判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有数列的第 n 项都能使用公式表达．( × )
(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )
(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )
(5)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
无
第 1 课时
进门测
作业检查
阶段训练
第 2 课时
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 (1)数列 1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1
C．an＝n(n＋1)
2 D．an＝n(n－1)
2
(2)数列{an}的前 4 项是3
2，1， 7
10， 9
17，则这个数列的一个通项公式是 an＝ .
答案 (1)C (2)2n＋1
n2＋1
解析 (1)观察数列 1,3,6,10，…可以发现
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
…
第 n 项为 1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)
2 .
∴an＝n(n＋1)
2 .
(2)数列{an}的前 4 项可变形为2 × 1＋1
12＋1 ，2 × 2＋1
22＋1 ，2 × 3＋1
32＋1 ，2 × 4＋1
42＋1 ，故 an＝2n＋1
n2＋1.
思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见
的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号
特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母
之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k＋1，k∈N*处理．
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)1
2，1
4，－5
8，13
16，－29
32，61
64，….
解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第 2 项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对
值大 6，故通项公式为 an＝(－1)n(6n－5)．
(2)数列变为8
9(1－ 1
10)，8
9(1－ 1
102)，8
9(1－ 1
103)，…，
故 an＝8
9(1－ 1
10n).
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的绝对值的分子分别比分母小 3.
因此把第 1 项变为－2－3
2 ，
原数列化为－21－3
21 ，22－3
22 ，－23－3
23 ，24－3
24 ，…，
故 an＝(－1)n2n－3
2n .
题型二 由 an 与 Sn 的关系求通项公式
例 2 (1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2
3an＋1
3，则{an}的通项公式 an＝ .
答案 (－2)n－1
解析 由 Sn＝2
3an＋1
3，得当 n≥2 时，Sn－1＝2
3an－1＋1
3，两式相减，整理得 an＝－2an－1，又当 n＝1
时，S1＝a1＝2
3a1＋1
3，∴a1＝1，∴{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，故 an＝(－2)n－1.
(2)已知下列数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.
解 ①a1＝S1＝2－3＝－1，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于 a1 也适合此等式，∴an＝4n－5.
②a1＝S1＝3＋b，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)
＝2·3n－1.
当 b＝－1 时，a1 适合此等式；
当 b≠－1 时，a1 不适合此等式．
∴当 b＝－1 时，an＝2·3n－1；
当 b≠－1 时，an＝Error!
思维升华 已知 Sn，求 an 的步骤
(1)当 n＝1 时，a1＝S1；
(2)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1；(3)对 n＝1 时的情况进行检验，若适合 n≥2 的通项则可以合并；若不
适合则写成分段函数形式．
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 ．
(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则 Sn 等于( )
A．2n－1 B．(3
2)n－1
C．(3
2)n D. 1
2n－1
答案 (1)an＝Error! (2)B
解析 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，显然当 n＝1 时，不满足上式．
故数列的通项公式为 an＝Error!
(2)由 an＋1＝Sn＋1－Sn，得 1
2Sn＝Sn＋1－Sn，
即 Sn＋1＝3
2Sn(n≥1)，又 S1＝a1＝1，
所以数列{Sn}是首项为 1，公比为3
2的等比数列，
所以 Sn＝(3
2)n－1，故选 B.
题型三 由数列的递推关系求通项公式
例 3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1
n)；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解 (1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1
n)，
∴an－an－1＝ln(1＋ 1
n－1)＝ln n
n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝ln n
n－1＋lnn－1
n－2＋…＋ln 3
2＋ln 2＋2
＝2＋ln( n
n－1·n－1
n－2·…· 3
2·2)
＝2＋ln n(n≥2)．
又 a1＝2 适合上式，故 an＝2＋ln n(n∈N*)．
(2)∵an＋1＝2nan，∴ an
an－1＝2n－1 (n≥2)，
∴an＝ an
an－1·an－1
an－2·…· a2
a1·a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝2 1＋2＋3＋…＋(n－1)＝ .
又 a1＝1 适合上式，故 an＝ .
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又 a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为 2，公比为 3 的等比数列，
∴an＋1＝2·3n－1，故 an＝2·3n－1－1.
思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差数列；(2)当出现 an＝xan－1＋y 时，构造等比数列；(3)当出现 an
＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；(4)当出现 an
an－1＝f(n)时，用累乘法求解．
(1)已知数列{an}满足 a1＝1，an＝n－1
n ·an－1(n≥2 且 n∈N*)，则 an＝ .
( 1)
22
n n−
( 1)
22
n n−
(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2an－1(n∈N*)，则 a5 等于( )
A．－16 B．16 C．31 D．32
答案 (1)1
n (2)B
解析 (1)∵an＝n－1
n an－1 (n≥2)，
∴an－1＝n－2
n－1an－2，…，a2＝1
2a1.
以上(n－1)个式子相乘得
an＝a1·1
2·2
3·…· n－1
n ＝a1
n ＝1
n.
当 n＝1 时也满足此等式，∴an＝1
n.
(2)当 n＝1 时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.
当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－1，
∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.
∴{an}是等比数列且 a1＝1，q＝2，
故 a5＝a1×q4＝24＝16.
题型四 数列的性质
命题点 1 数列的单调性
例 4 已知 an＝n－1
n＋1，那么数列{an}是( )
A．递减数列 B．递增数列
C．常数列 D．摆动数列
答案 B
解析 an＝1－ 2
n＋1，将 an 看作关于 n 的函数，n∈N*，易知{an}是递增数列．
命题点 2 数列的周期性
例 5 在数列{an}中，若存在非零整数 T，使得 am＋T＝am 对于任意的正整数 m 均成立，那么称数列{an}
为周期数列，其中 T 叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足 xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，若 x1＝1，
x2＝a(a∈R，a≠0)，当数列{xn}的周期最小时，该数列的前 2 016 项的和是( )
A．672 B．673
C．1 342 D．1 344
答案 D
解析 因为 x1＝1，x2＝a(a∈R，a≠0)，xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，所以 x3＝|a－1|.又因为数列{xn}
的周期为 3，所以 x1＝1，x4＝|x3－x2|＝||a－1|－a|＝x1＝1，解得 a＝1 或 a＝0.因为 a≠0，所以 a＝1，
所以 x2＝1，x3＝0，即 x1＋x2＋x3＝2.同理可得 x4＝1，x5＝1，x6＝0，x4＋x5＋x6＝2，…，x2 014＋x2 015
＋x2 016＝2，所以 S2 016＝x1＋x2＋…＋x2 016＝(1＋1＋0)×672＝1 344，故选 D.
命题点 3 数列的最值
例 6 数列{an}的通项 an＝ n
n2＋90，则数列{an}中的最大项是( )
A．3 10 B．19
C. 1
19 D.
10
60
答案 C
解析 令 f(x)＝x＋90
x (x>0)，运用基本不等式得 f(x)≥2 90，当且仅当 x＝3 10时等号成立．因为 an＝
1
n＋90
n
，所以 1
n＋90
n
≤ 1
2 90
，由于 n∈N*，不难发现当 n＝9 或 n＝10 时，an＝ 1
19最大．
思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法
①用作差比较法，根据 an＋1－an 的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
②用作商比较法，根据an＋1
an (an＞0 或 an＜0)与 1 的大小关系进行判断．
③结合相应函数的图象直观判断．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解．
(1)数列{an}满足 an＋1＝Error!a1＝3
5，则数列的第 2 015 项为 ．
(2)设 an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是( )
A.16
3 B.13
3
C．4 D．0
答案 (1)2
5 (2)D
解析 (1)由已知可得，a2＝2×3
5－1＝1
5，
a3＝2×1
5＝2
5，
a4＝2×2
5＝4
5，
a5＝2×4
5－1＝3
5，
∴{an}为周期数列且 T＝4，
∴a2 015＝a503×4＋3＝a3＝2
5.
(2)∵an＝－3(n－5
2 )2＋3
4，由二次函数性质，得当 n＝2 或 3 时，an 最大，最大值为 0.
1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则 类型 满足条件
有穷数列 项数有限
按项数分类
无穷数列 项数无限
递增数列 an＋1 > an
递减数列 an＋1 < an
常数列 an＋1＝an
其中 n∈N*按项与项间
的大小关系
分类
摆动数列
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前
一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
第 3 课时
阶段重难点梳理
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的
通项公式．
【知识拓展】
1．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，
则 an＝Error!
2．在数列{an}中，若 an 最大，则Error!
若 an 最小，则Error!
3．数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小
到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．
典例 (1)数列{an}的通项公式是 an＝(n＋1)·(10
11)n，则此数列的最大项是第 项．
(2)若 an＝n2＋kn＋4 且对于 n∈N*，都有 an＋1>an 成立，则实数 k 的取值范围是 ．
思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行
分析．
解析 (1)∵an＋1－an
＝(n＋2)(10
11)n＋1－(n＋1)(10
11)n
重点题型训练
＝(10
11)n×9－n
11 ，
当 n0，即 an＋1>an；
当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an；
当 n>9 时，an＋1－ann2＋kn＋4，
即 k>－1－2n，又 n∈N*，所以 k>－3.
答案 (1)9 或 10 (2)(－3，＋∞)
1．把 1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如
图所示)．
则第 7 个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
答案 B
解析 由图可知，第 7 个三角形数是 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
2．已知数列 1
1 × 2， 1
2 × 3， 1
3 × 4，…， 1
n(n＋1)，…，下列各数中是此数列中的项的是( )
A. 1
35 B. 1
42 C. 1
48 D. 1
54
答案 B
3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是 ．
答案 30
解析 an＝－n2＋11n＝－(n－11
2 )2＋121
4 ，
∵n∈N*，∴当 n＝5 或 n＝6 时，an 取最大值 30.
4．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋1，则 an＝ .
答案 Error!
解析 当 n＝1 时，a1＝S1＝2，当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
故 an＝Error!
1．数列2
3，－4
5，6
7，－8
9，…的第 10 项是( )
A．－16
17 B．－18
19 C．－20
21 D．－22
23
答案 C
解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、
分母、分子．很容易归纳出数列{an}的通项公式 an＝(－1)n＋1· 2n
2n＋1，故 a10＝－20
21.
作业布置
2．已知数列的通项公式为 an＝n2－8n＋15，则( )
A．3 不是数列{an}中的项
B．3 只是数列{an}中的第 2 项
C．3 只是数列{an}中的第 6 项
D．3 是数列{an}中的第 2 项和第 6 项
答案 D
解析 令 an＝3，即 n2－8n＋15＝3，整理得 n2－8n＋12＝0，解得 n＝2 或 n＝6.
3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝Error!则其前 6 项之和为( )
A．16 B．20 C．33 D．120
答案 C
解析 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前 6 项和 S6＝1＋
2＋3＋6＋7＋14＝33，故选 C.
4．若数列{an}满足 a1＝2，a2＝3，an＝an－1
an－2(n≥3,且 n∈N*)，则 a2 018 等于( )
A．3 B．2 C.1
2 D.2
3
答案 A
解析 由已知 a3＝a2
a1＝3
2，a4＝a3
a2＝1
2，
a5＝a4
a3＝1
3，a6＝a5
a4＝2
3，
a7＝a6
a5＝2，a8＝a7
a6＝3，
∴数列{an}具有周期性，T＝6，
∴a2 018＝a336×6＋2＝a2＝3.
5．数列{an}满足 an＋an＋1＝1
2(n∈N*)，a2＝2，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 S21 为( )
A．5 B.7
2
C.9
2 D.13
2
答案 B
解析 ∵an＋an＋1＝1
2，a2＝2，
∴an＝Error!
∴S21＝11×(－3
2 )＋10×2＝7
2.故选 B.
6．已知函数 y＝f(x)的定义域为 R.当 x1，且对任意的实数 x，y∈R，等式 f(x)f(y)＝f(x＋
y)恒成立．若数列{an}满足 a1＝f(0)，且 f(an＋1)＝ 1
f(－2－an) (n∈N*)，则 a2 015 的值为( )
A．4 029 B．3 029 C．2 249 D．2 209
答案 A
解析 根据题意，不妨设 f(x)＝(1
2)x，则 a1＝f(0)＝1，∵f(an＋1)＝ 1
f(－2－an)，∴an＋1＝an＋2，∴数列
{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，∴an＝2n－1，
∴a2 015＝4 029.
7．数列{an}中，已知 a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则 a7＝ .
答案 1
解析 由已知 an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，
能够计算出 a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.
8．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝2an－n，则 an＝ .
答案 2n－1
解析 当 n＝1 时，S1＝a1＝2a1－1，得 a1＝1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－2an－1＋(n－1)，
即 an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，
∴数列{an＋1}是首项为 a1＋1＝2，公比为 2 的等比数列，∴an＋1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n－1.
9．已知数列{an}的通项公式 an＝(n＋2)·(6
7)n，则数列{an}的项取最大值时，n = ．
答案 4 或 5
解析 假设第 n 项为最大项，则Error!
即Error!
解得Error! 即 4≤n≤5，
又 n∈N*，所以 n＝4 或 n＝5，
故数列{an}中 a4 与 a5 均为最大项，且 a4＝a5＝65
74.
*10.在一个数列中，如果任意 n∈N*，都有 anan＋1an＋2＝k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k
叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且 a1＝1，a2＝2，公积为 8，则 a1＋a2＋a3＋…＋
a12＝ .
答案 28
解析 依题意得数列{an}是周期为 3 的数列，且 a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此 a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1
＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.
11．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn.
(1)若 Sn＝(－1)n＋1·n，求 a5＋a6 及 an；
(2)若 Sn＝3n＋2n＋1，求 an.
解 (1)因为 a5＋a6＝S6－S4
＝(－6)－(－4)＝－2，
当 n＝1 时，a1＝S1＝1，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)
＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]
＝(－1)n＋1·(2n－1)，
又 a1 也适合此式，
所以 an＝(－1)n＋1·(2n－1)．
(2)因为当 n＝1 时，a1＝S1＝6；
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]
＝2×3n－1＋2，
由于 a1 不适合此式，
所以 an＝Error!
12．已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和，且满足 Sn＝1
2a2n＋1
2an(n∈N*)．
(1)求 a1，a2，a3，a4 的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
解 (1)由 Sn＝1
2a2n＋1
2an (n∈N*)可得
a1＝1
2a21＋1
2a1，解得 a1＝1，
S2＝a1＋a2＝1
2a22＋1
2a2，解得 a2＝2，
同理，a3＝3，a4＝4.
(2)Sn＝an
2 ＋1
2a2n， ①
当 n≥2 时，Sn－1＝an－1
2 ＋1
2a 2n－1， ②
①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.
由于 an＋an－1≠0，所以 an－an－1＝1，
又由(1)知 a1＝1，
故数列{an}为首项为 1，公差为 1 的等差数列，
故 an＝n.
*13.已知数列{an}中，an＝1＋ 1
a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R 且 a≠0)．
(1)若 a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的 n∈N*，都有 an≤a6 成立，求 a 的取值范围．
解 (1)∵an＝1＋ 1
a＋2(n－1)(n∈N*，a∈R 且 a≠0)，
又 a＝－7，∴an＝1＋ 1
2n－9(n∈N*)．
结合函数 f(x)＝1＋ 1
2x－9的单调性，
可知 1＞a1＞a2＞a3＞a4，
a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为 a5＝2，最小项为 a4＝0.
(2)an＝1＋ 1
a＋2(n－1)＝1＋
1
2
n－2－a
2
，
已知对任意的 n∈N*，都有 an≤a6 成立，
结合函数 f(x)＝1＋
1
2
x－2－a
2
的单调性，
可知 5＜2－a
2 ＜6，即－10＜a＜－8.
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