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周练(四)　平面向量的实际背景及基本概念 平面向量的线性运算 ‎(时间：80分钟　满分：100分)‎ 一、选择题(每小题5分，共40分)‎ ‎1．下列说法错误的是(　　)．‎ A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0‎ D．零向量没有方向 解析　零向量的方向是任意的，不能理解为没有方向．‎ 答案　D ‎2．将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是(　　)．‎ A．一个点 B.两个点 C．一个圆 D.一条线段 解析　在该直线上与起点的距离为1的两个点．‎ 答案　B ‎3．设a、b为不共线的非零向量，＝‎2a＋3b，＝－‎8a－2b，＝－‎6a－4b ，那么(　　)．‎ A.与同向，且||>||‎ B.与同向，且||||‎ D.∥ 解析　∵＝＋＋＝(‎2a＋3b)＋(－‎8a－2b)＋(－‎6a－4b)＝－‎12a－3b＝‎ eq \f(3,2)(－‎8a－2b)＝.故选A.‎ 答案　A ‎4．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是(　　)．‎ A．梯形 B.平行四边形 C．菱形 D.无法确定 解析　＋＝，∴四边形ABCD为平行四边形．‎ 答案　B ‎5．已知点C在线段AB上，且＝，则等于(　　)．‎ A. B. C．－ D.－ 解析　＝⇒＝.‎ ‎∴＝＝－，∴＝－.‎ 答案　D ‎6．如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝(　　)．‎ A.－ B.＋ C.＋ D.－ 解析　＝＋＝＋＝－.‎ 答案　D ‎7．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于(　　)．‎ A．1 B. ‎ C. D. 解析　设＝a，＝b，以OA、OB为邻边作▱ OACB，则a－b＝.‎ ‎∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，‎ ‎∴▱OACB中，OA＝1，OB＝2，BA＝2，‎ 由平行四边形的对角线长的平方和等于四边的平方和可得|a＋b|＝||＝.‎ 答案　D ‎8．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　)．‎ A．外心 B.内心 ‎ C．重心 D.垂心 解析　如图，设为上的单位向量，为上的单位向量，则＋的方向为∠BAC的角平分线的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ的方向与＋‎ eq \f(\o(AC,\s\up15(→)),\o(\s\up15(),\s\do15(|\o(AC,\s\up15(→))|)))的方向相同.＝＋λ.＝λ.∴点P在上移动，∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．‎ 答案　B 二、填空题(每小题5分，共20分)‎ ‎9．已知＝，＝，则＝________.‎ 解析　＝＋＝－＋＝－＋＝(－)＝.‎ 答案　 ‎10．设点O是三角形ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则点O是三角形ABC的________心．‎ 解析　由||＝||＝||可得，O点到三角形各顶点的距离相等．可见满足||＝||＝||的点O是三角形ABC的外心．‎ 答案　外心 ‎11．a，b是两个不共线的向量，且＝‎2a＋kb，＝a＋3b，＝‎2a－b.若A、B、D三点共线，则实数k的值可为________．‎ 解析　∵＝－＝a－4b，‎ ‎∴＝‎2a＋kb＝λ(a－4b)，∴k＝－8.‎ 答案　－8‎ ‎12．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.‎ 解析　因为＝，‎ ＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋.所以＝a－b＋c.‎ 答案　a－b＋c 三、解答题(每小题10分，共40分)‎ ‎13．已知▱ABCD中，＝a，＝b，对角线AC，BD ‎ 交于点O，用a，b表示，.‎ 解　＝－＝－(a＋b)，‎ ＝＝(－)＝(b－a)．‎ ‎14．在四边形ABCD中，＝，N，M是AD，BC上的点，且DN＝MB.求证：＝.‎ 证明　∵＝，‎ ‎∴||＝||且AB∥DC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，∴CB＝DA，‎ ‎∵DN＝MB，∠D＝∠B.‎ ‎∴△ADN≌△CBM，∴CM＝NA，‎ 又∵CM∥NA，∴四边形CNAM是平行四边形，‎ ‎∴CN綉MA，又与方向相同，∴＝.‎ ‎15．如图，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M、N、D三点共线．‎ 证明　设＝e1，＝e2，则＝＝e2.‎ ‎∵＝e2，＝＝e1，‎ ‎∴＝－＝e2－e1.‎ 又∵＝－＝e2－e1＝3＝3，‎ ‎∴向量与共线．又M是公共点，故M、N、D三点共线．‎ ‎16．运用向量法证明：平行四边形的一顶点与不过此点的一条边的中点的连线三等分该平行四边形的一条对角线．‎ 证明　如图，在平行四边形ABCD中，F为CD的中点，E为AF与BD的交点，要说明E为BD的一个三等分点，只要得到＝ 即可．由于A，E，F三点共线，B，E，D三点共线，则设(λ，μ为实数)，所以＝＋＝＋＝＋(－)．又＝(＋)＝(＋)＝，所以(－)＋＝(＋)，即＝，所以解得 即＝，所以点E三等分BD.‎