第二章 圆锥曲线与方程 2.3~08《双曲线的简单几何性质》（人教A版选修2-1）.doc

课题：　双曲线的简单几何性质 课时：08 课型：新授课 1.知识与技能目标 (1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离 心率、顶点、渐近线的概念； (2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题； (3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一 步见识圆锥曲线的统一定义．． 2.过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线 的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进 一步地培养． 3.情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探 究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界 观，激励学生创新 新课讲授过程 （1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和 位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （2）双曲线的简单几何性质 ① 范 围 ： 由 双 曲 线 的 标 准 方 程 得 ， ， 进 一 步 得 ： ， 或 ．这说明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域； ②对称性：由以 代，以 代和 代，且以 代这三个方面来研究双曲线的标准 方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心； 2 2 2 2 1 0y x b a = − ≥ x a≤ − x a≥ x a≤ − x a≥ x− y− x− y−③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥 曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴 叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线 叫做双曲线 的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（ ）． （3）例题讲解与引申、扩展 例 3求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线 方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出 ．引导学生用双曲线的实半轴长、 虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近 线是 ． 扩展：求与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方及离心 率． 解法剖析：双曲线 的渐近线方程为 ．①焦点在轴上时，设所求的双 曲线为 ，∵ 点在双曲线上，∴ ，无解；②焦点在轴上 时，设所求的双曲线为 ，∵ 点在双曲线上，∴ ，因此， 所求双曲线的标准方程为 ，离心率 ．这个要进行分类讨论，但只有一种情 形 有 解 ， 事 实 上 ， 可 直 接 设 所 求 的 双 曲 线 的 方 程 为 ． 例 4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲 by xa = ± 2 2 2 2 1x y a b − = a ce = 1e > 2 29 16 144y x− = , ,a b c ay xb = ± 2 2 116 9 x y− = ( )2 3, 3A − 2 2 116 9 x y− = 3 4y x= ± 2 2 2 2 116 9 x y k k − = ( )2 3, 3A − 2 1 4k = − 2 2 2 2 116 9 x y k k − + = ( )2 3, 3A − 2 1 4k = 2 2 19 4 4 y x− = 5 3e = ( )2 2 , 016 9 x y m m R m− = ∈ ≠面如图（1），它的最小半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 ．试选择 适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到 ）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为 ，算出 的 值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 的近似值，原则上在 没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定． 引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着 道 路 或 送 到 呈 矩 形 的 足 球 场 中 去 铺 垫 ， 已 知 ， ， ， ．能否在足 球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎 样的线路？说明理由． 解 题 剖 析 ： 设 为 “ 等 距 离 ” 线 上 任 意 一 点 ， 则 ， 即 （定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的 一部分，容易“等距离”线方程为 ．理由略． 例 5 如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ， 求点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线 若点 与定点 的距离和它到定直线 ： 的距离比是常数 ，则点 的轨迹方程是双曲线．其中定点 是焦点，定直线 ： 相 应于的准线；另一焦点 ，相应于 的准线 ： ． 课堂练习：P55 -第 1、2、3 12m 13m 25m 55m 1m 2 2 2 2 1x y a b − = , ,a b c , ,a b c PA PB ABCD 150AP m= 100BP m= 60BC m= 60APB∠ =  M PA AM PB BM+ = + 50BM AM AP BP− = − = ( )2 2 1 35 25,0 60625 3750 x y x y− = − ≤ ≤ − ≤ ≤ ( ),M x y ( )5,0F l 16 5x = 5 4 M ( ),M x y ( )2 25MF x y= − + l 16 5x = 16 5d x= − M ( ),M x y ( ),0F c l 2ax c = ce a = ( )0c a> > M ( ),0F c l 2ax c = ( ),0F c′ − F′ l′ 2ax c = −课后作业：第 61 页练习 4、5；第 61 页 习题 2.3 课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质 2015 高考题小试： 1.（15 北京理科）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 ． 2.【2015 高考北京，文 12】已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ． 3. （15 年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为 的是( ) （A） （B） （C） （D） 答案提示： 1．【答案】 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ， ， ,则 2. 【答案】 【解析】由题意知 ， ，所以 . 3. 【答案】A 【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项 A 的渐进线方程为 ，故选 A. ( )2 2 2 1 0x y aa − = > 3 0x y+ = a = 2y x= ± 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 12 yx − = 2 2 12 x y− = ( )2,0 2 2 2 1yx b − = 0b > b = 3 3 ( )2 2 2 1 0x y aa − = > 1y xa = ± 3 0 3x y y x+ = ⇒ = − 0a > 1 33, 3aa − = − = 3 2, 1c a= = 2 2 2 3b c a= − = 3b = xy 2±=