高中数学 （3.2 简单的三角恒等变换）教案 新人教A版必修4.doc

3.2 简单的三角恒等变换 整体设计 教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中 的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标 进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变 形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思 想,提高学生的推理能力. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数 性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换， 变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三 角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换. 从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以 联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 三维目标 1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、 余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思 想，提高学生的推理能力. 2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变换在数学中的应用. 3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用 公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 重点难点 教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从 整体上把握变换过程的能力. 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主 要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变 换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角 公式进行更加丰富的三角恒等变换. 思路 2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角 公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和 方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间 和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还 会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找 式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 推进新课 新知探究 提出问题 ①α 与 有什么关系? ②如何建立 cosα 与 sin2 之间的关系？ ③sin2 = ，cos2 = ，tan2 = 这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? ⑤证明(1)sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin . 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？ 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式 cosα=1-2sin2 ,将公式中的 α 用 代替,解出 sin2 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α 是 的二倍角.在 倍角公式 cos2α=1-2sin2α 中,以 α 代替 2α,以 代替 α,即得 cosα=1-2sin2 , 所以 sin2 = . ① 在倍角公式 cos2α=2cos2α-1 中,以 α 代替 2α,以 代替 α,即得 cosα=2cos2 -1, 所以 cos2 = . ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan2 = . ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数; (2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的). 教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提 醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin =± ,cos =± ,tan =± ,并称之为半角公式(不要求记忆), 符号由 所在象限决定. 2 a 2 a 2 a 2 cos1 a− 2 a 2 cos1 a+ 2 a a a cos1 cos1 + − 2 1 2cos2 ϕθϕθ −+ 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 cos1 a− 2 a 2 a 2 a 2 cos1 a+ 2 a a a cos1 cos1 + − 2 a 2 cos1 a− 2 a 2 cos1 a+ 2 a a a cos1 cos1 + − 2 a 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数 式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的 差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择 可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构 形式的变换. 对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得 出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的 出 发 点 ， 引 导 学 生 思 考 ， 哪 些 公 式 包 含 sinαcosβ 呢 ？ 想 到 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ 分 别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有 2 个方程，这就促使学生考虑还有没有 其他包含 sinαcosβ 的公式，列出 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ 后，解相应的以 sinαcosβ，cosαsinβ 为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果. （2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的 形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令 α+β=θ，α-β=φ， 则 α= ，β= ,代入(1)式即得(2)式. 证明:(1)因为 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ, 即 sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.① 设 α+β=θ,α-β=φ,那么 α= ,β= . 把 α,β 的值代入①, 即得 sinθ+sinφ=2sin cos . 教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过 程中用到了换元的思想,如把 α+β 看作 θ,α-β 看作 φ,从而把包含 α,β 的三角函数 式变换成 θ,φ 的三角函数式.另外,把 sinαcosβ 看作 x,cosαsinβ 看作 y,把等式看作 x,y 的方程,通过解方程求得 x,这就是方程思想的体现. 讨论结果：①α 是 的二倍角. ②sin2 =1-cos . ③④⑤略(见活动）. 应用示例 思路 1 例 1 化简: . 活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式 和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系. 2 ϕθ + 2 ϕθ − 2 1 2 ϕθ + 2 ϕθ − 2 ϕθ + 2 ϕθ − 2 a 2 a 2 cos1 a− .cossin1 cossin1 xx xx ++ −+解:原式= =tan . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练 化简:sin50°(1+ tan10°). 解:原式=sin50° =2sin50°· =2cos40°· =1. 例 2 已知 sinx-cosx= ,求 sin3x-cos3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),∴a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导 学生深挖本例的思想方法,由于 sinx·cosx 与 sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化 简 能 力 及 整 体 代 换 思 想 . 本 题 也 可 直 接 应 用 上 述 公 式 求 之 , 即 sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)= .此方法往往适用于 sin3x±cos3x 的化简问题之中. 解:由 sinx-cosx= ,得(sinx-cosx)2= , 即 1-2sinxcosx= ,∴sinxcosx= . ∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) = (1+ )= . 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练 (2007 年高考浙江卷,12) 已知 sinθ+cosθ= ,且 ≤θ≤ ,则 cos2θ 的值是 ______________. 答案: 例 1 已知 . )2sin2(cos2cos2 )2cos2(sin2sin2 2cos2sin22cos2 2cos2sin22sin2 2 2 xxx xxx xxx xxx + + = + + 2 x 3      10cos )10sin2 310cos2 1(2 50sin10cos 10sin31 + •=+   10cos 10sin30cos10cos30sin +       10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin == 2 1 16 11 2 1 4 1 4 1 8 3 2 1 8 3 16 11 5 1 2 π 4 3π 25 7− 1sin sin cos cos:1sin sin cos cos 2 4 2 4 2 4 2 4 =+=+ A B A B B A B A 求证 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只 是将 A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有 A,B 角的正、余弦, 可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是 a2+b2=1 的形式,可利用三角代 换. 证明一:∵ , ∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B. ∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B, 即 cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. ∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. ∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B. ∴ cos2B+sin2B=1. 证明二:令 =sinα, 则 cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα. 两式相加,得 1=cosBcosα+sinBsinα,即 cos(B-α)=1. ∴B-α=2kπ(k∈Z),即 B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB. ∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B. ∴ =cos2B+sin2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关 系进行了合理消元. 变式训练 在锐角三角形 ABC 中,ABC 是它的三个内角,记 S= ,求证:S90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S0.∴tan( -2β)>0. 又∵β∈(0, ),∴ < -2β< . 结合 tan( -2β)>0,得 0< -2β< . ∴由 tanα=tan( -2β),得 α= -2β,即 α+2β= . 例 2 求证: 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为 弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边= = =右边.∴原式成立. 证法二:右边=1- = = =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑 推理能力. 变式训练 1.求证: . 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于 ,此式右 边就是 tan2θ. 证明:原等式等价于 . 2 π 2 3π 2 π 2 3 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π− 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π 2 π α β βα βαβ 2 2 22 tan tan1cossin )sin()sin( −=−+a βα βαβαβαβ 22 cossin )sincoscos)(sinsincoscos(sin −+ =−=−=− a aaa 2 2 22 22 22 2222 tan tan1cossin sincos1cossin sincoscossin β β β β ββ β ββ β β 22 2222 22 22 cossin sincoscossin cossin sincos a a−= β ββββ 22 cossin )sincoscos)(sinsincoscos(sin aaaa −+ β ββ 22 cossin )sin()sin( ++ aa θ θθ θ θθ 2tan1 4cos4sin1 sin2 4cos4sin1 − ++=−+ θ θ θθ θθ 2tan1 tan2 4cos4sin1 4cos4sin1 −=++ −+ θθθ θθ 2tan4cos4sin1 4cos4sin1 =++ −+而上式左边 = =tan2 右边.∴上式成立,即原等式得证. 2.已知 sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)= tanα. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的 2α+β 可化为结论式中的 α+β 与 α 的和,不妨将 α+β 作为一整体来处理. 证明:由 sinβ=msin(2α+β) sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α] sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα] (1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα tan(α+β)= tanα. 知能训练 1.若 sinα= ,α 在第二象限,则 tan 的值为( ) A.5 B.-5 C. D. 2.设 5π0,所以,得 cosφ=0. 依题设 0≤φ≤π,所以,解得 φ= . 3 3 3 6 π 3 π 6 5π 2 π 2 4 π 2 2π 2 π 4 π 4 π 4 5π 4 π 4 π 4 π 2 2 4 π 4 π 2 π 2 4 3π 2 π 4 3π 2 π由 f(x)的图象关于点 M 对称,得 f( -x)=-f( +x). 取 x=0,得 f( )=-f( ),所以 f( )=0. ∵f( )=sin( + )=cos ,∴cos =0. 又 ω>0,得 = +kπ,k=0,1,2,…. ∴ω= (2k+1),k=0,1,2,…. 当 k=0 时,ω= ,f(x)=sin( x+ )在[0, ]上是减函数; 当 k=1 时,ω=2,f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 当 k≥2 时,ω≥ ,f(x)=sin(ωx+ )在[0, ]上不是单调函数. 所以,综合得 ω= 或 ω=2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然 后进而解决此题. 变式训练 已知如图 2 的 Rt△ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线 BD、CE 的长分别为 m、n,且 a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角 θ,恰使等式 cosθ-sinθ=4(cos -cos )成立?若能,找出这样的角 θ;若不能,请说明理由. 解:在 Rt△BAD 中, =cos ,在 Rt△BAC 中, =sinC, ∴mcos =asinC. 图 2 同理,ncos =asinB. ∴mncos cos =a2sinBsinC. 而 a2=2mn, ∴cos cos =2sinBsinC=8sin ·cos cos sin .∴sin sin = . 积化和差,得 4(cos -cos )=-1, 4 3π 4 3π 4 3π 4 3π 4 3π 4 3π 4 3ωπ 2 π 4 3ωπ 4 3ωπ 4 3ωπ 2 π 3 2 3 2 3 2 2 π 2 π 2 π 2 π 3 10 2 π 2 π 3 2 2 CB + 2 CB − m AB 2 B a AB 2 B 2 C 2 B 2 C 2 B 2 C 2 B 2 B 2 C 2 C 2 B 2 C 8 1 2 CB + 2 CB −若存在 θ 使等式 cosθ-sinθ=4(cos -cos )成立,则 cos(θ+ )=-1, ∴cos(θ+ )= .而 π