曲线的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且，‎ ‎∴ 曲线的方程为.‎ ‎（2）由抛物线的定义结合可得，点到准线的距离为2，‎ 即点的横坐标为1，代入抛物线方程可得，即，‎ 同理可得.故直线的斜率，‎ 故的方程为，即.‎ 由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离为.‎ ‎12.解：如图，连接，以边的中点为原点，边所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则．‎ 因为，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分．‎ 设，由，得定点到定直线的距离为4，‎ 所以抛物线的方程为．‎ 在折叠中，线段的长度在区间内变化，而，‎ 所以．故点的轨迹方程为.‎ ‎13.解：（1）设，，由点在抛物线上，得.①‎ 由，，成等差数列，得，‎ 故线段的垂直平分线方程为 令，得②‎ 由①②，得，所以．‎ ‎（2）由，,，得．‎ 由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以,．‎ 直线 由得，所以.‎ 所以△的面积是64‎