.2.4立体几何复习小结（2）教案 新人教A版必修2.doc

课题：4.2 必修(2)立体几何复习小结(2) 一、复习目标： 1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理． 2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理． 3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决 有关的问题； 4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。 二、例题分析： 例 1．正方体 ABCD—A1B1C1D1 中． (1)求证：平面 A1BD∥平面 B1D1C； (2)若 E、F 分别是 AA1，CC1 的中点，求证：平面 EB1D1∥平面 FBD． 证明：(1)由 B1B∥DD1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形， ∴B1D1∥BD， 又 BD ⊄平面 B1D1C，B1D1 平面 B1D1C， ∴BD∥平面 B1D1C． 同理 A1D∥平面 B1D1C． 而 A1D∩BD＝D， ∴平面 A1BD∥平面 B1CD． (2)由 BD∥B1D1，得 BD∥平面 EB1D1．取 BB1 中点 G，∴AE∥B1G． 从而得 B1E∥AG，同理 GF∥AD．∴AG∥DF． ∴B1E∥DF．∴DF∥平面 EB1D1． ∴平面 EB1D1∥平面 FBD． 说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”， 故问题最终转化为证线与线的平行． 小结： 例 2．如图，已知 M、N、P、Q 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点． 求证：(1)线段 MP 和 NQ 相交且互相平分；(2)AC∥平面 MNP，BD∥平面 MNP． 证明：(1) ∵M、N 是 AB、BC 的中点，∴MN∥AC，MN＝ AC． ∵P、Q 是 CD、DA 的中点，∴PQ∥CA，PQ＝ CA． ∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ 是平行四边形． ∴□MNPQ 的对角线 MP、NQ 相交且互相平分． (2)由(1)，AC∥MN．记平面 MNP(即平面 MNPQ)为α．显然 AC⊄α． ⊂ 2 1 2 1 A1 A B1 B C1 C D1 D GE F B A D C N QMN M P C B A 否则，若 AC⊂α， 由 A∈α，M∈α，得 B∈α； 由 A∈α，Q∈α，得 D∈α，则 A、B、C、D∈α， 与已知四边形 ABCD 是空间四边形矛盾． 又∵MN⊂α，∴AC∥α， 又 AC ⊄α，∴AC∥α，即 AC∥平面 MNP． 同理可证 BD∥平面 MNP． 例 3．四面体 中， 分别为 的中点，且 ， ，求证： 平面 证明：取 的中点 ，连结 ，∵ 分别为 的中点，∴ ，又 ∴ ，∴在 中， ∴ ，∴ ，又 ，即 ， ∴ 平面 例 2．如图 是 所在平面外一点， 平面 ， 是 的中点， 是 上的点， （1）求证： ；（2）当 ， 时，求 的长。 （1）证明：取 的中点 ，连结 ，∵ 是 的中点， ∴ ，∵ 平面 ，∴ 平面 ∴ 是 在平面 内的射影 ，取 的中点 ，连结 ，∵ ∴ ，又 ，∴ ∴ ，∴ ，由三垂线定理得 （2）∵ ， ∴ ，∴ ，∵ 平面 .∴ ，且 ，∴ 课后作业： 1．在长方体 中，经过其对角线 的平面分别与棱 、 相交于 两点，则四边形 的形状为 ．（平行四边形） 2．如图，A，B，C，D 四点都在平面α，β外，它们在α内的射影 A1，B1，C1，D1 是平行四边 形的四个顶点，在β内的射影 A2，B2，C2，D2 在一条直线上，求证：ABCD 是平行四边形． 证明：∵ A，B，C，D 四点在β内的射影 A2，B2，C2，D2 ABCD , ,AC BD E F= ,AD BC 2 2EF AC= 90BDC∠ =  BD ⊥ ACD CD G ,EG FG ,E F ,AD BC EG 1 2 // AC= 1 2 //FG BD= ,AC BD= 1 2FG AC= EFG∆ 2 2 2 21 2EG FG AC EF+ = = EG FG⊥ BD AC⊥ 90BDC∠ =  BD CD⊥ AC CD C= BD ⊥ ACD P ABC∆ ,PA PB CB= ⊥ PAB M PC N AB 3AN NB= MN AB⊥ 90APB∠ =  2 4AB BC= = MN PA Q ,MQ NQ M PC //MQ BC CB ⊥ PAB MQ ⊥ PAB QN MN PAB AB D PD ,PA PB= PD AB⊥ 3AN NB= BN ND= //QN PD QN AB⊥ MN AB⊥ 90APB∠ =  ,PA PB= 1 22PD AB= = 1QN = MQ ⊥ PAB MQ NQ⊥ 1 12MQ BC= = 2MN = 1111 DCBAABCD − 1BD 1AA 1CC FE, 1EBFD A B C D B11N M P D CB A CB A S 在一条直线上， ∴A，B，C，D 四点共面． 又 A，B，C，D 四点在α内的射影 A1，B1，C1，D1 是平行四边形的四个顶点， ∴平面 ABB1A1∥平面 CDD1C1． ∴AB，CD 是平面 ABCD 与平面 ABB1A1，平面 CDD1C1 的交线． ∴AB∥CD，同理 AD∥BC．∴四边形 ABCD 是平行四边形． 3．已知直线 a、b 和平面 M、N，且 ，那么（ ） （A） ∥M b⊥a （B）b⊥a b∥M （C）N⊥M a∥N （D） 4．如图， 矩形 所在的平面， 分别是 的中点， （1）求证： 平面 ； （2）求证： （3）若 ，求证： 平面 5 ． 如 图 ， 已 知 是 由 一 点 引 出 的 不 共 面 的 三 条 射 线 ， ，求证： 课后记： Ma ⊥ b ⇒ ⇒ ⇒ φ≠⇒⊄ NMNa  PA ⊥ ABCD ,M N ,AB PC //MN PAD MN CD⊥ 4PDA π∠ = MN ⊥ PCD , ,SA SB SC S 045 , 60 ,ASC ASB BSC∠ = ∠ = ∠ =  90SAB∠ =  AB SC⊥