§1.2.2 映射
一．教学目标
1．知识与技能：
（1）了解映射的概念及表示方法；
（2）结合简单的对应图表，理解一一映射的概念．
2．过程与方法
（1）函数推广为映射，只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合；
（2）通过实例进一步理解映射的概念；
（3）会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，一一映射．
3．情态与价值
映射在近代数学中是一个极其重要的概念，是进一步学习各类映射的基础．
二．教学重点：映射的概念
教学难点：映射的概念
三．学法与教学用具
1．学法：通过丰富的实例，学生进行交流讨论和概括；从而完成本节课的教学目标；
2．教学用具：投影仪．
四．教学思路
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数 ，数轴上都有唯一的点 和它对应；
2．对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对（ ）和它对应；
3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；
5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空
数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应
关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；
（2）求正弦；
（3）求平方；
（4）乘以 2．
归纳引出映射概念：
一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 ，使对于集合 A
a p
,x y
f中的任意一个元素 ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么就称对应 ：A→B
为从集合 A 到集合 B 的一个映射．
记作“ ：A→B”
说明：
（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的，其中 表
示具体的对应法则，可以用多种形式表述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例 1．下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射？
（1）A={ 是数轴上的点}，B=R，对应关系 ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ 是平面直角坐标中的点}， 对应关系 ：平
面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）A={三角形}，B= ：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）A={ 是新华中学的班级}， 对应关系 ：每
一个班级都对应班里的学生．
思考：将（3）中的对应关系 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对
应关系 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应 ：B→A 是从集合 B 到集合 A 的映
射吗？
例 2．在下图中，图（1），（2），（3），（4）用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元素的对应法则，
是不是映射？是不是函数关系？
A 开平方 B A 求正弦 B
x y f
f
f
|P P f
|P P }{( , ) | , ,B x y x R y R= ∈ ∈ f
{ | },x x是圆 对应关系 f
|x x }{ | ,B x x= 是新华中学的学生 f
f
f f
9
4
1
3
－3
2
－2
1
－1
3
4
5
6
300
450
600
900
1
2
2
2
3
2
1（1） （2）
A 求平方 B A 乘以 2 B
（3） （4）
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合 A 到集合 B 的对应（集合 A，B 各取 4 个元素）
已知：（1） ，对应法则是“乘以 2”；
（2）A= ＞ ，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3） ，对应法则是“求倒数”；
（4） ＜ 对应法则是“求余弦”．
2．在下图中的映射中，A 中元素 600 的象是什么？B 中元素 的原象是什么？
A 求正弦 B
} }{{1,2,3,4 , 2,4,6,8A B= =
{ |x x }0
{ }| 0 ,A x x B R= ≠ =
{ 0| 0A α= ∠ } }{090 , | 1 ,B x xα∠ ≤ = ≤
2
2
1
－1
2
－2
3
－3
1
2
3
1
2
3
4
5
6
1
4
9
300
450
600
900
1
2
2
2
3
2
1
（五）归纳小结
提出问题：怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几
个“标准”呢？
师生一起归纳：判定是否是映射主要看两条：一条是 A 集合中的元素都要有象，但 B 中
元素未必要有原象；二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形
式．
（六）设置问题，留下悬念．
1．由学生举出生活中两个有关映射的实例．
2．已知 是集合 A 上的任一个映射，试问在值域 (A)中的任一个元素的原象，是否
都是唯一的？为什么？
3．已知集合 从集合 A 到集合 B 的映射，试问能构造出多少映
射？
f f
}{ }{, , 1,0,1 ,A a b B= = −
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