因式分解.doc

1 第四章 因式分解 1．因式分解 总体说明 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习 有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和 三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有 相当重要的意义． 本节是因式分解的第 1 小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让 学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的 整体联系。 一、学生知识状况分析 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法 运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了 良好基础． 学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向 思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式 分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点． 二、教学任务分析 基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生， 因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移 的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种 关系寻求因式分解的方法． 3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体 验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。 4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能 力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．2 情感与态度： 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学 态度。 重点：因式分解的概念 难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因 式分解的方法 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节：复习回顾，比较探究（数→形→式）概念，引出概念 （确认概念属性），类比练习，反馈练习，小结 第一环节 复习回顾： 活动内容：下题简便运算怎样进行 问题 1：736×95+736×5 2，-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 设计意图： 观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式， 此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入 这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简 便方法计算——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的 概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。 第二环节 比较探究： 活动内容：问题 3：(1)993-99 能被 99 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你 的想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99 能被 99 整除 (2)993-99 能被 100 整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同 学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1） = 99（99+1）（99-1） = 99×98×100 所以 993-99 能被 100 整除3 活动目的： 以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数 的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入 深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解 的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。 想一想：（1）在回答 993-99 能否被 100 整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据。 （3）993-99 还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 与同学交流。 （老师点拨：回答这个问题的关键是把 993-99 化成了怎样的形式？） 小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。 可以了解: 993-99 可以被 98、99、100 三个连续整数整除. 将 99 换成其他任意一个大于 1 的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用 a 表示任意一个大于 1 的整数，则： ①你能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ ②这样变形是为了达到什么样的目的？ 活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“将 99 换成其他任意一 个大于 1 的整数,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出 ，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个 别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次 提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直 观认识。 议一议： )1()1(3 +××−=− aaaaa )()( ))(( )( 11 11 12 23 +××−= −+×= −×= −×=− aaa aaa aa aaaaa4 经历从分解因数到分解因式的类比过程。探究概念本质属性。 第三环节：引出概念： 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。 第四环节：类比练习 活动内容： 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b-1)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x= ； （2）ma+mb-m= ; （3）m2-16= ； （4）y2-6y+9= ． 思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明 活动目的：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么 是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运5 算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力． 第五环节 反馈练习 活动内容： 1、看谁连得准 x2-y2 . (x+3)2 9-25 x 2 y(x -y) +6x+9 (3-5 x)(3+5 x) xy-y2 (x+y)(x-y) 2、下列哪些变形是因式分解，为什么？ （1）（a+3）(a -3)= a 2-9 （2）m 2-4=( m+2)( m-2) （3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1 （4）2πR+2πr=2π（R+r） 第六环节 ：小结 活动内容：（1）你能说说什么是分解因式吗？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。 （2）应该怎样认识“因式分解”？ 分解因式与整式乘法是互逆过程. 分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止. 活动目的：回顾、总结、提高知识的系统性。 巩固练习：课本第 94 页习题 2.1 第 3，4,5 题 四、教学反思 关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有 活动目的：通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概 念的本质属性加深对新概念的掌握。 2x6 效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。 本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引 入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过 程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始 一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进 一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。