利用等腰三角形的对称性解题.doc

利用等腰三角形的对称性解题 已 知 : 在 △ A B C 中 , B A = B C , ∠ A B C = 8 0 ° , 点 P 在 △ A B C 内 , 并 且 ∠PAC=40°,∠PCA=30°．求∠BPC 的度数。 这道题的条件与结论均不复杂,但解决它却决非一件轻而易举的事．读者不 妨先试一试． 如果你能解出这道难题,值得高兴． 如果你的解法简单自然,更值得高兴． 如果解不出来,也不必沮丧．因为这道题确实很难,解法不易想到．不过,想 到了却也不难．关键不过两步． 首先,画一个图,AC 是等腰三角形的底边,所以将它放在水平位置,顶点 B 放 在中间位置,这样便于利用等腰三角形的对称性（画图大有讲究,如果按照平常习 惯,将 A 画在中间,不是不可以,但没有上面的画法清晰）． 作高 BD（也就是△ABC 的对称轴）,交 PC 于 E,连 EA．易知 EA=EC,∠EAC=∠ECA=30°, 所以 ∠PAE=40°－30°=10°=∠BAP． 又易知 ∠PEA=∠EAC+∠ECA=60° =40°＋20°=∠PEB． 因此,AP、PE 是△ABE 的角平分线,P 是△ABE 的内心．从而 PB 平分∠ABE,于 是 ∠BPC=∠BAC＋∠ABP ＋∠PCA =50°＋20°+30°=100°． 总结：本题有两个关键:作出△ABC 的对称轴,充分利用对称性；发现 P 是 △ABE 的内心．