第七章 7.4基本不等式及应用--2021届高三数学一轮基础复习讲义(教师版)
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第七章 7.4基本不等式及应用--2021届高三数学一轮基础复习讲义(教师版)

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资料简介
1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 y=x+1 x的最小值是 2.( × ) (2)函数 f(x)=cos x+ 4 cos x,x∈(0,π 2)的最小值等于 4.( × ) (3)“x>0 且 y>0”是“x y+y x≥2”的充要条件.( × ) (4)若 a>0,则 a3+ 1 a2的最小值为 2 a.( × ) (5)不等式 a2+b2≥2ab 与a+b 2 ≥ ab有相同的成立条件.( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 2、设 x>0,y>0,且 x+y=18,则 xy 的最大值为(  ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案 C 解析 ∵x>0,y>0,∴x+y 2 ≥ xy, 即 xy≤(x+y 2 )2=81, 当且仅当 x=y=9 时,(xy)max=81. 第 1 课时 进门测 3、已知 x>0,a>0,当 y=x+a x取最小值时,x 的值为(  ) A.1 B.a C. a D.2 a 答案 C 解析 y=x+a x≥2 a, 当且仅当 x=a x即 x= a时, y=x+a x有最小值 2 a. 4、若 a>0,b>0,且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是(  ) A. 1 ab≤1 4 B.1 a+1 b≤1 C. ab≥2 D.a2+b2≥8 答案 D 解析 4=a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时,等号成立),即 ab≤2,ab≤4,1 ab≥1 4,选项 A,C 不成立; 1 a+1 b=a+b ab = 4 ab≥1,选项 B 不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项 D 成立. 5、若正数 x,y 满足 x2+4y2+x+2y=1,则 xy 的最大值为________. 答案 2- 3 4 解析 由题意得 1=x2+4y2+x+2y≥4xy+2 2· xy, 则 xy≤ 6- 2 4 ,则 xy≤( 6- 2 4 )2=2- 3 4 . 无 题型一 利用基本不等式求最值 命题点 1 通过配凑法利用基本不等式 例 1 (1)已知 00,a+b=1,则1 a+1 b的最小值为________. 答案 4 解析 ∵a>0,b>0,a+b=1, ∴1 a+1 b=a+b a +a+b b =2+b a+a b ≥2+2 b a·a b=4,即1 a+1 b的最小值为 4,当且仅当 a=b=1 2时等号成立. 引申探究 1.若条件不变,求(1+1 a)(1+1 b)的最小值. 解 (1+1 a)(1+1 b)=(1+a+b a )(1+a+b b )=(2+b a)·(2+a b) =5+2(b a+a b)≥5+4=9. 当且仅当 a=b=1 2时,取等号. 2.已知 a>0,b>0,1 a+1 b=4,求 a+b 的最小值. 解 由1 a+1 b=4,得 1 4a+ 1 4b=1. ∴a+b=( 1 4a+ 1 4b)(a+b)=1 2+ b 4a+ a 4b≥1 2+2 b 4a· a 4b=1. 当且仅当 a=b=1 2时取等号. 3.若将条件改为 a+2b=3,求1 a+1 b的最小值. 解 ∵a+2b=3, ∴1 3a+2 3b=1, ∴1 a+1 b=(1 a+1 b)(1 3a+2 3b)=1 3+2 3+ a 3b+2b 3a ≥1+2 a 3b·2b 3a=1+2 2 3 . 当且仅当 a= 2b 时,取等号. 【同步练习】 (1)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是________. (2)已知 x,y∈(0,+∞),2x-3=(1 2)y,若1 x+m y(m>0)的最小值为 3,则 m=________. 答案 (1)5 (2)4 解析 (1)方法一 由 x+3y=5xy,可得 1 5y+ 3 5x=1, ∴3x+4y=(3x+4y)( 1 5y+ 3 5x) =9 5+4 5+3x 5y+12y 5x ≥13 5 +12 5 =5. 当且仅当3x 5y=12y 5x ,即 x=1,y=1 2时,等号成立, ∴3x+4y 的最小值是 5. 方法二 由 x+3y=5xy,得 x= 3y 5y-1, ∵x>0,y>0,∴y>1 5, ∴3x+4y= 9y 5y-1+4y= 13(y-1 5 )+9 5+4 5-4y 5y-1 +4y =13 5 +9 5· 1 5 y-1 5 +4(y-1 5) ≥13 5 +2 36 25=5, 当且仅当 y=1 2时等号成立,∴(3x+4y)min=5. (2)由 2x-3=(1 2)y 得 x+y=3, 1 x+m y=1 3(x+y)(1 x+m y) =1 3(1+m+y x+mx y ) ≥1 3(1+m+2 m) (当且仅当y x=mx y ,即 y= mx 时取等号), ∴1 3(1+m+2 m)=3, 解得 m=4. 题型二 基本不等式的实际应用 例 3 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y(单位: 万元)与机器运转时间 x(单位:年)的关系为 y=-x2+18x-25(x∈N*),则该公司年平均利润的最大 值是________万元. 答案 8 解析 年平均利润为y x=-x-25 x +18 =-(x+25 x )+18, ∵x+25 x ≥2 x·25 x =10, ∴y x=18-(x+25 x )≤18-10=8, 当且仅当 x=25 x 即 x=5 时,取等号. 【同步练习】 1、某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 x 8天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小, 每批应生产产品________件. 答案 80 解析 设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 y=800 x +x 8≥2 800 x ·x 8=20. 当且仅当800 x =x 8(x>0),即 x=80 时“=”成立. 1.基本不等式 ab≤a+b 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (2)b a+a b≥2(a,b 同号). (3)ab≤(a+b 2 )2 (a,b∈R). (4)a2+b2 2 ≥(a+b 2 )2 (a,b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为 a=b. 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为a+b 2 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个正数的算 术平均数不小于它们的几何平均数. 第 3 课时 阶段重难点梳理 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值 2 p.(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值p2 4 .(简记:和定积最大) 【知识拓展】 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1) 恒 成 立 问 题 : 若 f(x) 在 区 间 D 上 存 在 最 小 值 , 则 不 等 式 f(x)>A 在 区 间 D 上 恒 成 立 ⇔ f(x)min>A(x∈D); 若 f(x)在区间 D 上存在最大值,则不等式 f(x)A(x∈D); 若 f(x)在区间 D 上存在最小值,则在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 的解集为 D; 不等式 f(x)0,若不等式3 a+1 b≥ m a+3b恒成立,则 m 的最大值为(  ) A.9 B.12 C.18 D.24 (2)已知函数f(x)=x2+ax+11 x+1 (a∈R),若对于任意的x∈N *,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是________. 答案 (1)B (2)[-8 3,+∞) 解析 (1)由3 a+1 b≥ m a+3b, 得 m≤(a+3b)(3 a+1 b)=9b a +a b+6. 又9b a +a b+6≥2 9+6=12(当且仅当9b a =a b时等号成立), ∴m≤12,∴m 的最大值为 12. (2)对任意 x∈N*,f(x)≥3 恒成立,即x2+ax+11 x+1 ≥3 恒成立,即知 a≥-(x+8 x)+3. 设 g(x)=x+8 x,x∈N*,则 g(2)=6,g(3)=17 3 . ∵g(2)>g(3),∴g(x)min=17 3 ,∴-(x+8 x)+3≤-8 3, ∴a≥-8 3,故 a 的取值范围是[-8 3,+∞). 【同步练习】 (1)已知函数 f(x)=x+a x+2 的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则 a 的值是(  ) A.1 2 B.3 2 C.1 D.2 (2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an 使得 aman=4a1,则1 m+4 n 的最小值为(  ) A.3 2 B.5 3 C.9 4 D.25 6 答案 (1)C (2)A 解析 (1)由题意可得 a>0, ①当 x>0 时,f(x)=x+a x+2≥2 a+2,当且仅当 x= a时取等号; ②当 x0,y>0,且1 x+2 y=1,则 x+y 的最小值是________. (2)函数 y=1-2x-3 x(x0,y>0,∴1=1 x+2 y≥2 2 xy, ∴ xy≥2 2,∴x+y≥2 xy=4 2, ∴x+y 的最小值为 4 2. (2)∵2x+3 x≥2 6,∴y=1-2x-3 x≤1-2 6. ∴函数 y=1-2x-3 x(x0,y>0, ∴x+y=(x+y)(1 x+2 y) =3+y x+2x y ≥3+2 2(当且仅当 y= 2x 时取等号), ∴当 x= 2+1,y=2+ 2时,(x+y)min=3+2 2. (2)∵x0, 所以“a2+b2≥2ab”是“a b+b a≥2”的必要不充分条件,故选 B. 3.已知 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则1 x+ 1 3y的最小值是(  ) A.2 B.2 2 C.4 D.2 3 作业布置 答案 C 解析 因为 lg 2x+lg 8y=lg 2,所以 x+3y=1, 所以1 x+ 1 3y=(1 x+ 1 3y)(x+3y)=2+3y x + x 3y≥4, 当且仅当3y x = x 3y,即 x=1 2,y=1 6时,取等号. 4.若函数 f(x)=x+ 1 x-2(x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于(  ) A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 答案 C 解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+ 1 x-2+2≥2 (x-2) × 1 x-2+2=4,当且仅当 x-2= 1 x-2 (x>2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3,故选 C. 5.已知 x>0,y>0,且 4xy-x-2y=4,则 xy 的最小值为(  ) A. 2 2 B.2 2 C. 2 D.2 答案 D 解析 ∵x>0,y>0,x+2y≥2 2xy, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2 2xy, ∴4≤4xy-2 2xy, 即( 2xy-2)( 2xy+1)≥0, ∴ 2xy≥2,∴xy≥2. *6.设 a>b>c>0,则 2a2+ 1 ab+ 1 a(a-b)-10ac+25c2 的最小值是(  ) A.2 B.4 C.2 5 D.5 答案 B 解析 2a2+ 1 ab+ 1 a(a-b)-10ac+25c2 =(a-5c)2+a2-ab+ab+ 1 ab+ 1 a(a-b) =(a-5c)2+ab+ 1 ab+a(a-b)+ 1 a(a-b) ≥0+2+2=4, 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时,等号成立, 即取 a= 2,b= 2 2 ,c= 2 5 时满足条件. *7.若正数 a,b 满足1 a+1 b=1,则 1 a-1+ 9 b-1的最小值是(  ) A.1 B.6 C.9 D.16 答案 B 解析 ∵正数 a,b 满足1 a+1 b=1,∴b= a a-1>0,解得 a>1.同理可得 b>1,所以 1 a-1+ 9 b-1= 1 a-1+ 9 a a-1-1 = 1 a-1+9(a-1)≥2 1 a-1·9(a-1)=6,当且仅当 1 a-1=9(a-1),即 a=4 3时等号成立,所以 最小值为 6.故选 B. 8.对任意的 θ∈(0,π 2),不等式 1 sin2θ+ 4 cos2θ≥|2x-1|成立,则实数 x 的取值范围是(  ) A.[-3,4] B.[0,2] C.[-3 2,5 2] D.[-4,5] 答案 D 解析 因为 1 sin2θ+ 4 cos2θ =sin2θ+cos2θ sin2θ +4(sin2θ+cos2θ) cos2θ =cos2θ sin2θ+4sin2θ cos2θ +5≥2× cos2θ sin2θ·4sin2θ cos2θ +5=9, 当且仅当cos2θ sin2θ=4sin2θ cos2θ ,即 tan θ= 2 2 时等号成立,所以|2x-1|≤9,解得-4≤x≤5,故选 D. 9.已知 x,y∈R 且满足 x2+2xy+4y2=6,则 z=x2+4y2 的取值范围为________. 答案 [4,12] 解析 ∵2xy=6-(x2+4y2),而 2xy≤x2+4y2 2 , ∴6-(x2+4y2)≤x2+4y2 2 , ∴x2+4y2≥4(当且仅当 x=2y 时取等号). 又∵(x+2y)2=6+2xy≥0, 即 2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12 (当且仅当 x=-2y 时取等号). 综上可知 4≤x2+4y2≤12. 10.已知 a,b 为正实数,直线 x+y+a=0 与圆(x-b) 2+(y-1) 2=2 相切,则 a2 b+1的取值范围是 ________. 答案 (0,+∞) 解析 ∵x+y+a=0 与圆(x-b)2+(y-1)2=2 相切, ∴d=|b+1+a| 2 = 2, ∴a+b+1=2,即 a+b=1, ∴ a2 b+1= (1-b)2 b+1 = (b+1)2-4(b+1)+4 b+1 =(b+1)+ 4 b+1-4≥2 4-4=0. 又∵a,b 为正实数,∴等号取不到. ∴ a2 b+1的取值范围是(0,+∞). *11.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m,n 均大于 0,则1 m+2 n的最小值为________. 答案 8 解析 y=loga(x+3)-1 的图象恒过定点 A(-2,-1), 由 A 在直线 mx+ny+1=0 上. 得-2m-n+1=0 即 2m+n=1. ∴1 m+2 n=2m+n m +2(2m+n) n = n m+4m n +4≥2 4+4=8(当且仅当 n m=4m n ,即 m=1 4,n= 1 2时等号成 立). 12.若正数 x,y,z 满足 3x+4y+5z=6,则 1 2y+z+4y+2z x+z 的最小值为________. 答案 7 3 解析  1 2y+z+4y+2z x+z = 1 2y+z+6-3(x+z) x+z = 1 2y+z+ 6 x+z-3, 令 2y+z=a,x+z=b, 则 2(2y+z)+3(x+z)=3x+4y+5z=2a+3b=6, 即a 3+b 2=1, 原式=(1 a+6 b)(a 3+b 2)-3 =1 3+ b 2a+2a b ≥7 3. 13.某项研究表明:在考虑行车安全情况下,某路段车流量 F(单位时间经过测量点的车辆数,单位: 辆/小时)与车辆速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒),平均车长 l(单位:米)的值有关, 其公式 F= 76 000v v2+18v+20l. (1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时. (2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时. 答案 (1)1 900 (2)100 解析 (1)当 l=6.05 时,F= 76 000 v+121 v +18 ≤ 76 000 2 v·121 v +18 =1 900, 当且仅当 v=11 时取最大值. (2)当 l=5 时,F= 76 000 v+100 v +18 ≤2 000, 当且仅当 v=10 时取等号, ∴最大车流量比(1)中增加 2 000-1 900=100(辆/小时).

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